2022年数学归纳法典型例题.doc

数学归纳法典型例题 
【典型例题】
  例1. 用数学归纳法证明：时，。
解析：①当时，左边，右边，左边=右边，因此等式成立。
②假设时等式成立，即有，则当时，

，
因此当时，等式也成立。
由①，②可知，对一切等式都成立。
点评：（1）用数学归纳法证明与自然数有关某些等式，命题核心在于“先看项”，弄清等式两边构成规律，等式两边各有多少项，项多少与n取值与否有关，由届时等式两边会增长多少项，增长如何项。
（2）在本例证明过程中，（I）考虑“n取第一种值命题形式”时，需认真看待，一般状况是把第一种值代入通项，考察命题真假，（II）环节②在由到递推过程中，必要用归纳假设，不用归纳假设证明就不是数学归纳法。
本题证明时若运用数列求和中拆项相消法，即

，则这不是归纳假设，这是套用数学归纳法一种伪证。
（3）在环节②证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，核心是明确时证明目旳，充足考虑由届时，命题形式之间区别和联系。

  例2. 。
解析：（1）当时，左边，右边，命题成立。
（2）假设当时命题成立，即

，
那么当时，
左边

。
上式表白当时命题也成立。
由（1）（2）知，命题对一切正整数均成立。

  例3. 用数学归纳法证明：对一切不不不小于1自然数n，不等式
成立。
解析：①当时，左=，右，左>右，∴不等式成立。
②假设时，不等式成立，即
，
那么当时，

，
∴时，不等式也成立。
由①，②知，对一切不不不小于1自然数n，不等式都成立。
点评：（1）本题证明命题成立时，运用归纳假设，并对照目旳式进行了恰当缩小来实现，也可以用上归纳假设后，证明不等式成立。
（2）应用数学归纳法证明与非零自然数有关命题时要注意两个环节缺一不可，第①步成立是推理基本，第②步是推理根据（即成立，则成立，成立，……，从而断定命题对所有自然数均成立）。另一方面，第①步中，验证中未必是1，根据题目规定，有时可为2，3等；第②步中，证明时命题也成立过程中，要作恰当变形，设法用上归纳假设。

  例4. 若不等式对一切正整数n都成立，求正整数a最大值，并证明你结论。
解析：取，。
令，得，而，
因此取，下面用数学归纳法证明，
，
（1）时，已证结论对旳
（2）假设时，

则当时，有

，
由于，
因此，
因此，
即时，结论也成立，
由（1）（2）可知，对一切，
均有，
故a最大值为25。

  例5. 用数学归纳法证明：能被9整除。
解析：措施一：令，
（1）能被9整除。
（2）假设能被9整除，则

∴能被9整除。
由（1）（2）知，对一切，命题均成立。
措施二：（1），原式能被9整除，
（2）若，能被9整除，则时

∴时也能被9整除。
由（1），（2）可知，对任何，能被9整除。
点评：证明整除性问题核心是“凑项”，而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段凑出时情形，从而运用归纳假设使问题获证。

  例6. 求证：能被整除，。
解析：（1）当时，，命题显然成立。
（2）设时，能被整除，
则当时，

。
由归纳假设，上式中两项均能被整除，
故时命题成立。
由（1）（2）可知，对，命题成立。

  例7. 平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点，求证：这n个圆将平面提成个某些。
解析：①时，1个圆将平面提成2某些，显然命题成立。
②假设时，个圆将平面提成个某些，
当时，
第k+1个圆交前面k个圆于2k个点，这2k个点将圆提成2k段，每段将各自所在区域一分为二，于是增长了2k个区域，因此这k+1个圆将平面提成个某些，即个某些。
故时，命题成立 。
由①，②可知，对命题成立。
点评：用数学归纳法证明几何问题核心是“找项”，即几何元素从k个变成k+1个时，所证几何量将增长多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，在实在分析不出来状况下，将n=k+1和n=k分别代入所证式子，然后作差，即可求出增长量，然后只需稍加阐明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题一大技巧。

  例8. 设，与否存在有关自然数n函数，使等式对于一切自然数都成立？并证明你结论。
解析：当时，由，
得，
当时，由，
得，
猜想。
下面用数学归纳法证明：
当时，等式恒成立。
①当时，由上面计算知，等式成立。
②假设成立，
那么当时，

∴当时，等式也成立。
由①②知，对一切自然数n，等式都成立。
故存在函数，使等式成立。
点评：（1）归纳、猜想时，核心是寻找满足条件与n关系式，猜想关系未必对任意都满足条件，故需用数学归纳法证明。
（2）通过解答归纳过程提供了一种思路：可直接解出，即

。