2022年六年级小升初数学行程问题.doc

六年级（小升初）总复习行程问题
行程问题常用解题措施有
⑴公式法 S=V*T ⑵图示法
⑶比例法
行程问题中有诸多比例关系，在只懂得和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要是，在某些较复杂题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不拟定，在没有具体数值状况下，只能用比例解题；
⑷分段法 ⑸方程法
模块一、时间相似速度比等于路程比
【例 1】 甲、乙二人分别从 A、B 两地同步出发，相向而行，甲、乙速度之比是 4 ：3，二人相遇后继续行进，甲达到 B 地和乙达到 A地后都及时沿原路返回，已知二人第二次相遇地点距第一次相遇地点 30千米，则 A、B 两地相距多少千米？
【解析】 两个人同步出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过路程比为 4 ：3．第一次相遇时甲走了全程4/7；第二次相遇时甲、乙两个人共走了 3个全程，三个全程中甲走了个全程，与第一次相遇地点距离为个全程．因此 A、B两地相距 (千米)．

【例 2】 B地在A，C两地之间．甲从B地到A地去送信，甲出发10分后，乙从B地出发到C地去送另一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是她从B地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来．已知甲、乙速度相等，丙速度是甲、乙速度3倍，丙从出发到把信调过来后返回B地至少要用多少时间。
【解析】 根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下：

由于丙速度是甲、乙3倍，分步讨论如下：
（1） 若丙先去追及乙，因时间相似丙速度是乙3倍，比乙多走两倍乙走需要10分钟，因此丙用时间为：10÷（3－1）=5（分钟）此时拿上乙拿错信

当丙再回到B点用5分钟，此时甲已经距B地有10＋10＋5＋5＝30（分钟），同理丙追及时间为30÷（3－1）=15（分钟），此时给甲应当送信，换回乙应当送信
在给乙送信，此时乙已经距B地：10＋5＋5＋15＋15=50（分钟），
此时追及乙需要：50÷（3－1）=25（分钟），返回B地需要25分钟
因此共需要时间为5＋5＋15＋15＋25＋25=90（分钟）
（2） 同理先追及甲需要时间为120分钟

【例 3】 (“圆明杯”数学邀请赛) 甲、乙两人同步从、两点出发，甲每分钟行米，乙每分钟行米，出发一段时间后，两人在距中点处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了分钟，两人将在距中点处相遇，且中点距、距离相等，问、两点相距多少米？
【分析】 甲、乙两人速度比为，相遇时候时间相等，路程比等于速度之比，相遇时甲走了全程，乙走了全程．第二次甲停留，乙没有停留，且先后两次相遇地点距离中点相等，因此第二次乙行了全程，甲行了全程．由于甲、乙速度比为，根据时间一定，路程比等于速度之比，因此甲行走期间乙走了，因此甲停留期间乙行了，因此、两点距离为(米)．

【例 4】 甲、乙两车分别从 A、B 两地同步出发，相向而行．出发时，甲、乙速度之比是 5 ：4，相遇后甲速度减少 20%，乙速度增长 20%．这样当甲达到 B 地时，乙离 A地尚有 10 千米．那么 A、B 两地相距多少千米？
【解析】 两车相遇时甲走了全程，乙走了全程，之后甲速度减少 20%，乙速度增长 20%，此时甲、乙速度比为 ，因此甲达到 B 地时，乙又走了，距离 A地，因此 A、B 两地距离为 (千米)．

【例 5】 上午，小张骑车从甲地出发去乙地．下午 1 点，小王开车也从甲地出发，前去乙地．下午 2 点时两人之间距离是 15 千米．下午 3 点时，两人之间距离还是 l5 千米．下午 4 点时小王达到乙地，晚上 7 点小张达到乙地．小张是上午几点出发？
【解析】 从题中可以看出小王速度比小张块．下午 2 点时两人之间距离是 l5 千米．下午 3 点时，两人之间距离还是 l5 千米，所如下午 2 点时小王距小张 15 千米，下午 3 点时小王超过小张 15千米，可知两人速度差是每小时 30 千米．由下午 3 点开始计算，小王再有 1 小时就可走完全程，在这 1 小时当中，小王比小张多走 30 千米，那小张 3 小时走了15 30 45= + 千米，故小张速度是 45 ÷3 =15千米/时，小王速度是15 ＋30 =45千米/时．全程是 45 ×3 =135千米，小张走完全程用了135 ＋15= 9小时，因此她是上午 10 点出发。

【例 6】 从甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。其中下坡路与上坡路距离相等。陈明开车从甲地到乙地共用了 3 小时，其中第一小时比第二小时多走 15 千米，第二小时比第三小时多走 25 千米。如果汽车走上坡路比走平路每小时慢 30 千米，走下坡路比走平路每小时快 15 千米。那么甲乙两地相距多少千米？
【解析】 ⑴由于3个小时中每个小时各走什么路不明确，因此需要先予以拟定．
从甲地到乙地共用3小时，如果最后一小时先走了一段平路再走上坡路，也就是说走上坡路路程不需要1小时，那么由于下坡路与上坡路距离相等，而下坡速度更快，所如下坡更用不了1小时，这阐明第一小时既走完了下坡路，又走了一段平路，而第二小时则是全在走平路．这样话，由于下坡速度不不不小于平路速度，因此第一小时走路程不不小于如下坡速度走1小时路程，而这个路程正好比以平路速度走1小时路程(即第二小时走路程)多走15千米，因此这样话第一小时走路程比第二小时走路程多走少于15千米，不合题意，因此假设不成立，即第三小时所有在走上坡路．
如果第一小时所有在走下坡路，那么第二小时走了一段下坡路后又走了一段平路，这样第二小时走路程将不不不小于以平路速度走1小时路程，而第一小时走路程比第二小时走路程多走少于15千米，也不合题意，因此假设也不成立，故第一小时已走完下坡路，还走了一段平路．
因此整个行程为：第一小时已走完下坡路，还走了一段平路；第二小时走完平路，还走了一段上坡路；第三小时所有在走上坡路．
⑵由于第二小时比第三小时多走25千米，而走平路比走上坡路速度快每小时30千米．因此第二小时内用在走平路上时间为小时，别旳小时在走上坡路；
由于第一小时比第二小时多走了15千米，而小时下坡路比上坡路要多走千米，那么第一小时余下下坡路所用时间为小时，因此在第一小时中，有小时是在下坡路上走，剩余小时是在平路上走．
因而，陈明走下坡路用了小时，走平路用了小时，走上坡路用了小时．
⑶由于下坡路与上坡路距离相等，因此上坡路与下坡路速度比是．那么下坡路速度为千米/时，平路速度是每小时千米，上坡路速度是每小时千米．
那么甲、乙两地相距(千米)．

模块二、路程相似速度比等于时间反比

【例 7】 甲、乙两人同步从地出发到地，通过3小时，甲先到地，乙还需要1小时达到地，此时甲、乙共行了35千米．求，两地间距离．
【分析】 甲用3小时行完全程，而乙需要4小时，阐明两人速度之比为，那么在3小时内路程之比也是；又两人路程之和为35千米，因此甲所走路程为千米，即，两地间距离为20千米．

【例 8】 在一圆形跑道上，甲从 A 点、乙从 B 点同步出发反向而行，6 分后两人相遇，再过4 分甲达到 B 点，又过 8 分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？

【解析】 由题意知，甲行 4 分相称于乙行 6 分.（抓住走同一段路程时间或速度比例关系）
从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行 12 分，而乙行 12 分相称于甲行 8 分，因此甲环行一周需 12＋8＝20（分），乙需 20÷4×6＝30（分）.

【例 9】 上午 8 点整，甲从 A地出发匀速去 B 地，8 点 20 分甲与从 B 地出发匀速去 A地乙相遇；相遇后甲将速度提高到本来 3 倍，乙速度不变；8 点 30 分，甲、乙两人同步达到各自目地．那么，乙从 B 地出发时是 8 点几分．
【解析】 甲、乙相遇时甲走了 20 分钟，之后甲速度提高到本来 3 倍，又走了 10 分钟达到目地，根据路程一定，时间比等于速度反比，如果甲没提速，那么背面路甲需要走10× 3= 30分钟，所此先后两段路程比为 20 ：30 =2 ：3，由于甲走 20 分钟路程乙要走 10 分钟，因此甲走 30 分钟路程乙要走 15 分钟，也就是说与甲相遇时乙已出发了 15 分钟，因此乙从 B 地出发时是 8 点5 分．

【例 10】 小芳从家到学校有两条同样长路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路．小芳上学走这两条路所用时间同样多．已知下坡速度是平路1.6 倍，那么上坡速度是平路速度多少倍？
【解析】 设小芳上学路上所用时间为 2，那么走一半平路所需时间是1．由于下坡路与一半平路长度相似，根据路程一定，时间比等于速度反比，走下坡路所需时间是，因而，走上坡路需要时间是，那么，上坡速度与平路速度比等于所用时间反比，为，因此，上坡速度是平路速度倍．

【例 11】 一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行750米，预测50分钟达到．但汽车行驶到路程时，出了故障，用5分钟修理完毕，如果仍需在预定期间内达到乙地，汽车行驶余下路程时，每分钟必要比本来快多少米？
【分析】 当以原速行驶到全程时，总时间也用了，因此还剩余分钟路程；修理完毕时还剩余分钟，在剩余这段路程上，预测时间与实际时间之比为，根据路程一定，速度比等于时间反比，实际速度与预定速度之比也为，因而每分钟应比本来快米．
小结：本题也可先求出相应路程和时间，再采用公式求出相应速度，最后计算比本来快多少，但不如采用比例法简便．

【例 12】 (“我爱数学夏令营”数学竞赛)一列火车出发小时后因故停车小时，然后以原速迈进，最后达到目地晚小时．若出发小时后又迈进公里因故停车小时，然后同样以原速迈进，则达到目地仅晚小时，那么整个路程为________公里．
【解析】 如果火车出发小时后不断车，然后以原速迈进，最后达到目地晚小时，在一小时后来那段路程，原筹划所花时间与实际所花时间之比为，因此原筹划要花小时，目前要花小时，若出发小时后又迈进公里不断车，然后同样以原速迈进，则达到目地仅晚小时，在一小时后来那段路程，原筹划所花时间与实际所花时间之比为，因此原筹划要花小时，目前要花小时．因此按照原筹划公里路程火车要用小时，因此火车原速度为千米／小时，整个路程为千米．

【例 13】 王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原筹划速度提高了1/9，成果提前一种半小时达到；返回时，按原筹划速度行驶 280 千米后，将车速提高1/6，于是提前1 小时 40 分达到北京．北京、上海两市间路程是多少千米？
【解析】 从开始出发，车速即比原筹划速度提高了1/9，即车速为原筹划10/9，则所用时间为原筹划1÷10/9=9/10，即比原筹划少用1/10时间，因此一种半小时等于原筹划时间1/10，原筹划时间为：1.5÷1/10=15(小时)；按原筹划速度行驶 280 千米后，将车速提高1/6，即此后车速为本来7/6，则此后所用时间为原筹划1÷7/6=6/7，即此后比原筹划少用1/7时间，因此1 小时 40 分等于按原筹划速度行驶 280 千米后余下时间1/7，则按原筹划速度行驶 280 千米后余下时间为：
5/3÷1/7=35/3(小时)，因此，原筹划速度为：84(千米/时)，北京、上海两市间路程为：84 ×15= 1260(千米)．

【例 14】 一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高 20%可以提前1小时达到．如果按原速行驶一段距离后，再将速度提高 30% ，也可以提前1小时达到，那么按原速行驶了所有路程几分之几？
【解析】 车速提高 20%，即为原速度6/5，那么所用时间为本来5/6，因此原定期间为小时；如果按原速行驶一段距离后再提速 30% ，此时速度为原速度13/10，所用时间为本来10/13，因此按原速度背面这段路程需要时间为小时．所此前面按原速度行使时间为小时，根据速度一定，路程比等于时间之比，按原速行驶了所有路程

【例 15】 一辆车从甲地开往乙地．如果车速提高，可以比原定期间提前1小时达到；如果以原速行驶120千米后，再将车速提高，则可以提前40分钟达到．那么甲、乙两地相距多少千米？
【分析】 车速提高，速度比为，路程一定状况下，时间比应为，因此以原速度行完全程时间为小时．
以原速行驶120千米后，后来一段路程为考察对象，车速提高，速度比为，所用时间比应为，提前40分钟达到，则用原速度行驶完这一段路程需要小时，因此以原速行驶120千米所用时间为小时，甲、乙两地距离为千米．

【例 16】 甲火车分钟行进路程等于乙火车分钟行进路程．乙火车上午从站开往站，开出若干分钟后，甲火车从站出发开往站．上午两列火车相遇，相遇地点离、两站距离比是．甲火车从站发车时间是几点几分？
［分析］甲、乙火车速度比已知，因此甲、乙火车相似时间内行程比也已知．由此可以求得甲火车单独行驶距离与总路程比．
根据题意可知，甲、乙两车速度比为．
从甲火车出发算起，到相遇时两车走路程之比为，而相遇点距、两站距离比是．阐明甲火车出发前乙火车所走路程等于乙火车个小时所走路程．也就是说乙比甲先走了一种小时四分之一，也就是15分钟．因此甲火车从站发车时间是点分．

模块三、比例综合题

【例 17】 小狗和小猴参与100米初赛．成果，当小狗跑到终点时，小猴才跑到90米处，决赛时，自作聪颖小猴忽然提出：小狗天生跑得快，我们站在同一起跑线上不公平，我建议把小狗起跑线往后挪10米．小狗批准了，小猴乐滋滋想：“这样我和小狗就同步达到终点了！”亲爱小朋友，你说小猴会如愿以偿吗？
【解析】 小猴不会如愿以偿．第一次，小狗跑了100米，小猴跑了90米，因此它们速度比为；那么把小狗起跑线往后挪10米后，小狗要跑110米，当小狗跑到终点时，小猴跑了米，离终点还差1米，因此它还是比小狗晚达到终点．

【例 18】 甲、乙两人同步从 A地出发到 B 地，通过 3 小时，甲先到 B 地，乙还需要 1 小时达到 B 地，此时甲、乙共行了 35 千米．求 A， B 两地间距离．
【解析】 甲、乙两个人同步从A地到B地，所通过路程是固定
所需要时间为：甲3个小时，乙4个小时（3+1）
两个人速度比为：甲：乙=4：3
当两个人在相似时间内共行35千米时，相称与甲走4份，已走3份，
因此甲走：35÷（4＋3）×4=20（千米），因此，A、B两地间距离为20千米

【例 19】 、、三辆汽车以相似速度同步从甲市开往乙市．开车后小时车出了事故，和车照常迈进．车停了半小时后以原速度继续迈进．、两车行至距离甲市千米时车出了事故，车照常迈进．车停了半小时后也以原速度继续迈进．成果达到乙市时间车比车早小时，车比车早小时，甲、乙两市距离为 千米．
【分析】如果车没有停半小时，它将比车晚到小时，由于车后来速度是车，即两车行　小时路车比车慢小时，因此慢小时阐明车后来行了小时．从甲市到乙市车要行小时．
同理，如果车没有停半小时，它将比车晚到小时，阐明车后来行了小时，这段路车需行小时，也就是说这段路是甲、乙两市距离．
故甲、乙两市距离为(千米)．

【例 20】 甲、乙二人步行远足旅游，甲出发后小时，乙从同地同路同向出发，步行小时达到甲于分钟前曾到过地方．此后乙每小时多行米，通过小时追上速度保持不变甲．甲每小时行多少米？
［分析］根据题意，乙加速之前步行小时路程等于甲步行小时路程，因此甲、乙速度之比为，乙速度是甲速度倍；
乙加速之后步行小时路程等于甲步行小时路程，因此加速后甲、乙速度比为．加速后乙速度是甲速度倍；
由于乙加速后每小时多走500米，因此甲速度为米/小时．

【例 21】 甲、乙两人分别骑车从地同步同向出发，甲骑自行车，乙骑三轮车．12 分钟后丙也骑车从地出发去追甲．丙追上甲后及时按原速沿原路返回，掉头行了3千米时又遇到乙．已知乙速度是每小时千米，丙速度是乙2倍．那么甲速度是多少？

［分析］ 丙速度为千米/小时，丙比甲、乙晚出发12分钟，相称于退后了千米后与甲、乙同步出发．
如图所示，相称于甲、乙从，丙从同步出发，丙在处追上甲，此时乙走到处，然后丙掉头走了3千米在处和乙相遇．
从丙返回到碰见乙，丙走了3千米，因此乙走了千米，故为千米．那么，在从出发到丙追上甲这段时间内，丙一共比乙多走了千米，由于丙速度是乙速度2倍，因而，丙追上甲时，乙走了千米，丙走了15千米，正好用1个小时；而此时甲走了千米，因而速度为(千米/小时)．

【例 22】 甲、乙两人同步从山脚开始爬山，达到山顶后就及时下山，她们两人下山速度都是各自上山速度 1.5 倍，并且甲比乙速度快。两人出发后 1 小时，甲与乙在离山顶 600 米处相遇，当乙达到山顶时，甲正好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？
【解析】 甲如果用下山速度上山，乙达到山顶时，甲正好到半山腰，
阐明甲走过路程应当是一种单程 1×1.5+1/2=2 倍，
就是说甲下山速度是乙上山速度 2 倍。
两人相遇时走了 1 小时，这时甲还要走一段下山路，这段下山路乙上山用了 1 小时，因此甲下山要用1/2 小时。 甲一共走了 1+1/2=1.5（小时）

【例 23】 一条东西向铁路桥上有一条小狗，站在桥中心以西米处．一列火车以每小时千米速度从西边开过来，车头距西桥头三个桥长距离．若小狗向西迎着火车跑，正好能在火车距西桥头米时逃离铁路桥；若小狗以同样速度向东跑，小狗会在距东桥头米处被火车追上．问铁路桥长多少米，小狗速度为每小时多少千米？
【分析】设铁路桥长为米．
在小狗向西跑状况下：小狗跑路程为米，火车走路程为米；
在小狗向东跑状况下：小狗跑路程为米，火车走路程为米；
两种状况合起来看，在相似时间内，小狗一共跑了米，火车一共走了米；
由于是倍，因此火车速度是小狗速度倍，因此小狗速度为(千米/时)；
由于火车速度为小狗速度倍，因此，解此方程得：．
因此铁路桥全长为米，小狗速度为每小时千米．

【例 24】 如图，点分，有甲、乙两人以相似速度分别从相距米、两地顺时针方向沿长方形边走向点，甲点分到后，丙、丁两人及时以相似速度从点出发，丙由向走去，点分与乙在点相遇，丁由向走去，点分在点被乙追上，则连接三角形面积为 平方米．

【分析】如图，由题意知，丙从到用分钟，丁从到用分钟，乙从经到用分钟，阐明甲、乙速度是丙、丁速度倍．由于甲走用分钟，因此丙走要用(分钟)，走用(分钟)．
　　　　由于乙走用分钟，因此丙走用(分钟)．
　　　　由于长米，因此丙每分钟走(米)．于是求出
　　　　(米)，(米)，(米)．

　　　　 (平方米)．

【例 25】 如图，长方形长与宽比为，、为边上三等分点，某时刻，甲从点出发沿长方形逆时针运动，与此同步，乙、丙分别从、出发沿长方形顺时针运动．甲、乙、丙三人速度比为．她们出发后分钟，三人所在位置点连线第一次构成长方形中最大三角形，那么再过多少分钟，三人所在位置点连线第二次构成最大三角形？

［分析］长方形内最大三角形等于长方形面积一半，这样三角形一定有一条边与长方形某条边重叠，并且另一种点正好在该长方形边对边上．
因此我们只要讨论三个人中有两个人在长方形顶点上状况．
将长方形宽等分，长等分后，将长方形周长分割成段，设甲走段所用时间为个单位时间，那么一种单位时间内，乙、丙分别走段、段，由于、、两两互质，因此在非整数单位时间时候，甲、乙、丙三人最多也只能有个人走了整数段．因此我们只要考虑在整数单位时间，三个人运到到顶点状况．
对于甲运动进行讨论：
时间(单位时间)

……
地点

对于乙运动进行讨论：
时间(单位时间)

……
地点

对于丙运动进行讨论：
时间(单位时间)

……
地点

需要检查时间点有、、、、……
个单位时间时候甲和丙重叠无法满足条件．
个单位时间时候甲在上，三人第一次构成最大三角形．因此一种单位时间相称于分钟．
个单位时间时候甲、乙、丙分别在、、位置第二次构成最大三角形．
因此再过度钟．三人所在位置点连线第二次构成最大三角形？
课后作业

练习1. 甲、乙两车分别从 A、B 两地出发，在 A、B 之间不断来回行驶，已知甲车速度是乙车速度，并且甲、乙两车第 次相遇（这里特指面对面相遇）地点与第 次相遇地点正好相距 120 千米，那么，A、B 两地之间距离等于多少 千米？
【解析】 甲、乙速度之比是 3：7，因此我们可以设整个路程为 3+7=10 份，这样一种全程中甲走 3 份，第 次相遇时甲总共走了 3×（×2-1）=12039 份，第 次相遇时甲总共走了 3×（×2-1）=12045 份，因此总长为 120÷［12045-12040-（12040-12039）]×10=300 米.

练习2. 甲、乙两人分别从、两地同步出发，相向而行，出发时她们速度之比是，她们第一次相遇后甲速度提高了，乙速度提高了，这样，当甲达到地时，乙离地尚有千米，那么、两地距离是多少千米？
【分析】由于她们第一次相遇时所行时间相似，因此第一次相遇时甲、乙两人行路程之比也为，相遇后，甲、乙两人速度比为；达到地时，即甲又行了份路程，这时乙行路程和甲行路程比是，即乙路程为．乙从相遇后达到还要行份路程，还剩余(份)，正好还剩余千米，因此份这样路程是(千米)．
、两地有这样(份)，因而、两地总路程为：(千米)．

练习3. 小明和小刚进行米短跑比赛(假定二人速度均保持不变)．当小刚跑了米时，小明距离终点尚有米，那么，当小刚达到终点时，小明距离终点尚有多少米？
【分析】当小刚跑了米时，小明跑了米，在相似时间里，两人速度之比等于相应路程之比，为；在小刚跑完剩余米时，两人通过时间相似，因此两人路程之比等于相应速度之比，则可知小明这段时间内跑了米，还剩余米．

练习4. 客车和货车同步从甲、乙两地中点向反向行驶，3小时后客车达到甲地，货车离乙地尚有22千米，已知货车与客车速度比为，甲、乙两地相距多少千米？
【分析】 货车与客车速度比，相似时间内所行路程比也为，那么客车走路程为(千米)，为全程一半，因此全程是(千米)．

练习5. 甲、乙两人从，两地同步出发，相向而行．甲走到全程地方与乙相遇．已知甲每小时走千米，乙每小时走全程．求，之间路程．
【分析】 相似时间内，甲、乙路程之比为，因而甲、乙速度比也为，因此乙速度为千米/时．两地之间路程为：千米．