2022年小升初行程问题专项讲解及试题.doc

行程问题
一【知识点导航】
行程问题从运动形式上分可以分为五大类：

二【典例解析】
1. 直线上相遇与追及

只要波及到速度和、路程和问题就应当用第一种公式，虽然题目背景是追及；
而只要波及到速度差、路程差问题就应当用第二个公式，虽然题目背景是相遇。
【例1】甲、乙两辆汽车同步从东西两地相向开出，甲每小时行56千米，乙每小时行48千米，两车在离两地中点32千米处相遇。问：东西两地间距离是多少千米？（某重点中学小升初考题）
【解析】本题表面上看是一种典型相遇问题，其实里面暗藏了路程差关系，就在条件"两车在离两地中点32千米处相遇"这句话中。

【变式】大客车和小轿车同地、同方向开出，大客车每小时行60千米，小轿车每小时行84千米，大客车出发2小时后小轿车才出发，几小时后小轿车追上大客车?

【例2】两名游泳运动员在长为30米游泳池里来回游泳，甲速度是每秒游1米，乙速度是每秒游0.6米，她们同步分别从游泳池两端出发，来回共游了5分钟。如果不计转向时间，那么在这段时间内两人共相遇多少次？（某重点中学小升初考题）
【解析】相遇次数与两人路程和有关．如下图所示

【变式】甲、乙两车同步从A、B两站相对开出，第一次相遇离A站有90千米，然后各自按原速继续行驶，分别达到对方出发站后及时沿原路返回。第二次相遇时离A站距离占AB两站全长65%。求AB两站距离。

2.火车过人、过桥与错车问题
在火车问题中，速度和时间并没有什么需要特殊解决地方，特殊地方是路程。由于此时路程不仅与火车迈进距离有关，还与火车长、隧道长、桥长这些物体长度有关。就拿火车过桥来说，如果题目考察是火车过桥整个过程，那么就应当从"车头上桥"开始到"车尾下桥"结束，相应路程就等于"车长 桥长"；如果题目考察是火车停留在桥上过程，那就应当从"车尾上桥"到"车头下桥"结束。相应路程就应当是"火车车长 桥长".具体如下所示：

【例3】一列客车通过250米长隧道用25秒，通过210米长隧道用23秒。已知在客车前方有一列行驶方向与它相似货车，车身长为320米，速度每秒17米。求列车与货车从相遇到离开所用时间。（仁华学校五年级上学期期末考试试题）
【解析】本题涉及了两个基本类型火车问题，一是火车过隧道问题，二是火车错车问题。而这两者之间最核心是第一种过程分析，分析措施就是前面所说四大措施中第三点——"运用和差倍分关系进行对比分析"：250米隧道比210米隧道多40米，从而使得客车通过前者时间比后者多了秒，由此即可得出客车速度。有了客车速度，再求客车长度以及错车时间就非常容易了。
【变式】列车通过一座长2700米大桥，从车头上桥到车尾离桥共用了3分钟。已知列车速度是每分钟1000米，列车车身长多少米?

3.多种对象间行程问题
虽然此类问题波及对象至少有三个，但在实际分析时不会同步分析三、四个对象，而是把这些对象两两进行对比。因而，求解此类行程问题核心，就在于能否将某两个对象之间关系，转化为与其她对象有关结论。
【例4】有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米。目前甲从东村，乙、丙两人从西村同步出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇。那么，东、西两村之间距离是多少米？（"港澳数学奥林匹克公开赛"试题）
【解析】本题最核心一段路程，就是甲、乙相遇之后6分钟内，甲、乙两人路程和。这段路程既是甲、乙路程和，又是乙、丙路程差。只要明白了这一路程双重身份，就能不久求出此题。人们不妨画出图来，自己分析一下。
【变式】有甲、乙、丙三人同步同地出发，绕一种花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲于乙、丙背向而行。甲每分40米，乙每分38米，丙每分36米。出发后，甲和乙相遇后3分钟又与丙相遇。这花圃周长是多少？

4.环形问题与时钟问题
环形问题与其她行程问题相比，最大特点就在于"周期性"与"对称性".这是由环形跑道自身特点决定。人们再分析环形问题时，一定要留意"周期性"与"对称性"在题目中体现。
【例5】甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同步出发，背向而行。目前已知甲走一圈时间是70分钟，如果在出发后45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈时间是多少分钟？（第十六届"全国小学数学奥林匹克"竞赛初赛试题）
【解析】本题从头到尾都只有时间：给条件是时间，问问题也是时间。像这种只给时间、求时间问题，一般做法就是——设数。把路程或速度这两个未知量中某一种量随便设个数，然后再进行求解。本题就可以设环形公路全程为6300米，接着便可求甲、乙两人速度了。
【变式】有一座时钟目前显示10时整。那么，通过多少分钟，分针与时针第一次重叠；再通过多少分钟，分针与时针第二次重叠？（北京市第十一届"迎春杯"决赛试题）

5.流水行船问题
流水行船问题与其她行程问题相比，特殊地方在于速度。由于有水流因素，船速度有顺流、逆流区别，因而在流水行船问题中，船速度有三种：逆水速度、静水速度、顺水速度。
【例6】甲、乙两船分别在一条河A，B两地同步相向而行，甲顺流而下，乙逆流而上。相遇时，甲乙两船行了相等航程，相遇后继续迈进，甲达到B地、乙达到A地后，都及时按本来路线返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行1000米。如果从第一次相遇到第二次相遇时间相隔1小时20分，那么河水流速为每小时多少千米？（某重点中学小升初考题）
【解析】甲、乙两船刚出发时行驶速度相似，但一种顺流、另一种逆流，阐明两船静水速度差了两倍水速（甲慢乙快）。调头之后，甲变为逆流，乙变为顺流，此时两船行驶速度应当差几倍水速？考虑清晰这点，你就懂得如何运用甲、乙速度差来求水速了。
【变式】客轮和货轮从甲、乙两港同步相向开出，6小时后客轮与货轮相遇，但离两港中点尚有6千米。已知客轮在静水中速度是每小时30千米，货轮在静水中速度是每小时24千米。求水流速度是多少?

三【巩固练习】
1．甲、已两个车站相距168千米，一列慢车从甲站开出，速度为36千米/小时，一列快车从乙站开出，速度为48千米/小时。
（1）两列火车同步开出，相向而行，多少小时相遇？
（2）慢车先开1小时，相向而行，快车开几小时与慢车相遇？
2．甲、乙两人从同地出发前去某地。甲步行，每小时走4公里，甲走了16公里后，乙骑自行车以每小时12公里速度追赶甲，问乙出发后，几小时能追上甲？
3.甲、乙两人练习50米短距离赛跑，甲每秒钟跑7米，乙每秒钟跑6.5米。
（1）几秒后，甲在乙前面2米？
（2）如果甲让乙先跑4米，几秒可追上乙？
4.甲、乙两人在400米环型形跑道上练习跑步，甲每秒跑5.5米，乙每秒跑4.5米。
1.乙先跑10米，甲再和乙同地、同向出发，还要多长时间初次相遇？
2.乙先跑10米，甲再和乙同地，背向出发，还要多长时间初次相遇？
3.甲、乙同步同地同向出发，通过多长时间二人初次相遇？
4.甲先跑10米，乙再和甲同地、同向出发，还要多长时间初次相遇？
5.一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头之间距离？
6.甲、乙两人在一条长400米环形跑道上跑步，如果同向跑，每隔分钟相遇一次，如果反向跑，则每隔40秒相遇一次，已知甲比乙跑快，求甲、乙两人速度？

7.甲、乙两人骑自行车，同步从相距65千米两地相向而行，甲速度为17.5千米每小时，乙速度为15千米每小时，通过了几小时两人相距32.5千米？

8.一列客车车长280米，一列货车车长200米，在平行轨道上相向而行，从两个车头相遇到车尾相离通过20秒。如果两车同向而行，货车在前，客车在后，从客车头遇到货车尾再到客车尾离开货车头通过120秒。客车速度和货车速度分别是多少?

9. 甲、乙两人同步从相距米两地相向而行，甲每分钟行55米，乙每分钟行45米，如果一只狗与甲同步同向而行，每分钟行120米，遇到乙后，及时回头向甲跑去，遇到甲再向乙跑去。这样不断来回，直到甲和乙相遇为止，狗共行了多少米?

10.某解放军队伍长450米，以每秒1.5米速度行进。一战士以每秒3米速度从排尾到排头并及时返回排尾，那么这需要多少时间？（某重点中学小升初考题）