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第二十七讲 动态几何问题透视
春去秋来，花开花落，物转星移，世间万物每时每刻都处在运动变化、互相联系、互相转化中，事物本质特性只有在运动中方能凸现出来．
动态几何问题，是指以几何知识和图形为背景，渗入运动变化观点一类问题，常用形式是：点在线段或弧线上运动、图形翻折、平移、旋转等，解此类问题基本方略是：
1．动中觅静
这里“静”就是问题中不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中摸索问题中不变性．
2．动静互化
“静”只是“动”瞬间，是运动一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”关系．
3．以动制动
以动制动就是建立图形中两个变量函数关系，通过研究运动函数，用联系发展观点来研究变动元素关系．
注：几何动态既是一类问题，也是一种观点与思维措施，运用几何动态观点，可以把表面看来不同定理统一起来，可以找到探求几何中最值、定值等问题措施；更一般状况是，对于一种数学问题，努力去发掘更多结论，不同解法，通过弱化或强化条件来探讨结论状况等，这就是常说“动态思维”．
【例题求解】
【例1】 如图，把直角三角形ABC斜边AB放在定直线上，按顺时针方向在上转动两次，使它转到A″B″C″位置，设BC=1，AC=，则顶点A运动到点A″位置时，点A通过路线与直线所围成面积是 ．
思路点拨 解题核心是将转动图形精确分割．RtΔABC两次转动，顶点A所通过 路线是两段圆弧，其中圆心角分别为120°和90°，半径分别为2和，但该路线与直线所围成面积不只是两个扇形面积之和．
【例2】如图，在⊙O中，P是直径AB上一动点，在AB同侧作AA′⊥AB，BB′⊥AB，且AA′=AP，BB′=BP，连结A′B′，当点P从点A移到点B时，A′B′中点位置( )
⌒
A．在平分AB某直线上移动 B．在垂直AB某直线上移动
C．在AmB上移动 D．保持固定不移动
思路点拨 画图、操作、实验，从中发现规律．
【例3】 如图，菱形OABC长为4厘米，∠AOC＝60°，动点P从O出发，以每秒1厘米速度沿O→A→B路线运动，点P出发2秒后，动点Q从O出发，在OA上以每秒1厘米速度，在AB上以每秒2厘米速度沿O→A→B路线运动，过P、Q两点分别作对角线AC平行线．设P点运动时间为秒，这两条平行线在菱形上截出图形(图中阴影某些)周长为厘米，请你回答问题：
(1)当=3时，值是多少?
(2)就下列多种情形：
①0≤≤2；②2≤≤4；③4≤≤6；④6≤≤8．求与之间函数关系式．
(3)在给出直角坐标系中，用图象体现(2)中多种情形下与关系．
思路点拨 本例是一种动态几何问题，又是一种“分段函数”问题，需运用动态观点，将各段分别讨论、画图、计算．
注：动与静是对立，又是统：一，无论图形运动变化哪一类问题，都真实地反映了现实世界中数与形变与不变两个方面，从辩证角度去观测、摸索、研究此类问题，是一种重要解题方略．
建立运动函数关系就更一般地、整体-地把握了问题，许多有关问题就转化为求函数值或自变量值．
【例4】 如图，正方形ABCD中，有始终径为BC半圆，BC=2cm，既有两点E、F，分别从点B、点A同步出发，点E沿线段BA以1m／秒速度向点A运动，点F沿折线A—D—C以2cm／秒速度向点C运动，设点E离开点B时间为2 (秒)．
(1)当为什么值时，线段EF与BC平行?
(2)设1<<2，当为什么值时，EF与半圆相切?
(3)当1≤<2时，设EF与AC相交于点P，问点E、F运动时，点P位置与否发生变化?若发生变化，请阐明理由；若不发生变化，请予以证明，并求AP：PC值．
思路点拨 动中取静，根据题意画出不同位置图形，然后分别求解，这是解本例基本方略，对于(1)、(2)，运用有关几何性质建立有关方程；对于(3)，点P位置与否发生变化，只需看与否为一定值．
注：动态几何问题常通过观测、比较、分析、归纳等措施谋求图形中某些结论不变或变化规律，而把特定运动状态，通过代数化来定量刻画描述也是解此类问题重要思想．
【例5】 ⊙O1与⊙O2相交于A、B两点；如图(1)，连结O2 O1并延长交⊙O1于P点，连结PA、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点，连结C O2并延长交⊙O2于E点．已知⊙O2半径为R，设∠CAD=．
(1)求：CD长(用含R、式子体现)；
(2)试判断CD与PO1位置关系，并阐明理由；
(3)设点P′为⊙O1上(⊙O2外)动点，连结P′A、P′B并分别延长交⊙O2于C′、D′，请你探究∠C′AD′与否等于?C′D′与P′Ol位置关系如何?并阐明理由．
⌒
思路点拨 对于(1)、(2)，作出圆中常用辅助线；对于(3)，P点虽为OOl上一种动点，但⊙O1、⊙O2某些量(如半径、AB)都是定值或定弧，运用圆性质，把角与孤联系起来．
学力训练
1．如图， ΔABC中，∠C=90°，AB=12cm，∠ABC=60°，将ΔABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋转到AB延长线上D处，则AC边扫过图形面积是 cm (π=3.14159…，最后成果保存三个有效数字)．
2．如图，在RtΔ ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC= cm，将ΔABC绕点B旋转至ΔA'BC'位置，且使A、B、C'三点在同一条直线上，则点A通过最短路线长度是 cm．
3．一块等边三角形木板，边长为l，现将木板沿水平线翻滚，那么B点从开始至结束走过途径长度为( )
A． B． C．4 D．
4．把ΔABC沿AB边平移到ΔA'B'C'位置，它们重叠某些面积是ΔABC面积一半，若AB=，则此三角形移动距离AA'是( )
A． B． C．1 D．
5．如图，正三角形ABC边长为6厘米，⊙O半径为r厘米，当圆心O从点A出发，沿着线路AB—BC—CA运动，回到点A时，⊙O随着点O运动而移动．
(1)若r=厘米，求⊙O初次与BC边相切时AO长；
(2)在O移动过程中，从切点个数来考虑，相切有几种不同状况?写出不同状况下，r取值范畴及相应切点个数；
(3)设O在整个移动过程中，在ΔABC内部，⊙O未通过某些面积为S，在S>0时，求有关r函数解析式，并写出自变量r取值范畴．
6．已知：如图，⊙O韵直径为10，弦AC=8，点B在圆周上运动(与A、C两点不重叠)，连结BC、BA，过点C作CD⊥AB于D．设CB长为，CD长为．
(1)求有关函数关系式；当以BC为直径圆与AC相切时，求值；
(2)在点B运动过程中，以CD为直径圆与⊙O有几种位置关系，并求出不同位置时 取值范畴；
(3)在点B运动过程中，如果过B作BE⊥AC于E，那么以BE为直径圆与⊙O能内切吗?若不能，阐明理由；若能，求出BE长．
7．如图，已知A为∠POQ边OQ上一点，以A为顶点∠MAN两边分别交射线OP于M、N两点，且∠MAN=∠POQ=(为锐角)．当∠MAN以点A为旋转中心，AM边从与AO重叠位置开始，按逆时针方向旋转(∠MAN保持不变)时，M、N两点在射线OP上同步以不同速度向右平移移动．设OM=，ON= (>≥0)，ΔAOM面积为S，若cos、OA是方程两个根．
(1)当∠MAN旋转30°(即∠OAM=30°)时，求点N移动距离；
(2)求证：AN2=ON·MN；
(3)求与之间函数关系式及自变量取值范畴；
(4)试写出S随变化函数关系式，并拟定S取值范畴．
8．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3cm，∠C＝60°，BD⊥CD．
(1)求BC、AD长度；
(2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm／s速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm／s速度运动，当P、Q分别从B、C同步出发时，写出五边形ABPQD面积S与运动时间之间函数关系式，并写出自变量取值范畴(不涉及点P在B、C两点状况)；
(3)在(2)前提下，与否存在某一时刻，使线段PQ把梯形ABCD提成两某些面积比为1：5？若存在，求出值；若不存在，请阐明理由．
9．已知：如图①，E、F、G、H按照AE=CG，BF=DH，BF＝nAE(n是正整数)关系，分别在两邻边长、矩形ABCD各边上运动．
设AE=，四边形EFGH面积为S．
(1)当n=l、2时，如图②、③，观测运动状况，写出四边形EFGH各顶点运动到何位置，使?
(2)当n=3时，如图④，求S与之间函数关系式(写出自变量取值范畴)，摸索S随增大而变化规律；猜想四边形EFGH各顶点运动到何位置，使；
(3)当n=k (k≥1)时，你所得到规律和猜想与否成立?请阐明理由．
10．如图1，在直角坐标系中，点E从O点出发，以1个单位／秒速度沿轴正方向运动，点F从O点出发，以2个单位／秒速度沿轴正方向运动，B(4，2)，以BE为直径作⊙O1．
(1)若点E、F同步出发，设线段EF与线段OB交于点G，试判断点G与⊙O1位置关系，并证明你结论；
(2)在(1)条件下，连结FB，几秒时FB与⊙O1相切?
(3)如图2，若E点提前2秒出发，点F再出发，当点F出发后，E点在A点左侧时，设BA⊥轴于A点，连结AF交⊙O1于点P，试问PA·FA值与否会发生变化?若不变，请阐明理由，并求其值；若变化，祈求其值变化范畴．
参照答案
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