2022年初中数学竞赛辅导讲义及习题解答动态几何问题透视.doc

第二十七讲 动态几何问题透视 春去秋来，花开花落，物转星移，世间万物每时每刻都处在运动变化、互相联系、互相转化中，事物本质特性只有在运动中方能凸现出来 动态几何问题，是指以几何知识和图形为背景，渗入运动变化观点一类问题，常用形式是：点在线段或弧线上运动、图形翻折、平移、旋转等，解此类问题基本方略是： 1动中觅静 这里“静”就是问题中不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中摸索问题中不变性 2动静互化 “静”只是“动”瞬间，是运动一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”关系 3以动制动 以动制动就是建立图形中两个变量函数关系，通过研究运动函数，用联系发展观点来研究变动元素关系注：几何动态既是一类问题，也是一种观点与思维措施，运用几何动态观点，可以把表面看来不同定理统一起来，可以找到探求几何中最值、定值等问题措施；更一般状况是，对于一种数学问题，努力去发掘更多结论，不同解法，通过弱化或强化条件来探讨结论状况等，这就是常说“动态思维” 【例题求解】【例1】 如图，把直角三角形ABC斜边AB放在定直线上，按顺时针方向在上转动两次，使它转到ABC位置，设BC=1，AC=，则顶点A运动到点A位置时，点A通过路线与直线所围成面积是 思路点拨 解题核心是将转动图形精确分割RtABC两次转动，顶点A所通过 路线是两段圆弧，其中圆心角分别为120和90，半径分别为2和，但该路线与直线所围成面积不只是两个扇形面积之和【例2】如图，在O中，P是直径AB上一动点，在AB同侧作AAAB，BBAB，且AA=AP，BB=BP，连结AB，当点P从点A移到点B时，AB中点位置( ) A在平分AB某直线上移动 B在垂直AB某直线上移动 C在AmB上移动 D保持固定不移动 思路点拨 画图、操作、实验，从中发现规律【例3】 如图，菱形OABC长为4厘米，AOC60，动点P从O出发，以每秒1厘米速度沿OAB路线运动，点P出发2秒后，动点Q从O出发，在OA上以每秒1厘米速度，在AB上以每秒2厘米速度沿OAB路线运动，过P、Q两点分别作对角线AC平行线设P点运动时间为秒，这两条平行线在菱形上截出图形(图中阴影某些)周长为厘米，请你回答问题： (1)当=3时，值是多少? (2)就下列多种情形： 02；24；46；68求与之间函数关系式 (3)在给出直角坐标系中，用图象体现(2)中多种情形下与关系 思路点拨 本例是一种动态几何问题，又是一种“分段函数”问题，需运用动态观点，将各段分别讨论、画图、计算注：动与静是对立，又是统：一，无论图形运动变化哪一类问题，都真实地反映了现实世界中数与形变与不变两个方面，从辩证角度去观测、摸索、研究此类问题，是一种重要解题方略建立运动函数关系就更一般地、整体-地把握了问题，许多有关问题就转化为求函数值或自变量值 【例4】 如图正方形ABCD中，有始终径为BC半圆，BC=2cm，既有两点E、F，分别从点B、点A同步出发，点E沿线段BA以1m秒速度向点A运动，点F沿折线ADC以2cm秒速度向点C运动，设点E离开点B时间为2 (秒) (1)当为什么值时，线段EF与BC平行? (2)设12，当为什么值时，EF与半圆相切? (3)当10时，求有关r函数解析式，并写出自变量r取值范畴 6已知：如图，O韵直径为10，弦AC=8，点B在圆周上运动(与A、C两点不重叠)，连结BC、BA，过点C作CDAB于D设CB长为，CD长为 (1)求有关函数关系式；当以BC为直径圆与AC相切时，求值； (2)在点B运动过程中，以CD为直径圆与O有几种位置关系，并求出不同位置时 取值范畴； (3)在点B运动过程中，如果过B作BEAC于E，那么以BE为直径圆与O能内切吗?若不能，阐明理由；若能，求出BE长 7如图，已知A为POQ边OQ上一点，以A为顶点MAN两边分别交射线OP于M、N两点，且MAN=POQ=(为锐角)当MAN以点A为旋转中心，AM边从与AO重叠位置开始，按逆时针方向旋转(MAN保持不变)时，M、N两点在射线OP上同步以不同速度向右平移移动设OM=，ON= (0)，AOM面积为S，若cos、OA是方程两个根 (1)当MAN旋转30(即OAM=30)时，求点N移动距离； (2)求证：AN2=ONMN； (3)求与之间函数关系式及自变量取值范畴； (4)试写出S随变化函数关系式，并拟定S取值范畴 8已知：如图，梯形ABCD中，ADBC，AB=CD=3cm，C60，BDCD (1)求BC、AD长度； (2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cms速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cms速度运动，当P、Q分别从B、C同步出发时，写出五边形ABPQD面积S与运动时间之间函数关系式，并写出自变量取值范畴(不涉及点P在B、C两点状况)； (3)在(2)前提下，与否存在某一时刻，使线段PQ把梯形ABCD提成两某些面积比为1：5？若存在，求出值；若不存在，请阐明理由 9已知：如图，E、F、G、H按照AE=CG，BF=DHBFnAE(n是正整数)关系，分别在两邻边长、矩形ABCD各边上运动 设AE=，四边形EFGH面积为S (1)当n=l、2时，如图、，观测运动状况，写出四边形EFGH各顶点运动到何位置，使? (2)当n=3时，如图，求S与之间函数关系式(写出自变量取值范畴)，摸索S随增大而变化规律；猜想四边形EFGH各顶点运动到何位置，使； (3)当n=k (k1)时，你所得到规律和猜想与否成立?请阐明理由 10如图1，在直角坐标系中，点E从O点出发，以1个单位秒速度沿轴正方向运动，点F从O点出发，以2个单位秒速度沿轴正方向运动，B(4，2)，以BE为直径作O1 (1)若点E、F同步出发，设线段EF与线段OB交于点G，试判断点G与O1位置关系，并证明你结论； (2)在(1)条件下，连结FB，几秒时FB与O1相切? (3)如图2，若E点提前2秒出发，点F再出发，当点F出发后，E点在A点左侧时，设BA轴于A点，连结AF交O1于点P，试问PAFA值与否会发生变化?若不变，请阐明理由，并求其值；若变化，祈求其值变化范畴 参照答案