初二数学经典题型含答案.doc

初二数学经典题型
1．已知：如图，P是正方形内点，∠＝∠＝150．求证：△是正三角形．
A
N
F
E
C
D
M
B

2.已知：如图，在四边形中，＝，M、N分别是、的中点，、的延长线交于E、F．求证：∠＝∠F．
3、如图，分别以△的与为一边，在△的外侧作正方形与正方形，点P是的中点．求证：点P到边的距离等于的一半．
4、设P是平行四边形内部的一点，且∠＝∠．求证：∠＝∠．
5为正方形内的一点，并且＝a，＝2a，3a正方形的边长．
6.如图，P是边长为1的正方形对角线上一动点（P与A、C不重合），点E在射线上，且.
（1）求证：① ； ② ⊥；
（2）设, △的面积为y.
① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.
答案
1、证明如下。
首先，，∠∠（180°-150°）÷2=15°，∠90°-15°=75°。
在正方形之外以为底边作正三角形， 连接， 则
∠60°+15°=75°，同样∠75°，又,，，所以△≌△， 那么∠∠60°÷2=30°，在△中，
∠180°-30°-75°=75°=∠∠，于是，
显然△≌△，得∠∠30°，
，∠90°-30°=60°，所以△是正三角形。
2、证明:连接,并取的中点G,连接.
又点N为的中点,则2∥,∠∠;(1)
同理2∥,∠∠;(2)
又,则,∠∠.故:∠∠.
3、证明：分别过E、C、F作直线的垂线，垂足分别为M、O、N，
在梯形中，平行
因为P为中点，平行于两底
所以为梯形中位线，
所以＝（＋）/2
又因为，角0＋角＝90°＝角＋角
所以角角
而角C0B＝角＝角
所以△全等于△
△全等于△（同理）
所以＝，0B＝
所以2.
4、过点P作的平行线，过点A作的平行线，两者相交于点E；连接
因为，
P
A
D
C
B
所以，四边形为平行四边形
所以，∠∠
已知，∠∠
所以，∠∠
所以，A、E、B、P四点共圆
所以，∠∠
因为四边形为平行四边形，所以：，且
而，四边形为平行四边形，所以：，且
所以，，且
即，四边形也是平行四边形
所以，∠∠
所以，∠∠
5  解：将△绕B点旋转90°使与重合，P点旋转后到Q点，连接
因为△≌△
所以＝，＝，∠＝∠，∠＝∠
A

C

B

P

D

因为四边形是正方形
所以∠＝90°，所以∠＋∠＝90°，所以∠＋∠＝90°
即∠＝90°，所以△是等腰直角三角形
所以＝√2*，∠＝45
因为，2a，3a
所以＝2√2a，＝a，所以^2＝9a^2，^2＋^2＝8a^2＋a^2＝9a^2
所以^2＝^2＋^2，所以△是直角三角形且∠＝90°
所以∠＝90°＋45°＝135°，所以∠＝∠＝135°
作⊥
则△是等腰直角三角形
所以＝＝√2＝2√2＝√2a
所以根据勾股定理得：
^2＝^2＋^2
＝(√2a＋a)^2＋(√2a)^2
＝[5＋2√2]a^2
所以＝[√(5＋2√2)]a
6. 解：（1）证法一：
① ∵ 四边形是正方形，为对角线，
∴ , ∠∠45°.
A
B
C
D

P

E

1

2

H

∴ △≌△ （）.
又∵ ，
② （i）当点E在线段上(E与B、C不重合)时，
∴ ∠∠∠∠180°，
∴ ∠360°-(∠∠∠)=90°，
（）当点E与点C重合时，点P恰好在中点处，此时，⊥.
（）当点E在的延长线上时，如图.
∵ ∠∠，∠1=∠2，
∴ ∠∠90°，
综合（i）（）（）, ⊥.
A
B
C
P
D

E
F
（2）① 过点P作⊥，垂足为F，则.
∴ x，.
11-()=.
∴ S△·().
即 (0＜x＜).
∵ ＜0，
∴ 当时，y最大值.
（1）证法二：① 过点P作∥，分别交、于G、F. 如图所示.
∵ 四边形是正方形，
A
B
C
P
D

E
F
G

1
2
3
∴ 四边形与四边形都是矩形，
△与△都是等腰直角三角形.
∴ ，，∠∠90°.
又∵ ，
② ∴ ∠1=∠2.
∴ ∠1+∠3=∠2+∠3=90°.
∴ ∠90°.
（2）①∵ ，
∴ ，1-.
∴ S△·().
即 (0＜x＜).
∵ ＜0，
∴ 当时，y最大值.
26．（本小题满分8分）
如图1，在四边形中，，分别是的中点，连结并延长，分别与的延长线交于点，则（不需证明）．
（温馨提示：在图1中，连结，取的中点，连结，根据三角形中位线定理，证明，从而，再利用平行线性质，可证得．）
问题一：如图2，在四边形中，与相交于点，，分别是的中点，连结，分别交于点，判断的形状，请直接写出结论．
问题二：如图3，在中，，点在上，，分别是的中点，连结并延长，与的延长线交于点，若，连结，判断的形状并证明．
A
C
B
D
F
E
N
M
O
E
B
C
D
H
A
F
N
M
1
2
图1
图2
图3
A
B
C
D
F
G
E

26．（1）等腰三角形 1分
（2）判断出直角三角形 1分
证明：如图连结，取的中点，连结， 1分
是的中点，
A
B
C
D
F
G
H
E
1
2
3
，，
同理，，
． 1分
是等边三角形． 2分
即是直角三角形． 2分
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