资源描述
1，峨眉校区上学时间问题
峨眉校区同窗们在周一到周五日子里，都或多或少地对学校上学时间有着自己意见和见解，或许上午8点第一授课令你疲乏不堪，或许在肚子咕咕叫时冲进食堂又发现人上人海......这些一切，都是我们上学时间安排所导致。下面是峨眉校区上学时间表：
讲数
时间
第一讲
8:00~8:50,9:00~9:50
第二讲
10:10~11:00,11:10~12:00
第三讲
14:00~14:50,15:00~15:50
第四讲
16:10~17:00,17:10~18:00
第五讲
19:30~20:20,20:30~21:30
问题：
（1） 学校目前上学时间合理吗？请你运用数学建模知识，查阅有关资料，合理选用影响因素，并对问题进行一定量化，对学校目前作息时间合理性作出评价，并用一段文字论述。
（2） 对于你成果，你觉得目前上学时间需不需要调节？如果需要，应当如何安排？
2、檐沟问题
峨眉校区基建处需要拟定与屋顶配套檐沟规格。目前假设中山梁一栋教学楼房屋屋顶都是矩形，长12米，从屋脊到檐沟宽为6米，屋顶对水平面倾角尚未定，但大体将在20度和50度之间。
一家檐沟生产公司急欲与学校基建处签定供货合同，该公司声称她们新型塑料檐沟经久耐用，无论什么样天气状况都能有效地满足规定，对这批屋顶，设计檐沟横截面是半径为7.5厘米半圆，用一条直径为10厘米排水管就够了。
学校领导不能确信檐沟供应单位声称，因而找到了对数学建模感爱好你，但愿建一种数学模型，在批量定货前对此作一种全面分析，其中至关重要是这种尺寸在暴雨时与否足以排水。并提交合理建议。
3、雇员问题
峨眉校区后勤部门一周中每天需要不同数目全时雇员来对学校卫生，教学楼财务安全，以及水电设施维修进行管理。每个人每天工作8小时：周一到周四每天至少50人，周五和周日每天至少80人，周六至少90人。现规定应聘者须持续工作5天，试拟定聘任方案，即周一到周六每天聘任多少人，使在满足需要条件下聘任总人数至少？
如果周日需要量由80增长至90人，方案如何变化？
如果可以用两个临时聘任半时雇员（一天工作4小时，不需要持续工作）替代一种全时雇员，但规定半时雇员工作量不得超过总工作量四分之一。又设全时雇员和半时雇员每小时酬金分别为5元和3元，试拟定聘任方案，使在满足需要条件下所付酬金总额最小？
4、医疗站选址问题
今年国内提出了“建设社会主义新农村”伟大举措，国家将拿出1000多亿元建设农村公路，数百亿元解决农民看病难。到“十一五”期末，国内要基本实现村村通公路，基本建立起县、乡、村三级农村医疗卫生服务网络。我们交大好邻居——黄湾乡也不例外。
现假定黄湾乡有7个村，7个村位置坐标大体如下表所示（单位：公里）：
村
1
2
3
4
5
6
7
坐标x
0.00
6.39
32.23
5.09
20.96
2.23
15.01
坐标y
0.00
-5.92
-12.85
24.18
17.37
14.47
4.82
并且各村之间已经建设起了非常发达“纵横交叉”公路网络。
但黄湾乡乡长在完毕国家任务时候遇到了如下问题，她来谋求峨眉校区大学生——你协助，作为一名交大学子，用你数学知识来协助她解决下面两个问题：
（1） 现欲修建一种大型医疗站来解决黄湾乡各村看病难问题，问应当建医疗站在什么位置？
（2） 如果要修建两个医疗站呢？试建立问题数学模型，并给出你算法、程序及成果。
5、图书馆购书筹划制定
西南交大峨眉校区图书馆馆藏图书，重要目不是为了收藏而是为了使用，是为了满足广大师生对图书需要。图书馆每年用于购书经费是有限，如何合理分派使用，以便使有限购书经费最大限度地发挥其特定经济效益是图书馆工作重要环节之一。 假设今年图书馆筹划投入 100 万元用于购买多种图书，并且准备按照表 1 中中图分类进行购买。现请你协助解决如下问题：
（1）图书最后实现价值取决于图书被运用率。因而评价一本书真正价值必要考虑到它流通量大小和借用时间长短，请分析这一问题，并根据各类图书出借状况(表 1)，提出一种评价一本书籍在该校实际使用价值措施。
（2）根据你对前问研究，通过建立数学模型措施来拟定购书资金分派方案。购书方案要使所购图书可以产生最大实际效益，此外，图书馆还应当注意到各类馆藏图书更新率不得低于8%。
（3）11本科教学水平评估在即，按先进评估规定，学校还差39.1万册图书。如果学校决定加大投入，下大力气，保证先进，则应如何制定购书方案，使得投入经费尽量少，而同步图书使用价值尽量大。
表1：图书馆记录数据
类别
内容
种类数
册数
图书总价：元
出借种类数
出借册次
总出借时间：天
A、B
马克思主义、列宁主义、毛泽东思想、哲学
2997
8991
225674.1
1858
7433
252707
C、N
社会科学总论、自然科学总论
1827
5481
121130.1
1078
3773
147137
D
法律
5774
17322
486748.2
4042
9
909405
E、R、S、U、V
军事、医药、卫生、农业科学、交通运送、航空、航天、劳动保护科学(安全科学)
2906
7266
188916
1686
5900
247800
X
环境科学
618
1731
65951.1
383
1725
87966
F
经济
9793
35256
1131718
7639
38194
1756924
G
文化、科学、教导、体育
2277
6375
128137.5
1252
4007
164293
H3
常用外国语
5401
19983
561522.3
4267
23893
1218553
I
文学
11091
29946
733976.5
7764
34937
1222795
J
艺术
2731
7101
199538.1
1775
5681
272678
K
历史、地理
3543
7794
304745.4
2055
6164
246574
O
数理科学和化学
2569
8220
206322
1927
8670
476824
P
人文学、地球科学
266
744
2.4
159
462
23579
Q
生物科学
891
2850
100035
695
2987
161306
TH
机械仪表工业
905
2715
98011.5
652
2997
152865
TM、TS
电工技术轻工业、手工业
1402
3645
102424.5
771
2236
71554
6、室内装修光源安装决策
假设学校准备重新装饰一种会客厅，以便在有高层领导来访之时作为接待之用。现已知该会客厅长为20米，宽为16米，在距离地面高3.2米位置安放多种光源，光源可以排列成矩形阵列（如图1，即将所需光源均匀地排列成一种型矩阵）；也可以排成其她形状（如图 2椭圆形），其中半长轴长：8米，半短轴长6米，椭圆中心位于大厅顶部中心，有3个灯放置于椭圆焦点和中心处，别旳椭圆上均匀地放置几种光源。 假设每个光源亮度P均相似，例如P=100[W]。
下面规定你来运用数学建模知识，协助学校完毕下列问题：
（1）不考虑墙面和地面反射，就图1给出如何计算大厅内任意一点处距离地面1.2米处光照强度？（光源对目旳点光照强度与该光源到目旳点距离平方成反比，与该光源强度成正比）。
（2）对图1，画出距离地面1.2米各个点光照强度与位置（横纵坐标）之间函数关系曲面图，试同步给出一种用于近似计算函数关系式。
（3）对图1，结合成本、人体感光舒服度等因素，问应当设立多少个光源为最合适，应当如何安装？
（4）对图1，如果考虑墙面和地面有某些反射能力，重做问题（1）到（3）。
7、面试问题
既有10名同窗来数学建模协会面试，协会规定每位同窗必要通过招新征询、部长复试以及会长面试三个阶段，且不许插队（10同窗在任意阶段面试顺序一致）。由于个同窗经历不同，每个地点面试所需要时间也不同。具体如下表（单位：min）：
同窗1
同窗2
同窗3
同窗4
同窗5
同窗6
同窗7
同窗8
同窗9
同窗10
招新征询
15
10
20
17
16
25
11
13
14
17
部长复试
13
15
13
10
22
13
15
11
17
10
会长面试
17
8
18
16
18
19
19
16
13
15
10位同窗商定面试完之后一起回去，现请你帮她们设计一种面试顺序，让她们能尽量早结束面试。假设半途不得休息，且面试开始为早上8点，问最早可以几点离开。
8、配送问题
一公司有二厂，分处A、B两市，此外尚有4间具有存贮库房机构，分别在P、Q、R和S市。公司发售产品给6家客户Ci，i=1,2,…,6，由各库房或者直接由工厂向客户供货。
配送货品费用由公司承当，单价见下表：
受货者
供货者
A市厂
B市厂
P库房
Q
R
S
P库房
0.5
--
Q库房
0.5
0.3
R库房
1.0
0.5
S库房
0.2
0.2
客户C1
1.0
2.0
--
1.0
--
--
C2
--
--
1.5
0.5
1.5
--
C3
1.5
--
0.5
0.5
2.0
0.2
C4
2.0
--
1.5
1.0
--
1.5
C5
--
--
--
0.5
0.5
0.5
C6
1.0
--
1.0
--
1.5
1.5
注：单位：元/吨；“--”体现无供货关系。
某些客户体现喜欢有某厂或者某库房供货。计有：
C1----A市厂；C2----P库房；C5----Q库房；C6----R库房或S库房
A市厂月供货不能超过150千吨，B市厂月供货量不能超过200千吨。各库房月最大流通量千吨数为：
库房
P
Q
R
S
流通量
70
50
100
40
各客户每月所必要满足供货量为（单位：千吨）：
客户
C1
C2
C3
C4
C5
C6
规定货量
50
10
40
35
60
20
公司但愿拟定如下事项（不考虑供货者喜好选用）：
（1）如何配货，总费用最低？
（2）增长工厂和库房配送能力对配送费用影响是什么？
（3）费用单价、工厂和库房生产能力以及客户对供货量最低规定等，各项微小变化对配货方案影响是什么？
（4）能不能满足各客户对供货者喜好选用？如果满足，会引起配送费用提高多少？
9，银行工作时间问题
同窗们银行卡，饭卡都是与校内中华人民共和国银行有着千丝万缕关系。
假设中华人民共和国银行每天营业时间是上午9:00到下午5:00. 根据经验，每天不同步间段所需要服务员数量如下：
时间段（时）
9-10
10-11
11-12
12-1
1-2
2-3
3-4
4-5
服务员数量
4
3
4
6
5
6
8
8
银行可以雇佣全时和半时两类服务员。全时服务员每天报酬100元，从上午9:00到下午5:00工作，但中午12:00到下午2:00之间必要安排1小时午餐时间。银行每天可以雇佣不超过3名半时服务员，每个半时服务员必要持续工作4小时，报酬40元。
请你解决下面问题：
（1） 中华人民共和国银行应如何雇佣全时和半时两类服务员？
（2） 如果不能雇佣半时服务员，每天至少增长多少费用？
（3） 如果雇佣半时服务员数量没限制，每天可以减少多少费用？并结合你结论对银行管理人员提一定建议。
10、工件加工顺序问题
既有14件工件等待在一台机床上加工，某些工件加工必要安排在另某些工件竣工后来才干开始，第j号工件加工时间及先期必要竣工工件号 i 由表一给出。
（1） 若给出一种加工顺序，则拟定了每个工件竣工时间（波及等待与加工两个阶段）。试设计一种满足条件加工顺序，使各个工件竣工时间之和最小。
（2）若第 j 号工件紧接着第 i 号工件竣工后动工，机床需要耗费准备时间是。试设计一种满足条件加工顺序，使机床耗费总时间最小。
（3）假定工件竣工时间（波及等待与加工两个阶段）超过一拟定期限u时，则需支付一定补偿费用，其数值等于超过时间与费用率之积，各工件补偿费用率见表二。
设 u=100，，试安排一种加工顺序，使得总补偿费用最小。
表一 加工顺序
工件号j
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
tj
20
28
25
16
42
12
32
10
24
20
40
24
36
16
前期工件号
3
4
5
7
8
5
9
--
10
11
3
8
9
4
3
5
7
4
--
4
7
6
7
14
5
12
1
2
6
表二 补偿费率
工件号j
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
费率
12
10
15
16
10
11
10
8
5
4
10
10
8
12
11、配送问题
峨眉一公司有二厂，分处A、B两市，此外尚有4间具有存贮库房机构，分别在P、Q、R和S市。公司发售产品给6家客户Ci，i=1,2,…,6，由各库房或者直接由工厂向客户供货。
配送货品费用由公司承当，单价见下表：
受货者
供货者
A市厂
B市厂
P库房
Q
R
S
P库房
0.5
--
Q库房
0.5
0.3
R库房
1.0
0.5
S库房
0.2
0.2
客户C1
1.0
2.0
--
1.0
--
--
C2
--
--
1.5
0.5
1.5
--
C3
1.5
--
0.5
0.5
2.0
0.2
C4
2.0
--
1.5
1.0
--
1.5
C5
--
--
--
0.5
0.5
0.5
C6
1.0
--
1.0
--
1.5
1.5
注：单位：元/吨；“--”体现无供货关系。
某些客户体现喜欢有某厂或者某库房供货。计有：
C1----A市厂；C2----P库房；C5----Q库房；C6----R库房或S库房
A市厂月供货不能超过150千吨，B市厂月供货量不能超过200千吨。各库房月最大流通量千吨数为：
库房
P
Q
R
S
流通量
70
50
100
40
各客户每月所必要满足供货量为（单位：千吨）：
客户
C1
C2
C3
C4
C5
C6
规定货量
50
10
40
35
60
20
公司但愿拟定如下事项（不考虑供货者喜好选用）：
（1）如何配货，总费用最低？
（2）增长工厂和库房配送能力对配送费用影响是什么？
（3）费用单价、工厂和库房生产能力以及客户对供货量最低规定等，各项微小变化对配货方案影响是什么？
（4）能不能满足各客户对供货者喜好选用？如果满足，会引起配送费用提高多少？
12、飞机运送问题
一种运送公司每天有100吨航空运送能力。公司每吨收空运费250美元。粗除了重量限制外，由于飞机货场容积有限，公司每天只能运50000立方英尺货品。每天要运送货品数量如下：
货品
重量（吨）
体积（立方英尺/吨）
1
30
550
2
40
800
3
50
400
（1） 求使得利润最大每天航空运送多种货品吨数。
（2） 计算每个约束影子价格，解释它们含义。
（3） 公司有能力对它某些旧飞机进行改装来增大货运区域空间。每架飞机改造要耗费00美元，可以增长立方英尺容积。重量限制仍保持不变。假设飞机每年飞行250天，这些旧飞机剩余使用寿命约为5年。在这种状况下，与否值得改装？有多少架飞机时才值得改装？
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