伴随矩阵的性质及应用.docx

一．伴随矩阵的定义及符号
伴随矩阵是在求非奇异矩阵的逆矩阵时提出来的，
1.代数余子式的定义
为了定义伴随矩阵，需要先定义一个矩阵某一元素的代数余子式：
在行列式
中划去元素所在的第i行和第j列，剩下的个元素按原来的排法构成一个n-1级的行列式，称为元素的余子式，记为，称为元素的代数余子式。
2.伴随矩阵的定义
设是矩阵

中元素的代数余子式，矩阵

称为A的伴随矩阵。
二．伴随矩阵的性质
1.伴随矩阵的基本公式：
由行列式按一行（列）展开的公式立即得出：

其中。
这是伴随矩阵的一个基本公式，我们可以从该等式出发推导出一些有关方阵的伴随矩阵的性质，使我们对伴随矩阵有一个更加全面的认识和理解。
2.在公式基础上推导出的其他性质
（1）A可逆当且仅当可逆。
证明：若A可逆，则0.由知

故
两边取行列式得
即
故，从而可逆
（2），其中A是nn矩阵
证明：由,知
①.当A=0时，有A*=0及A=0，故A*=An-1=0
②．当A≠0时，知AA*=0由引理得秩（A）+秩（A*）≤n
且秩（A）≥1，则秩（A*）<n
综上A*=An-1=0

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