高数微分方程模拟试题及答案.doc

--------------------------------------------------------------------　密　----------------------------　封　---------------------------　线　----------------------------------------------------------- 〔答题不能超出密封装订线〕
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第七章 常微分方程阶段测验
使用班级〔教师填写〕：
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
总分
得分

阅卷人

一. 单项选择题〔每题3分，此题共20分〕
的阶数为( )
(A) 一 (B)二 (C)三 (D)五
2.容易验证：是二阶微分方程的解，试指出以下哪个函数是方程的通解。〔式中为任意常数〕〔 〕
〔A〕 〔B〕
〔C〕 〔D〕
3. 微分方程是 ( )
〔A〕可别离变量方程； 〔B〕齐次方程；
〔C〕一阶线性微分方程； 〔D〕以上都不对。
4.微分方程 的解为〔 〕
〔A〕； 〔B〕；
〔C〕； 〔D〕以上都不对。
5.设为的连续函数,那么方程的解是( )
〔A〕； 〔B〕；
〔C〕； 〔D〕
6.微分方程的一个特解应有形式 ( )
〔A〕； 〔B〕； 〔C〕； 〔D〕
7.微分方程的一个特解应具有形式 ( )
〔A〕 〔B〕
〔C〕 〔D〕
8.微分方程的一个特解应具有形式〔 〕
〔A〕 〔B〕
〔C〕 〔D〕
9.微分方程的通解是〔 〕
〔A〕； 〔B〕；
〔C〕； 〔C〕。
10.设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程=的解，是任意常数，那么该非齐次方程的通解是〔 〕
〔A〕； 〔B〕；
〔C〕； 〔D〕。
二.填空题(每题3分,共15分)
的切线自切点到纵坐标轴间的切线段有定长2，那么曲线应满足的微分方程 。
成正比〔比例系数为〕，在时刻镭的存量为，那么镭的量与时间应满足的微分方程初值问题是 。
m的物体在空气中由静止开场下落。空气阻力与下落速度平方成正比〔比例系数为〕，那么物体下落的速度与时间应满足的微分方程初值问题是
的解为 。
是定义在区间上的函数组，那么线性无关的含义是
三. 求以下微分方程的解(每题7分，共49分)
1、求微分方程的通解。
2、求微分方程的通解。
3、求微分方程的通解。
4、求微分方程的通解。
5、求微分方程的通解 。
6、求微分方程的一条积分曲线，使其在原点处与直线相切。
7、求微分方程的一个特解。
四．设函数j(x)连续, 且满足 , 求j(x). (8分)
五．某曲线经过点(1, 1), 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标, 求它的方程.(8分)
一.单项选择题〔每题3分，此题共15分〕
1. ( B ) 2.〔A 〕 3. ( B) 4.〔C〕 5. ( A )
6. (D ) 7. ( D ) 8〔A〕 9.〔C〕 10.〔D〕
二.填空题(每题3分,共15分)
1. 2. 是比例系数〕
3. 4.
全为零，才能使等式对于所有成立。
三. 求以下微分方程的解(每题7分，共49分)
1、解: 原方程化为: 令，上述方程化为:
; 积分得：
以代入得原方程的通解:
2、解：方程改变为线性微分方程:
故通解为: ; 即:
3、解：令，那么 代入方程得：
解得：；把代入
得通解为：
4、解：因为，故原方程可化简为
别离变量得：
积分得通解：
5、解：
6、解：方程的通解为：
由，代入上式得：
故所求积分曲线的方程为：
7、解：特征方程的根为； 因为
故设特解为：
代入方程得：
四．解 等式两边对x求导得: ,
再求导得微分方程: , 即
微分方程的特征方程为: 。
其根为。故对应的齐次方程的通解为:
易知是非齐次方程的一个特解, 故非齐次方程的通解为
由所给等式知j(0)=1, j¢(0)=1, 由此得.
因此 .
五．解 设点(x, y)为曲线上任一点, 那么曲线在该点的切线方程为： Y-y=y¢(X-x),
其在纵轴上的截距为y-xy¢, 因此由有： y-xy¢=x, 即.
这是一个一阶线性方程, 其通解为： ,
即方程的通解为y=x(C-ln x).
由于曲线过点(1, 1), 所以C=1. 因此所求曲线的方程为y=x(1-ln x).
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