相似三角形的综合应用.doc

相似三角形的应用
【学习目标】
1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算．
2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．

【知识回顾】
一、相似三角形的性质
（1）对应边的比相等，对应角相等．
（2）相似三角形的周长比等于相似比．
（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方．
（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比．
二、相似三角形的应用:
1、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；
2、利用三角形相似，求线段的长等
3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度．如求河的宽度、求建筑物的高度等．

【典型例题】
例1：如图，△是一块锐角三角形余料，边120， 高80， 要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，
（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？
（2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？
A
B
C
Q
M
D
N
P
E

【同步练习】如图，△是一块三角形余料，13，10，现在要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在△的边上，其余两个顶点分别在三角形另外两条边上．试求正方形的边长是多少？

例2：阅读以下文字并解答问题：
在“测量物体的高度” 活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）．
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．
小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米．
小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如图4）．身高是1.6m的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m．

图1
图2
图3
图4

（1）在横线上直接填写甲树的高度为 米．
（2）求出乙树的高度（画出示意图）．

（3）请选择丙树的高度为（ ）
A、6.5米 B、5.75米 C、6.05米 D、7.25米
（4）你能计算出丁树的高度吗？试试看．

【同步练习】如图，有一路灯杆(底部B不能直接到达)，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长＝3m，沿方向到达点F处再测得自己得影长＝4m，如果小明得身高为1.6m，求路灯杆的高度．

例3：如图，已知是△的中线，M是边上的一动点，，交于N点。
⑴ 如图①，若，则 。如图②，若，则 。
如图③，若，则 。
⑵ 猜想，和存在怎样的关系？并证明你的结论。
⑶ 当 时，恰有

【同步练习】如图，是△的中位线，M是的中点，的延长线交于点N，则△∶四边形 =

例4：如图，在中，的面积为25，点为边上的任意一点（不和、重合），过点作，交于点．设，以为折线将翻折（使落在四边形所在的平面内），所得的和梯形重叠部分的面积记为．
（1）用表示的面积；
（2）求出时和的函数关系式；
（3）求出时和的函数关系式；
（4）当取何值时，的值最大？最大值是多少？
E

D
B
C
A
B
C
A

【同步练习】如图，已知矩形的边长2，3，点P是边上的一动点（P异于A、D），Q是边上的任意一点. 连、，过P作∥交于E，作∥交于F.
（1）求证：△∽△；
（2）设的长为x，试求△的面积S△关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△取得最大值?最大值为多少?

例5：等腰△，8，∠120°，P为的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．
（1）如图a，当三角板的两边分别交、于点E、F时．求证：△～△；
（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交的延长线、边于点E、F．
① 探究1：△和△还相似吗？（只需写出结论）
② 探究2：连结，△和△是否相似？请说明理由；
③ 设，△的面积为S，试用m的代数式表示S．

【同步练习】如图，M为线段的中点，和交于点C，∠＝∠A＝∠B＝α，且交于F，交于G．
（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；
（2）连结，如果α＝45°，＝，＝3，求的长．

例6：如图，已知抛物线y＝x 2＋＋c和坐标轴交于A、B、C三点，A点的坐标为（－1，0），过点C的直线y＝x－3和x轴交于点Q，点P是线段上的一个动点，过P作⊥于点H．若＝5t，且0＜t＜1．
（1）填空：点C的坐标是，b＝，c＝；
（2）求线段的长（用含t的式子表示）；
（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形和△相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．
A
C
B
Q
P
O
H
x
y

巩固练习
1. 中，于一定能确定为直角三角形的条件的个数是（ ）①②③④⑤
A．1　 B．2 C．3 D．4
2. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形△，，分别交于点G，H．设△，△的面积分别为S1，S2，则（ ）
A．． B． C．． D．

3. 如图，在Δ内有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，b，c满足的关系式（ ）
A． B． C．b222 D．22c
4. 某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图，在△中，∠90°，30，50，依次裁下宽为1的矩形纸条a1、a2、a3…，若使裁得的矩形纸条的长都不小于5，则每张彩纸能裁成的矩形纸条的总数是（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27

5. 如图，点在射线上，点在射线上，且，．若，的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为 ．
6. 在斜坡的顶部有一铁塔，B是的中点，是水平的，在阳光的照射下，塔影留在坡面上．已知铁塔底座宽12m，塔影长18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高为（ ）
A．24m B．22m C．20m D．18m

7. 正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，
（1）证明：；
（2）设，梯形的面积为，求和之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；
（3）当点运动到什么位置时，求的值．