最详细的复利和年金的计算推导.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,复利和年金的计算推导,超级详细版,1,作者寄语,在你开始阅读这个,PPT,之前，我有些话要先对读者你讲一讲，关于资金时间价值的复利和年金的计算和推导，涉及的数学知识其实很简单，只是由于数据庞大，因此让很多人望而却步，因此一定要耐下性子进行计算，这个幻灯片应该说是财务基础接近零的人都可以看会的，关键是要静下心，一个字一个字的读完，这样才能把这一部分知识彻底领悟到，祝你们成功！,2,字母的含义,i,报酬率或利率,n,期数,A,每期投入或支付的相同金额，在普通年金中也叫偿债基金,F,Future,终,P,Present,现,V,Value,值,I,系数,3,一、复利的计算,1,、复利的终值,2,、复利的现值,4,1,、复利的终值,复利的终值：就是一些钱过,n,期之后利滚利的最后所得总额。,5,1,、复利的终值总结,计算公式,：,FV,n,=PV,n,(1+i),n,注：,(1+i),n,就是传说中的,复利终值系数,：FVIF,i,n,=(1+i),n,因此，复利终值计算公式又可以写成,FV,n,=PV,n,FVIF,i,n,6,2,、复利的现值,复利的现值：就是利滚利过,n,期后能拿到的一些钱在现在值多少钱。,7,2,、复利的现值总结,计算公式,：,PV,n,=FV,n,就是传说中的,复利现值系数,：PVIF,i,n,=,因此，复利现值计算公式又可以写成,PV,n,=FV,n,PVIF,i,n,1,(1+i),n,1,(1+i),n,注：,1,(1+i),n,8,二、年金的计算,1,、普通年金,2,、即付年金,3,、递延年金,4,、永续年金,9,1,、普通年金,普通年金：又叫后付年金，是指各期期末收付的年金。,A,A,A,A,A,A,A,A,A,总共,n,期,10,（,1,）普通年金终值,说白了，就是计算每次投入的,A,在第,n,期期末（也就是线段最右端点）的终值总和。,推导：,FVA,i,n,=A+A(1+i)+A(1+i),2,+A(1+i),n-1,=A,t=1,n,(1+i),t-1,到这一步如果你看得懂，你很聪明！,11,（,1,）普通年金终值,刚才的结论是下面这个公式,计算公式,：,FVA,i,n,=,A,t=1,n,(1+i),t-1,就是传说中的,年金,终值系数,：FVIFA,i,n,=,注：,t=1,n,(1+i),t-1,t=1,n,(1+i),t-1,因此，年金终值计算公式又可以写成,FVA,i,n,=A FVIFA,i,n,12,（,1,）普通年金终值,看到这里，是不是有点晕头转向了呢？,将计算公式：,FVA,i,n,=,A,t=1,n,(1+i),t-1,变形，,等号两端同时乘以,(1+i),，得到下式：,FVA,i,n,(1+i)=,A,t=1,n,(1+i),t,等比数列求和啊！,=A,1-(1+i),1-(1+i),n,=A,i,(1+i),n+1,-1,(1+i),(1+i),13,（,1,）普通年金终值,这样，只要在等号两端再同时除以,(1+i),，就又诞生了一个变形后的公式,计算公式,：,FVA,i,n,=A,i,(1+i),n+1,-1,这样，,年金,终值系数,就变成了,：,FVIFA,i,n,=,i,(1+i),n+1,-1,最后敲定普通年金终值计算公式为,FVA,i,n,=A,i,(1+i),n+1,-1,14,（,1,）普通年金终值总结,我们对普通年金终值的计算公式进行如下总结,FVA,i,n,=A,t=1,n,(1+i),t-1,=A FVIFA,i,n,=A,i,(1+i),n+1,-1,15,（,2,）普通年金现值,说白了，就是计算让每次投入的,A,退回到第一期期初（也就是线段最左端点）的现值总和。,推导：,PVA,i,n,=A,1,(1+i),+,A,1,(1+i),2,+,A,1,(1+i),3,+,A,=A,t=1,n,1,(1+i),t,1,(1+i),n,16,（,2,）普通年金现值,刚才的结论是下面这个公式,PVA,i,n,=A,t=1,n,1,(1+i),t,注：,t=1,n,1,(1+i),t,就是传说中的,年金现,值系数,：PVIFA,i,n,=,t=1,n,1,(1+i),t,因此，年金现值计算公式又可以写成,PVA,i,n,=A PVIFA,i,n,17,（,2,）普通年金现值,PVA,i,n,=A,t=1,n,1,(1+i),t,=A,1-,1+i,1,1+i,1,1-,(1+i),n,1,=A,i,1-,(1+i),n,1,我们将继续利用等比数列求和公式分解,18,（,2,）普通年金现值,这样，又诞生了一个变形后的公式,计算公式,：,PVA,i,n,=A,i,1-,(1+i),n,1,这样，,年金现,值系数,就变成了,：,P,VIFA,i,n,=,i,1-,(1+i),n,1,最后敲定普通年金现值计算公式为,PVA,i,n,=A,i,1-,(1+i),n,1,19,（,1,）普通年金现值总结,我们对普通年金终值的计算公式进行如下总结,PVA,i,n,=A,t=1,n,1,(1+i),t,=A PVIFA,i,n,=A,i,1-,(1+i),n,1,20,2,、即付年金,即付年金：又叫先付年金，或预付年金，是指各期期初预付的年金。,A,A,A,A,A,A,A,A,A,总共,n,期,21,（,1,）即付年金终值,说白了，就是计算每次投入的,A,在第,n,期期末（也就是线段最右端点）的终值总和。,推导：,XFVA,i,n,=A(1+i)+A(1+i),2,+A(1+i),n,=A,t=1,n,(1+i),t,还记得普通年金的终值吗？它仅仅是指数变成了,t-1,22,（,1,）即付年金终值,刚才的结论是下面这个公式,计算公式,：,X,FVA,i,n,=A,t=1,n,(1+i),t,我们先不要急着求和，看看即付年金和普通年金的计算公式如何转化。,A,t=1,n,(1+i),t,和,A,t=1,n,(1+i),t-1,之间的转化,即,23,（,1,）即付年金终值,暂时把,A,抛在一边，看这两个求和,t=1,n,(1+i),t,t=1,n,(1+i),t-1,=,(1+i)+(1+i),2,+(1+i),n,=,1+(1+i)+(1+i),2,+(1+i),n-1,很明显,t=1,n,(1+i),t,=,t=1,n,(1+i),t-1,(1+i),24,（,1,）即付年金终值,所以，,X,FVA,i,n,=FVA,i,n,(1+i),这一步告诉我们，即付年金终值是普通年金终值的,(1+i),倍，在财务上可以理解为,多,计算了一期的终值，因此，在计算即付年金终值时，通常是转化为普通年金终值，并查阅年金终值系数表而确定的，而年金终值系数表本身就是普通年金的终值系数，因此这里的公式就显得尤为重要。,25,（,1,）即付年金终值,现在我们来对即付年金终值进行等比数列求和。,X,FVA,i,n,=A,t=1,n,(1+i),t,=A,1-(1+i),1-(1+i),n,(1+i),=A,i,(1+i),n+1,-(1+i),=A,i,(1+i),n+1,-1,-A,=A,i,(1+i),n+1,-1,-1,26,（,1,）即付年金终值,不知道大家是否清楚我为什么要把,A,后面的部分整个括起来，聪明的人应该明白，要把它看成系数，恩，很好。,i,(1+i),n+1,-1,是什么？再次回想普通年金终值，看出来没？,是的，我知道你看出来了！中括号里的内容就是,n+1,期的普通年金终值系数,FVIFA,i,n+1,27,（,1,）即付年金终值,我们再次把公式写出来看看,X,FVA,i,n,=FVA,i,n+1,-A,可以再次从财务角度来解释一下这个公式，其实，,n,期即付年金的终值就是,n+1,期普通年金的终值,去掉,一期的偿债基金后所得。换句话说，如果即付年金终值也有系数，那么即付年金终值系数比普通年金终值系数的,期数多,1,期，但是,系数值少,1,。,28,（,1,）即付年金终值总结,最后，我们把即付年金终值的所有公式进行总结,X,FVA,i,n,=A,t=1,n,(1+i),t,=A,i,(1+i),n+1,-1,-A,=FVA,i,n,(1+i),=FVA,i,n+1,-A,29,（,2,）即付年金现值,说白了，就是计算每次投入的,A,退回到第一期期初（也就是线段最左端点）的现值总和。,推导：,XPVA,i,n,=A+A,1+i,1,+A,(1+i),2,1,+A,(1+i),n-1,1,=A,t=1,n,(1+i),t-1,1,还记得普通年金的现值吗？同样仅仅是指数变成了,t-1,30,（,2,）即付年金现值,刚才的结论是下面这个公式,计算公式,：,X,PVA,i,n,我们先不要急着求和，和计算终值的时候一样，看看即付年金和普通年金的计算公式如何转化。,A,t=1,n,和,A,t=1,n,之间吧！,即,=A,t=1,n,(1+i),t-1,1,(1+i),t,1,(1+i),t-1,1,31,（,2,）即付年金现值,暂时把,A,抛在一边，看这两个求和,t=1,n,t=1,n,(1+i),t,1,(1+i),t-1,1,=,=,(1+i),1,(1+i),2,1,+,+,(1+i),n,1,(1+i),1,(1+i),2,1,+,+,(1+i),n-1,1,很明显,t=1,n,t=1,n,(1+i),t,1,(1+i),t-1,1,=,(1+i),32,（,2,）即付年金现值,所以，,X,PVA,i,n,=PVA,i,n,(1+i),这一步同样告诉我们，即付年金现值是普通年金现值的,(1+i),倍，在财务上可以理解为,少,计算了一期的现值，因此，在计算即付年金现值时，通常是转化为普通年金现值，并查阅年金现值系数表而确定的，而年金现值系数表本身就是普通年金的现值系数，因此这里的公式就显得尤为重要。,33,现在我们来对即付年金现值进行等比数列求和。,（,2,）即付年金现值,X,PVA,i,n,t=1,n,(1+i),t-1,1,=A,=A,1-,(1+i),1,1-,(1+i),n,1,1=A,i,分子分母同乘,(1+i),1-,(1+i),n-1,1,+A,34,（,2,）即付年金现值,如果把,A,提到外面来，另一边将变成什么？,X,PVA,i,n,=A,i,1-,(1+i),n-1,1,+1,回忆一下普通年金现值系数，可知，中括号里就可以变成,P,VIFA,i,n-1,+1,了。,35,（,2,）即付年金现值,我们再次把公式写出来看看,X,PVA,i,n,=,P,VIFA,i,n-1,+A,仍然可以再从财务角度来解释一下这个公式，,n,期即付年金的现值就是,n-1,期普通年金的现值,增加,一期的偿债基金后所得。换句话说，如果即付年金也有现值系数，那么即付年金的现值系数比普通年金系数的,期数少,1,期，但是,系数值多,1,。,36,（,2,）即付年金现值,最后，我们把即付年金现值的所有公式进行总结,X,PVA,i,n,=A,t=1,n,(1+i),t-1,1,=A,i,1-,(1+i),n-1,1,+A,=PVA,i,n,(1+i),=P,VIFA,i,n-1,+A,37,3,、递延年金,递延年金：又叫延期年金，是指前面,m,期不付，后面,n,期每期期末交付，直到最后一期期末的年金。,A,A,A,A,A,A,支付,n,期,m,期,38,（,1,）递延年金终值,由于后面,n,期按照普通年金的方式完成支付，那么递延年金的终值实际上就是,n,期普通年金的终值。,P,n,=A,t=1,n,(1+i),t-1,=A FVIFA,i,n,=A,i,(1+i),n+1,-1,这里，对于递延年金的终值就不进行总结了。,39,（,2,）递延年金现值,首先我想说，递延年金现值有两种计算方法，不知道读者你有没有看出来？,第一种，前面,m,期不看，可以直接计算出后面,n,期在它本身的期初（不是总共,m+n,期的期初哦！）的现值，就是上上页线段的前,m,期最后一个端点，同时也是后,n,期的最左边端点，然后将这个值看成前,m,期的终值，调整到前,m,期期初，即整个线段最左端点即可。,第二种，看成是,m+n,期的普通年金，计算出现值以后，减去前,m,期并未支付的那些现值，剩下的也是递延年金的现值。,40,（,2,）递延年金现值,第一种方法,P,0,=A PVIFA,i,n,=A,i,1-,(1+i),n,1,P,0,=,P,0,(1+i),m,1,=A PVIFA,i,n,PVIF,i,m,你看到了什么？复利现值系数啊！,41,（,2,）递延年金现值,第二种方法,P,0,=A PVIFA,i,m+n,=A,i,1-,(1+i),m+n,1,P,0,=P,0,-P,m,=A PVIFA,i,m+n,-A PVIFA,i,m,42,（,2,）递延年金现值,为了验证这两种方法是殊途同归，我们来算一算。,P,0,=A PVIFA,i,n,PVIF,i,m,=A,i,1-,(1+i),n,1,(1+i),m,1,=A,(1+i),m,1,-,(1+i),m+n,1,第,一,种,方,法,i,1,43,（,2,）递延年金现值,P,0,=A PVIFA,i,m+n,-A PVIFA,i,m,=A,i,1-,(1+i),m+n,1,-A,i,1-,(1+i),m,1,=A,(1+i),m,1,-,(1+i),m+n,1,i,1,第,二,种,方,法,44,（,2,）递延年金现值总结,很明显，两种方法计算出的结果是一样的。,计算公式：,P,0,=A PVIFA,i,n,PVIF,i,m,=A PVIFA,i,m+n,-A PVIFA,i,m,提示：关键是注意下标的字母，这是区分的唯一途径。,45,4,、永续年金,永续年金：是指每期期末都进行交付，没有最后一期期末，无休止的延续下去的年金。,A,A,A,A,A,A,A,A,期数为无穷大,46,永续年金现值,很显然，永续年金没有尽头，因此它当然没有终值，只有现值。,由于永续年金的支付方式和普通年金是一样的，因此，计算方法和普通年金一样。,P=,i,1-,(1+i),n,1,A,lim,n,=,i,1,47,