有关函数最值问题的十二种解法.doc

本稿件适合高三高考复习用
有关函数最值问题
的十二种解题方法和策略

贵州省龙里中学高级教师 洪其强（551200）

一、消元法：在已知条件等式下，求某些二元函数的最值时，可利用条件式消去一个参量，从而将二元函数化为在给定区间上求一元函数的最值问题。
例1、已知、且，求的值域。
解：由得，即。

当时，取得最大值；当时，取得最小值0。即的值域为

二、判别式法：对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数出现在一个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件来求出的最值。
例2、求函数的最值。
解：由得
，
因为，所以，即，解得。
因此的最大值是，最小值是－2。
三、配方法：对于涉及到二次函数的最值问题，常用配方法求解。
例3、求在区间内的最值。
解：配方得
，所以 ，从而当即时，取得最大值；当即时取得最小值1。
四、辅助角公式：如果函数经过适当变形化为
、均为常数），则可用辅助角公式来求函数的最值。
例4、求函数的值域。
解：由化为
，即
，从而
。
因此的值域为。
五、三角代换法：
例5、求函数的值域。
解：由，令，其中，则
，
因为，所以，从而，因此。
六、基本不等式法：运用基本不等式求函数的最值时要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件。
例6、求函数的值域。
解：
。当且仅当，即时，等号成立，所以
七、求导法：
例7、用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时，容器的容积最大？并求出它的最大容积．
解：设容器底面短边长为x m 容器容积为y m3，则另一边为(0.5)m,高为

∵ ∴0<x<1.6
(0.5)(3.2-2x) (0<x<1.6)，即2x3+2.2x2+1.6x
令y’6x2+4.41.6=0 ,即15x2-114=0，解得
x1=1，x2(舍)
在(0,16)内只有在1处使y’=0,若x接近0或接近1.6 m时，y接近0.故当1，y最大=1.8 当高为3.2-2×1=1.2 m时容器最大为1.8 m3。
八、函数的单调性法：在确定函数在指定区间上的最值时，一定要考虑函数在已知区间上的单调情况。
例8、设函数是奇函数，对任意、均有关系，若时，且。求在上的最大值和最小值。
解：先确定在上的单调性，设任意、且，则。

即。
在上是减函数。
因此的最大值是

的最小值是
九、利用函数在区间、上递增，在区间、上递减来解
例9、求函数的值域。
解：因为，易证在或上都是减函数，所以当时，取得最大值－3；所以当时，取得最小值3。
。
十、数形结合法：数形结合法是解决最值和值域问题的重要方法，在运用中要实现问题的转化，充分利用图形的直观性。
1、利用两点的距离公式及点到直线的距离公式是解决某些最值问题的一种重要方法。
例10、求函数的最小值。
分析：
=
表示动点到定点，的距离之和，而A、B两点分别位于X轴的上下两侧，由此连接交X轴于一点，易证该点即是所求的P点。
解：由题意及分析易得直线的方程为，令 得 即所求的P点为（3，0）。此时的最小值是
。
2、利用直线的斜率求最值。
例11、求函数的值域。
解：令，则可以看成坐标平面内过点、的直线的斜率。
因为点在圆上运动，因此，当直线是此圆的切线时，斜率取得最值。
设过点的切线方程为，则有，解得，。
因此的值域为。
3、线性规划法：对于一个线性最值问题，首先应作出约束条件所确定的可行域，则其最值一定在可行域的边界上取到。
例12、设x，y满足约束条件：，求z＝3x＋2y的最大值。
解：画出可行域（见兰色区域），并画出经过可行域的一组平行线（见红线），
如下图所示：

由图可知，当直线过点A(1,1)时，截距最大，即z最大，
∴3×1+2×1=5

十一、待定系数法：
例13、若实数x、y满足的最大值。
解：因为实数x y满足,
所以设2(2)(3y),
∴ ,
∴ (2)+(3y)≤×8+×9=7.
即的最大值为7。

十二、万能公式法：对于由同角的正弦和余弦组成的一次分式函数的最值问题，可以通过万能公式把含正弦和余弦的函数化为只含正切的函数来求出。
例14、求函数的值域。
解：令（），则

由于，所以用判别式法可解。即由得
，从而
当时，；
当时，由得，解得。所以函数的值域为。