高职高专教材 工程数学——概率论.pdf

目录第一章随机事件与概率.1第一节随机事件.1第二节随机事件的概率.5第三节 条件概率、全概率公式与*贝叶斯公式.15第四节事件的相互独立性与伯努利(Bernoulli)概型23习题一.30第二章随机变量.34第一节一维随机变量与分布函数.34第二节 二维随机变量.51习题二.69第三章 随机变量的数字特征.74第一节 数学期望.74第二节方差.83*第三节相关系数.87*第四节 大数定律与中心极限定理.90习题三.96附录 标准正态分布的分布函数表.99习题参考答案.101第一章随机事件与概率第一节随机事件一、现象与统计规律性在自然界与人类社会活动中，人们观察到的各种各样的现象归 纳起来无外乎两类，一类是预先已知其结果，即在条件不变的情况 下，重复进行试验，其结果总是确定不变的，这类现象称为必然现 象，例如，在标准大气压下，4的水密度最大；100的水必然沸 腾；同性磁极相斥，异性磁极相吸等.另一类是预先无法预知其结 果，即使在保持条件不变的前提下，重复进行试验，其结果也不会 相同，这类现象称为随机现象,例如，夏季某河流可能出现最高水 位；某火车每天的客流量等.尽管随机现象无法预言其结果，但人们通过对随机现象的大量 的、长期的观察，还是能够发现其存在的规律性.例如，多次投掷 一枚质地均匀的色子，它有六个数字，我们会发现每个数字出现的 次数近似相等；新生婴儿中男女比例约为1：1.像这样，在相同条 件下，对随机现象进行的大量重复的观察所得结果呈现出的某种规 律性，称为随机现象的统计规律性.研究随机现象的统计规律性，是概率论的基本任务.二、随机事件1.随机事件、随机试验与基本空间（样本空间）2工程数学概率论凡是对现象（自然的或社会的）的观察、测试或为此进行的实 验，均称为试验.试验所有可能发生的结果是已知的，但试验之前 不能预先断定究竟哪个结果会发生的试验，称为随机试验,简称述 验，表示为E.例如，：掷一枚硬币，观察硬币反面出现的情况；及：向靶射击一次，观察命中的环数；/：在一批电子管中任取一只，测试它的寿命；口:在分析天平上称量某种物品的质量.将一个试验的所有可能结果组成一个全集，并将此集合称为这 个试验的基本空间（亦称样本空间）,表示为U.每个可能的试验结 果称为样本点,表示为e.如眉，它的基本空间为正面出现，反面出现,样本点有两 个；8,它的基本空间为。，1,2,，10,样本点为11个；自，它的基本空间为。，+8）,样本点为无穷多个2.随机事件定义1-1 一个随机试验的基本空间的子集称为随机事件,简 称事件.表示为A,B,C,，由一个样本点组成的集合，称为基 本事件,每次试验都必然发生的事件，称为必然事件,表示为U；每次试验都不会发生的事件，称为不可能事件,表示为4.其实，必然事件与不可能事件，从概念上应为确定的事件，在 此只将它们作为特殊的随件事件来看待.三、事件的关系及运算由于事件是由集合定义的，因此，事件的关系及运算，就对应 了相应的集合的关系及运算.1.事件的包含与相等若事件A的发生必然导致事件B的发生，则称事件8包含事 住A记做A B;若A 3且B A,则称事件A与事件昆相等,第一章随机事件与概率 3记做A=B.例如，一口袋中装有2只白球和1只黑球，现从中依次拿出2 只球，设事件A=两次都拿得白球,事件3=第一次拿得白 球,则事件A发生必然导致事件B发生，所以有A B.再如，在标准大气压下，事件A=100的水,事件5=沸 腾的水,它们是等价的两个事件，所以有A=B.2.事件的和、积与差(1)事件A与事件8中至少有一个发生的事件，称为事件A 与事件B的和事件,记做AU B.例如，一件产品合格是指这件产品的长度与直径都是合格而言 的，则这件产品不合格就是长度不合格与直径不合格的和事 件.几个事件4,4,，A”中至少有一个发生的事件，称为这nn个事件的和事件，记做Ai U A2 UU=U A/.i-1(2)事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A与事件B 的积事件,记做AA 3或A5.例如前例中产品合格是长度合 格与直径合格的积事件.几个事件4,A2,同时发生的事件，称为这n个事件n的积事件，记做Ai n A2 n n An=n Ai.i=1(3)事件A发生而事件B不发生的事件，称为事件A与事件 B的差事件,记做A-B.3.互斥事件与互逆事件(1)事件A与事件B不可能同时发生的事件(AB=弓),称事 件A与事件B为互斥(或互不相容)事件.个事件Ai,4,，An中任意两个事件互斥，即AiAj=e(z#j),则称Ai,A2,A是两两互斥的，此时Ai,A2,4工程数学概率论An的和事件可以记做4+4+A=Ai.i-1(2)若事件A与事件3满足AB=6,A+6=U,则称事件A 与事件 下为互逆事件或对立事件，记做3=7.A=B.例如，产品合格产5=产品不钞互为逆事件.显然，A A=e,A+A=U,A=A,A=U-A,Ae=e,A U e=A,U=e,e=U.应该注意的是，互逆事件一定是互斥的，而互斥事件却不一定 是互逆的.如果个事件Ai,4,，4满足：AiAj=e(岸 J),i,j=2,，n Al+A2+An=U.则称这n个事件构成一个完备事件组.4.事件运算的规律(1)交换律：A U 5=A,AB=BA(2)结合律：AU(BU C)=(AU B)U C,A(BC)=(AB)C;(3)分配律：A(BU C)=AB U AC,A U(BC)=(A U B)(A U C)；(4)对偶律(反演律)：A u伴An B=.需要注意的是，集合的运算可以用文氏图形象地表示出来，事 件的运算也可以这样做，不再赘述.【例1-1】设A,良。是三个事件，则(1)事件 A发生而3与。没有发生可表示为A BC 或 A-B-C 或 A-BU C.(2)事件A皂5都发生而。不发生可以表示为AB C 或 AB-C 或 AB-ABC.(3)事件A,B,。都发生可以表示为ABC.第一章随机事件与概率5(4)事件A,B,。中恰有一个发生JT以表示为ABC+ABC+AB C.(5)事件A,B,。中有两个发生可以表示为AB C+A BC+ABC.(6)事件A,B,C中至少有一个发生可以表示为 AU BU C.【例1-2】一件产品合格指的是它的长度与直径都合格A=一件产品合格,A=一件产品不合格3=产品的长度合格,B=产品的长度不合格。=产品的直径合格,。=产品的直径不合格则 A=BC,A=BC=BU C9 A B,A C.W 1-3向指定目标射击三枪4=第，.枪击中目标,i=1,2,3,试用A,表示下列事件：(1)只击中第一枪；(2)只击中一枪；(3)三枪都未击中;(4)至少有一枪击中.解(1)am273；(2)Ai Ai A3+Ai Ai A3+Ai Ai A3;(3)(4)Ai U A2 U A3=Ai A2 A3=U-Ai A2 A3=Ai A2 A3+Ai A2 A3+Ai A2 A3+Ai A2 A3+Ai Ai A3+Ai Ai A3+Ai Ai A3.第二节随机事件的概率为了研究随机现象的统计规律，就必须对事件发生的可能性的 6工程数学概率论大小进行度量，这种度量就是所谓的事件的概率.一、概率的统计定义定义1-2若事件A在次试验中出现N次，则称比值A为 n次试验中事件A发生的频率,记做W(A),即W(A)=f.显然在几次试验中A发生的频率总是介于0与1之间的一个数，即：OW W(A)W1.例如，德摩根、浦丰、皮尔逊、维尼曾分别掷一枚质地均匀而 对称的硬币，其结果如下表：试验者掷硬币次数正面出现次数频率德摩根204810610.518浦丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005维尼30000149940.4998由此表可以看出，抛掷的次数越多，其频率越接近0.5.此例 揭示了随机事件的一个极其重要的特性频率的稳定性，即在相 同的条件下，试验的次数越多，事件的频率总是在一定值的左右摆 动，而这个频率所接近的定值是不会改变的.它表明，事件发生的 可能性的大小是事件本身所固有的属性.因此，我们有理由用这个 定值来表示随机事件A发生的可能性的大小，这个定值称为事件 A的概率，记为尸(A),而频率W(A)是尸(A)的一个近似值，为 此，给出如下的概念.定义1-3在相同的条件下，重复进行八次试验，事件A发生 的频率稳定地在某一常数p附近摆动，则称此常数p为事件A的 概率,记为P(A).第一章随机事件与概率7此种概率的定义，称为概率的统计定义.二、概率的古典定义具有如下两个特征的一些随机现象，称之为古典概型.(1)试验的所有可能结果只有有限个4,及，呢，且两两互 斥，即 n 6=3(岸。i,j=L 2,，n).(2)基本事件6,e2,，为的发生是等可能的(每个基 本事件发生的可能性的大小是相同的)，即：尸(ei)=尸(e2)=P(4)=.n例如，投掷一枚质地均匀的色子，每个点数出现的可能性都是 六分之一，且 U=1,2,3,4,5,6).定义1一4(概率的古典定义)对于古典概型试验，设基本空间 所含的样本点总数为n,事件A所含的样本点个数为m,则事件A 的概率定义为P(A)=.nm 1-4 在9张记有号码为1,2,3,4,5,6,7,8,9的卡片 中任意抽取一张，求抽得偶数号码的概率.解 基本空间样本点总数为9.4=抽得偶数号码卡片所含样本数为4,于是4 尸(二【例1-5 一个盒子中装有100只电子管，其中有95只是正 品，5只是次品，从盒子中任意取3只，求下列事件的概率：(1)A=3只全是正品;(2)3=3只中有一只是次品.解 基本空间所含样本点总数为C；oo,A所含样本点数为C；5,3所含样本点数为C5C95,于是8工程数学概率论3 2C95 C5 C95P(A)=k=0865,P(B)=-=0.138.Cioo Ci oo【例1-6】一袋中有6个红球和3个黑球，在袋中接连取2次，每次任取一只，求事件A=取得两球都是红球的概率.(1)第一次取一只球观察后放回袋中，第二次再取一只(有放 回抽样)；(2)第一次取一只球，不放回袋中，第二次再取一只(不放回抽 样).解(1)基本空间样本点总数为92,A的样本点数为62,于是 62尸(A)=/=0.444.(2)基本空间样本总数为P?,A的样本点数为戌，于是P6P(A)=0.417.由古典概率的定义可知，对任一事件A有0 P(A)DB,CD+DB AC,DB+AC CD.于是X+(y-x)1-y,(y-x)+(1-y)x,(1-y)+x (y-%),12工程数学概率论图1-31 1 1 y 3，万，J-x2,因此，使AC,CD,构成三角形的所有可能结果对应于三角形G/H里的所有点.故所求事件的概率为 GIH的而积_ 1_A）二 4OEb的面积二4.四、概率的公理化体系以上介绍的古典概率和儿何概率这两种概率的定义，都具有它 的局限性，因为它们都要求试验的所有可能结果都具有等可能性.可是，在实际中有些试验是不具有等可能性的，比如，在一段时间 内，一部电话可能接到的呼叫的次数就不具有等可能性.概率的统 计定义很直观，也很适合一般情况，然而在数学上的严密性却不 够，这是因为频率所显现的稳定性是建立在大量的试验次数的基础 上的，而究竟这样的次数大到怎样的程度才算大，却没有一个具体 第一章随机事件与概率13的说法，且对“频率总在一个定值的附近摆动”的理解也有些令人 困惑即定值的选取，没有一个衡量的标准.这样，为克服它们 各自所带有的局限性，有必要像几何与代数那样，通过建立公理化 体系，给概率以严格的数学定义，使其具有一般性.公理1 对任随机事件A有OW P(A)W1.公理 2 P(E/)=1,P(e)=0.公理3对于两两互斥的可数多个随机变量4,4,有P(Ai+A2+)=P(Ai)+P(A2)+.由此三条公理为基础给出概率的下述定义.定义1-6设实值函数尸(A)的定义域为所有随机事件组成的 集合，且满足以上二条公理，则称函数P(A)为事件A的概率.概率的运算性质：性质1设有限个随机事件4,4,，4两两互斥，则P(Ai+A2+A.)=P(Ai)+P(A2)+-+P(A.).此性质可由公理3令4+1=4+2=-=e而直接推出.公理 3和性质1统称为概率的加法定理.性质2设A为任一明如事件，则 P(-a)=1-P(A).证由于A与A互斥，且A+A=U,于是由性质1和公理2 有P(A+l-)=P(A)+P(%),P(A+A)=P(E/)=1,所以 _P(A)+=1.故有 _P(A)=1-P(A).性质3设A B,则P(B-A)=P(B)-P(A).14工程数学概率论证当 A 5 时，A(B-A)=4,所以 B=A+(B-A).由 性质1有P(B)=P(A)+P(B-A).于是P(B-A)=P(B)-P(A).进一步由P(B-A)三0,可由性质3有，当A B时，P(A)WP(B).性质4设A,B为任意两个随机事件，则P(AU B)=P(A)+P(B)-P(AB).证 因为 AUB=A+(B-AB),A(B-AB)=e,所以P(AU B)=P(A)+P(B-AB).而由于AB B,根据性质3有P(B-AB)=P(B)-P(AB).于是P(AU B)=P(A)+P(B)-P(AB).此性质称为广义加法定理.进一步，由三0,根据性质4可以直接推出P(AU B)0,定义在事件A已经发生的情况下，事件B发生的条件 概率为P(B A)=P(A5)P(A)同理可定义P(AIB)=.【例1-13】将16枚球按颜色和质地分类如下表.第一章随机事件与概率17玻璃质 木质 合计红色235蓝色4711合计61016现从中任意抽取一球，设A=取得的一枚为玻璃球,5=取得的一枚为蓝色球则尸(A)燃，P(B)P(AB)=.所以4p(ba._ PLABX_ A_ _ 2.“-p(A)-_6-6-3 516P(Al B)=P(A5)P(B)416 _ 411=11,16m 1-14 在。到9的10个数字中，任取一个数字，设A=取到的一个数字为奇数,若(1)5=取到的一个数字为素数,求P(A),P(Al B);(2)B=取到的一个数字为偶数,求(3)B=0,1,2,3,求 P(Al B).解7),则于是(1)A=1,3,5,7,9,B=2,3,5,7,AB=3,5,尸(A)说,尸就,尸()=万P(Al B)=P(B)_3_10_A-4,1018工程数学概率论(2)B=0,2,4,6,8,AB=e,贝U尸(B)=木，P(AB)=0,于是尸(Al B)=)=0.(3)S=0,1,2,3,AB=1,3,贝U4 2P(B)=-9 P(AB)=,于是2Al g-p(b)-A-2 10【例1-15】设某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8,活25岁的概率为0.4.现有一个已经活到20岁的这种动物，那么 它能活到25岁以上的概率为多少？解 设A=能活到20岁以上,8=能活到25岁以上，则 P(A)=0.8,P(B)=0.4.而A B所以AB=B,即P(AB)=P(B)=0.4,于是P(BI A)=P(AB _ 0.4 _ 1P(A)=0.8=2 由条件概率的定义2,可以推出如下定理.定理(1)P(AB)=P(A)P(BI A);(2)P(AB)=P(B)P(Al B);(3)P(ABC)=P(A)P(Bl A)P(Cl AB),P(AB)0.此定理称之为乘法定理.关于第3条，事实上P(ABC)=P(AB)C=P(AB)P(Cl AB)第一章随机事件与概率19=P(A)P(Bl A)P(Cl AB).【例1-1Q 袋中有红球90个，白球10个，现从中接连地随机 抽取3次，每次1球，抽样按有放回与无放回方式进行，求第3次 才取得红球的概率.解 设3=第3次才取得红球,4=第i次取得白球,，2,3,贝lj B=4A2,于是(1)有放回抽样_ P(B)=P(Ai AA3)=P(Ai)P(A2 I Ai)pCa3 I Ai A2)JO 皿 009100 100 100.(2)无放回抽样_ _P(B)=P(Ai A273)=P(Ai)P(A2 I Ai)P(73l A2)10 9 90=湍.,=008349.二、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式1.全概率公式m 1-17 设一个仓库有io箱同样规格的产品，如下表:生产厂甲厂乙厂丙厂数量532次品率110115120现从中任取一箱，再从这箱中任取一件产品，求取得正品的概率.解 设4=取得的一箱为甲厂生产的4=取得的一箱为乙厂生产的A3=取得的一箱为丙厂生产的8=取得的一件产品为正品显然，Ai,A2,人3两两互斥，U=Ai+A2+As,事件5是U的 子事件，所以20工程数学概率论B=A1 B+A2 B+A3 B.于是P(B)=P(Ai B+A2 B+A3 B)=P(Ai B)+P(A2 B)+P(A3 B)=P(Ai)P(BI Ai)+P(A2)P(BI A2)+P(A3)P(BI As).而5 9 3P(4)=亦 P(*4)=孟，尸(4)=亦P(B4)=W P(A3)P(BI A3)=TT.J，u 乙 u所以(10 10 15 10 10 20由此例子将其推广出更一般情况如下：设有事件组4,4,，An两两互斥，尸(4)三。，2,，n,且事件5为Ai+4+An的子事件，贝IIB=B(Ai+A2+,+)=BAi+BAi+BAn.于是P(B)=P(BAi+BAi+-+BAn=P(BAi)+P(BA2)+P(BAn)n n=P(BAz)=P(Az)P(BI 4).i-1 i=1即nP(B)=P(Af)P(BI AO.i=1此公式称为全概率公式.m 1-18 某轧钢厂轧出钢坯情况如下:第一章随机事件与概率21级 另u二三四概率0.960.010.020.01出优质材概率0.500.250.200.05求轧钢厂轧出优质材的概率.解 设4二轧出的钢坯为第i级),i=l,2,3,4,3=轧出 的钢材为优质材,显然4,4,4,A4两两互斥，且U=Ai+A2+As+A4,而B为U=Al+42+人3+人4的子事件，所以P(B)=P(BAi+BAi+BA3+BAn)=P(Ai)P(BI Ai)+P(A2)P(BI A2)+P(A3)P(BI A3)+P(A4)P(BI A4)=0.96X0.50+0.01X0.25+0.02X0.20+0.01X0.05=0.487.BiJ 1-19 发报台分别以概率0.6与0.4发出信号“”和“-由于通讯系统常常受到干扰，所以当发出的信号为时，收 报台分别以0.8与0.2的概率收到的信号”和当发出的信 号为时，收报台分别以0.9与0.1的概率收到的信号和“”.求：(1)收报台收到信号“”的概率；(2)当收报台收到信号“”时，发报台的确发出的信号为“”的 概率._解设4=发出信号,到的信号“”,则7=发出的信号“-显然A+&=U,所以B=BA+BA.于是 _ _(1)P(B)=P(A)P(Bl A)+P(A)P(Bl A)=0.6X0.8+0.4X0.1=0.52.(2)P(Al B)=尸(A/)_ A)P(B)=P(B)22工程数学概率论2.贝叶斯公式设事件组Ai 9人2,，An两两互斥，事件B为事件Ai+A2+4 的子事件，且。(4)三 0(i=1,2,，)，P(B)0,则P(AiB)P(4IB)=小).n而 P(A/B)=P(AOP(BI A,),P(B)=P(AJP(B 4),于i=1是P(4)P(B I 4)P(41 B)=-.E P(A0P(B I 4)i-1此公式称为贝叶斯公式.事实上，例1-19中第(2)问就是贝叶 斯公式的一个例子.【例1-20】一个工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种零件，它们各自的产量分别为总产量的25%,35%,40%,它们的次品率 占各自产量的5%,4%,2%.已知从全厂的产品中任意抽取一个 零件是次品，那么这个零件是甲车间生产出来的概率是多少？解设4=抽到的零件是甲车间生产的4=抽到的零件是乙车间生产的A3=抽到的零件是丙车间生产的5=抽到的是一件次品显然 Ai,A2,A3两两互斥，且 U=Ai+A2+A3,3为Ai+人2+4的子事件，于是应用贝叶斯公式有P(Ai)P(B I 4)P(Ai I B)=-E P(A0P(B I 4)i=1第一章随机事件与概率2325 5二 100 100=25=25_ _5_ 35_ 40 _2_=69,100 100 100 100 100 100同理可得尸(4.尸(皿)=1.第四节 事件的相互独立性与伯努利(Bernoulli)概型一、事件的相互独立性条件概率所反映的是一事件A的发生对另一事件B的发生所 产生的影响.一般说来，P(B)与P(BI A)是不同的.然而，在某些 情况下，条件A的发生对条件8的发生不产生影响，此时有P(B A)=P(B).例如，一袋中有3只红球，2只白球，现从袋中任取一球，观察 其颜色后放回，再从袋中任取一球观察，设A=第一次取到的球 为红球,5=第二次取到的球为红球，则3 P(BI A)=y=P(B).因此事件3发生的概率没有受到事件A发生的影响.此时，由乘法 公式有P(AB)=P(A)P(B A)=P(A).定义1-9事件A的发生并不影响事件8的发生，即P(BI A)=P(B),此时称事件5对事件A是独立的.由定义1-9知24工程数学概率论它说明事件A对事件B也是独立的.由此，事件A与事件B 的独立性是相互的.于是有以下定理.定理1事件A与事件6相互独立的充分必要条件是P(AB)=P(A)P(B).定理2 若事件A与事件B相互独立，则A与反7与3,7 与万都是相互独立的.证仅证A与卫相互独立.因为 U=B+B,所以 A=AB+A B,贝P(A)=P(AB)+P(A B),于是P(AB)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)_=P(A)l-P(B)=P(A)P(B).故A与不相互独立.【例1-21】男女两名乒乓球选手参加比赛，他们获得冠军的概 率分别为。.6与0.5,求(1)两人都得冠军的概率；(2)至少有一人获得冠军的概率.解 设A=男选手获得冠军,8=女选手获得冠军.由于 男女选手是否获得冠军，互相之间没有必然的联系，所以可认为事 件A与事件8是相互独立的，于是：(1)P(AB)=P(A)P(B)=0.6X0.5=0.3;(2)P(AU B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.6+0.5-0.3=0.8.【例1-24 甲、乙两人各自同时向一游动目标射击，已知甲击 中目标的概率为0.7,乙击中目标的概率为0.6,求目标被击中的概 率.解 A二甲击中目标,B二乙击中目标,贝U A U 3二目标 被击中,于是第一章随机事件与概率25P(AU B)=P(A)+P(B)-P(AB).根据题意，可以认为A与B相互独立，因此有P(AU B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.7+0.6-0.7X0.6=0.88.定义1-1。设4,4,，Ar为n(2)个事件，若对任意 k(2(0.8=0.3277+0.4096+0.2048+0.0512=0.9933.【例1-27】设有4门高射炮同时独立地向一架敌机各射一发 炮弹，若敌机被不少于两发炮弹击中时，则敌机就被击落，若每门 炮击中敌机的概率均为0.6,求敌机被击落的概率.解 4=敌机被一发炮弹击中,3=敌机被击落,则 F(A)=0.6,P(A)=1-0.6=0.4.依题意知，这是一个=4时的伯努利概型问题，于是，敌机被击落 的概率为P(B)=P4(2)+P4(3)+P4(4)=C：(0.6)2(0.4)2+c：(0.6)3(0.4)1+C4(0.6)4(0.4)=0.3456+0.3456+0.1296=0.8208.或P(B)=1-P4(0)-P4(l)=1-C4(0.6)(0.4)4+d(0.6)1(0.4)3=1-0.0256+0.1536=0.8208.【例1-281 自一工厂的产品中进行重复抽样检查，若取200件 样品，检查结果发现其中有4件废品，问能否相信此厂出废品的概30工程数学概率论率不超过0.005.解 设a=取得的一件产品为废品,p(A)=0.005,n=200,于是200件产品中出4件废品的概率为P2oo(4)=doo(O.OO5)4(O.99 5)196O 015.由此可以看到，如果相信这个厂的废品率不超过0.005,那么 在200件产品中出废品的概率是相当小的，而这样小的概率的事件 是几乎不可能发生的，故有理由认为此厂的废品率不超过0.005是 不可信的.习题一1.写出下列随机试验的基本空间.(1)同时掷两枚色子，记录它们的点数之和；(2)袋中有红、白、黑各一球，现从袋中任取一球，观察其颜色 后放回，然后再取一球观其颜色，记录两次顺序取球的色彩情况.2.下面两式表示A,B间有什么包含关系？(1)A A 5=A;(2)AU A.3.五卷书按任意顺序排列于书架上，求卷号自左至右或自右 至左排成1,2,3,4,5顺序的概率是多少？4.1,2,3,4,5五个数字中任取三个数字排成一列，问得到的 三位数是偶数的概率是多少？5.从52张扑克牌中任取13张，求有4张黑桃，6张红心，3张 方块，1张梅花的概率.6.从一批由45件正品，5件次品组成的产品中，任取3件产 品，求其中恰有一件次品的概率.7.有个人，每个人都以同样的概率、被分配在N(WN)间 房的任一间中，试求指定某房间中恰有相(/nW几)人这一事件的 概率.第一章随机事件与概率318.一口袋中有5个红球及2个白球，现从这袋中任取一球，看 过颜色后放回袋中，然后再从中任取一球，求：(1)第一次、第二次都取得红球的概率；(2)第一次取得红球，第二次取得白球的概率；(3)两次取得的红、白各一球的概率；(4)第二次取得红球的概率.9.一批产品中，正品36件，次品4件，今从中任取3件产品，求至少有1件次品的概率.10.班里有10位同学出生于同一年，求：(1)至少有2人的生日是在同一个月的概率；(2)至少有2人的生日是在同一天的概率(1年有365天).11.在不大于1000的正整数中任取一数，求它能被2或3整除 的概率.*12.长为L的线段AB,有某一点。被切断，求点A与点C 的距离不小于/的概率.*13.在时间间隔T内的瞬间两信号等可能地进入收音机，如 果两信号的时间间隔小于t,则收音机受到干扰.求收音机受到干 扰的概率.*14.在半径为R的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的 直径的交点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度 大于E的概率.15.设一个口袋中有4个红球和3个白球，从这口袋中任取一 个球后，不放回，再从这口袋中任取一个球，令A=第一次取得白 球,3=第二次取得红球，求尸8及P(8I A).16.有100个螺丝，其中10个为次品，现从中任取1个，取出 的螺丝不再放回，求第3次才取得正品的概率.17.制造一零件时可采用两种工艺，第一种工艺有三道工序，经过每道工序时出废品的概率分别为0.1,0.2,0.3;第二种工艺 32工程数学概率论有两道工序，经过每道工序时出废品的概率分别为0.3,0.3.如采 用第一种工艺，则在合格的零件中得到一级品的概率为0.9,而采 用第二种工艺，合格品中出一级品的概率为0.8,试确定哪一种工 艺能保证得到一级品的概率较大？18.一工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产 量分别占全厂产量的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别 为5%,4%,2%,求全厂产品的次品率.19.设有5个袋子，其中两个袋子中每个袋子有2个白球3个 黑球；另两个袋子中每个袋子有1个白球4个黑球；还有两个袋子 有4个白球1个黑球.现从这5个袋子中任选一袋，并从这袋中任 取一球，求此球为黑球的概率.20.某厂调进号码为I的箱子m个，号码为H的箱子2个，号码为I的每个箱子装有一级品件，二级品4件；号码为n的 每个箱子装有一级品件，二级品b2件.现从中任选一箱，并从 中任取一件，求取到一级品的概率.*21.在第18题中，已知从全厂的产品中任取一件产品为次 品，那么，这件产品依次是甲、乙、丙车间生产也晚.22.证明：如果事件A,3相互独立，那么7,不也相互独立.23.证明：如果P(AB)=P(A B),则事件A与B相互独 立.24.设三台机器的运转是相互独立的，第一台、第二台、第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9,0.8,0.7,求这三台机器全 部不发生故障及它们中至少有一台发生故障的概率.25.设6个相同的元件组成如图1-5所示的系统，每个元件损 坏的概率为p,又各个元件损坏与否是相互独立的，求这个系统能 正常工作的概率.26.如图1-6所示的开关电路中，假设每一开关闭合的概率为 P，并设各开关闭合与否是相互独立的，求由/到N是通路的概第一章随机事件与概率33率.图1-5图1-627.设每次射击时命中率为。.2,问至少必须进行多少次独立 射击才能使至少击中一次的概率不小于。.9?28.灯泡的使用寿命在1。小时以上的概率为。.2,相互独立 地使用3只灯泡，求3只灯泡在使用1000小时以后，最多只有一只 损坏的概率.29.将一个试验独立重复做了 n次，每次试验事件A发生的 概率为，求在这次试验中，事件A至少发生一次的概率.34工程数学概率论第二章随机变量随机变量是概率论中的一个极其重要的概念，本章将介绍有关 随机变量的一些基础知识.第一节一维随机变量与分布函数、随机变量的概念在许多随机试验中，随机试验的每种结果都对应着变量所取的 一个数值，例如：(1)某人射击环靶，设击中的环数记为。1是一个变量，它对 应的所有可能的结果为&=。，1,2,，10.(2)口袋中有依次标有-1,。，0,。，2,2数字的球6个.从 中任取一球，则取得球上标有的数字&为一变量，它对应的所有可 能的结果为&-1,0,2.(3)投掷一枚硬币，出现正面用g=1表示，出现反而用&二。表示.(4)灯泡的寿命己(小时)，它所对应的所有可能的结果为gu 0,+8).(5)从一批次品率为p的产品中逐件有放回地抽取产品.用g 表示直到取得次品为止这一事件，则它所对应的所有可能结果为 e二 1，2,.在以上5种随机试验中，用一个变量的值己表示一个随机事 件，因此这个变量的取值也就具有了随机性，由此有如下定义.第二章随机变量35定义2-1在一次试验中，变量的取值带有随机性，这样的变 量称为随机变量,用L H,4,5表示.二、离散型随机变量的概率分布定义2-2如果一个随机变量&只能取有限个或可列个可能的 值，则称此类随机变量为离散型随机变量.如上面的第1,2,3,5个问题中的随机变量都是离散型随机变 量.设离散型随机变量&所有可能的取值为，,，且&取得各个值时的概率为P=at=pi,z=1,2,则称此一系列等式为随机变量&的概率分布(或分布律，也称为分 布密度)，可表达为a ai 02 ch 概率P P1 夕2 Pi 其中 OW p i W 1(i=1,2,)，且 p i=1.i【例2-1在上面第5个问题中巴g=l=p第一次就取得次品,所以巴&=1 二 P，尸昌=2=P第二次才取得次品,所以-1=2=(1-p)p,巴己=3=口第三次才取得次品,所以P&=3=(1-p)?p,P=订=P第，次才取得次品,所以尸i=(1-PY*1 P-则;的分布律可表达成36工程数学概率论g 1 2 3 i 概率 P p p(1-p)p(l-夕了 t?(1-p)【例2-2 袋中有5个球，其中2个是黑球，3个是白球，现从 袋中连取3个球，且为不放回抽样，设&为取得黑球个数，试求&的分布律.解 因为5个球中有2个黑球，因此；的取值只有3个值0,1,2,而P：1 P?=0=7=0.1,11所以&的分布律为 CIC2P3 6”=1=p3=10=06r 3S=2=p3=10=0.3.0 1 2概率下面=1 =2=VC3。第二章随机变量37故&(。-1)分布，即0 1概率p1 23 32.离散型均匀分布P&=at=n即ai02 On概率P11 1nnn3.二项分布若随机变量，所有可能取值为0,1,2,n,且分布律为 P1=i=Pi=Cp(1-p)n-I(i=0,1,2,，n),则称 1服从 参数为n,p的二项分布，记为B(n,p).【例2-4】某大楼装有两部电梯，每部电梯不能使用的概率均为0.02,设在同一时刻不能使用的电梯数为g,求己的分布律.解&3(2,0.02),P=i=C；p(l-/)2一，i=Q.1,2,即012概率P0.96040.03920.0004W 2-51 某人进行4。次独立射击，每次击中的概率为 0.02,试求此人击中次数大于或等于2的概率.解 依题意W3(400,0.02),此时=400,p=0.02,所以口&三2=1-P10为常数，则有.入-入lim P=i=-；e(z=0,1,2,，n).L 8 I!对于例 2-5,因为己5(400,0.02),所以 =400,p=0.02,而np=8=入，于是应用泊松定理有P=z=C400(0.0 02)；(0.98)400-X=y-je-8.8 8但口&=01,P l8e-，于是P&三 2=1-P。)，则称己服从参数为人的泊松分布，记为己P(入).在许多实际问题中的随机变量可以认为是服从泊松分布的.如 单位时间内某公共汽车站到来的乘客数，单位长度上某种布匹出现 的疵点数，等等，它们都服从或近似服从泊松分布.三、随机变量的分布函数定义2-3设&是一个随机变量，对任意的实数x,事件Sv%的概率P&vx(-8xv+8),称为随机变量)的分小函 数，记为尸(%),即F(x)=P x(-00%+).由分布函数的定义易知第二章随机变量39P a：b=P b-P a=F(b)-F(a).可以证明，己的分布函数方(x)具有如下性质：(1)0 F(%)1(-8V xv+8)；(2)当即 12 时，F(Xi)F(X2)；(3)lim F(x)=0,lim F(%)=1;%f-0O%-+0(4)lim F(x)=F(xo).x X 0【例2-6 口袋中有依次标有-1,。，。，。，1,1数字的球6 个，从中任取一球，设所取得球上标有的数字为L求随机变量；的分布函数.解&所有的可能取值为-1,0,1,则P=-1=!，P&=0=4,口己=1=5.U N D于是-1 0 1概率P_ L _ L _ L6 2 3016/(%)=Y23I 1所以之的分布函数为(如图2-1所示)xW-1-1%W00 xW 11 0有第二章随机变量41图2-2P a-W a=F(a)-F(a-),于是OWPg=a=F(a)-Fa-).因为尸(%)在x=处左连续，所以lim F a-)=尸().10故有 P?=a=Q.性质(5)说明，连续型随机变量取一点的概率为零，因此有 P a b=P a aW b=b=P tW b.-入%m 2-7 设己的分布密度为6(%)=Ae-0%0.(1)确定常数A;(2)求d&+；(3)求1的分布函 数.解(1)因为/6(x)dx=/Odx+f Ae d x=T-=_ oo _ oo Q A1,所以A=人.于是-Ax、J入e%三0,/、6(x)=(入 0)-0,x =J x Xe dx=e”0.368.x(3)当 xv。时，X XF(%)=f t)d t=f Od r=0;_ oo _ oo当xQ时%o%入/F(x)=j 6(%)d%=/0d%+/入 e d r=1-e_ oo _ oo Q于是-入%l/、1-e%三0,/、八、F(x)=1(X0)-0 x 0.此分布称为指数分布（如图2-3所示）.图2-3【例2-8】设连续型随机变量&的分布函数为F(x)=A+Barct an x(-00 x+00).(1)确定系数 A 与 B;(2)求 P-Iv&vl;(3)求 6(%).a-几 兀解(1)lim F(x)=A-B=0,lim F(x)=A-h B=1,%-8 2 X +OO 2所以第二章随机变量43于是F(x)=+arct an xv 7 2 五00 x +00).(2)P-1 1=F(l)-F(-1)_ _ 1_ _ 1_ 2L _L _L JL _ X-2+J