浙江省奉化中学高二数学教案选修45第12课时几个著名的不等式之柯西不等式.doc

课 题：　第12课时 几个著名的不等式之一：柯西不等式
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。
1、什么是柯西不等式：
定理1：（柯西不等式的代数形式）设均为实数，则
，
其中等号当且仅当时成立。
证明：

几何意义：设，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（），B（），那么它们的数量积为，
而，，
所以柯西不等式的几何意义就是：，
其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
3、定理3：（三角形不等式）设为任意实数，则：

分析：

思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？
4、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设为大于1的自然数，（1，2，…，）为任意实数，则：，其中等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，…，）。
证明：构造二次函数：
即构造了一个二次函数：
由于对任意实数，恒成立，则其，
即：，
即：，
等号当且仅当，
即等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，…，）。
如果（）全为0，结论显然成立。

柯西不等式有两个很好的变式：
变式1 设 ，等号成立当且仅当

变式2 设，同号且不为0（1，2，…，n），则：，等号成立当且仅当。

二、典型例题：
例1、已知，，求证：。

例2、设，求证：。

例3、设为平面上的向量，则。

例4、已知均为正数，且，求证：。
方法1：

方法2：（应用柯西不等式）

例5：已知，，…，为实数，求证：。
分析：

推论：在个实数，，…，的和为定值为S时，它们的平方和不小于，当且仅当时，平方和取最小值。

三、小结：

四、练习：
1、设x1，x2，…， >0, 则
2、设（1，2，…，n）且 求证: ．
3、设a为实常数,试求函数 (x∈R)的最大值．
4、求函数在上的最大值,其中a，b为正常数．

五、作业：
1、已知：，,证明：。
提示：本题可用三角换元、柯西不等式等方法来证明。
2、若 ，且=，= ，求证： 都是不大于的非负实数。
证明：由 代入=
可得
∵　 ∴△≥0 即
化简可得 ： ∵　　　　∴
　 同理可得：　，
由此可见，在平常的解题中，一些证明定理、公理、不等式的方法都可以为我们所用；只要能灵活运用，就能收到事半功倍的效果。
3、设a﹐b为不相等的正數，试证：(a＋b)(a3＋b3)＞(a2＋b2)2。

4、设x，y，z为正实数，且10，求的最小值。

5、设x，y，zÎR，求的最大值。

7、设三个正实数满足，求证： a，b，c一定是某三角形的三边长。
8、求证个正实数a1，a2，…，满足

9、已知,且求证: 。
10、设,求证: 。
11、设,且2336,求的最小值．