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矩阵论试题
一、(10分)设函数矩阵
求：与()'。
解：==
二、(15分)在中线性变换将基
变为基 ，，
(1)求在基下的矩阵表示A；
(2)求向量及在基下的坐标；
(3)求向量在基下的坐标。
解：(1)不难求得：
因此在下矩阵表示为
(2)设，即
解之得：
所以在下坐标为。
在下坐标可得
(3)在基下坐标为
在基下坐标为
三、(20分)设，求。
解：容易算得
由于是2次多项式，且，故是1次多项式，设
由于，且，，故
于是解得：
从而：
四、(15分)求矩阵的奇异值分解。
解：的特征值是对应的特征向量依次为
于是可得 ，
计算：
构造 ，则
则A的奇异值分解为：
五、(15分)求矩阵
的满秩分解：
解：
可求得：
于是有
或
六、(10分)求矩阵的Jordan标准形。
解：求的初等因子组，由于
因此，所求的初等因子组为，于是有
A～J=
七、(10分)设V是数域F上的线性空间，是V的子空间，则也是V的子空间。
证明：由，知，即说非空，对于任意，则。因为是子空间，所以，故。
对任意，有，且，因此知，故知为V的子空间。
八、(5分)设，
求证。
证明：矩阵A的特征多项式为
令
由Hamilton-Cayley定理知
因此
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