高中数学必修五数列单元综合测试含答案.doc

数列单元测试题
命题人：张晓光
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足－＝1，则数列{an}的公差是(　　)
A.B．1C．2D．3
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子中数值不能确定的是(　　)
A.B.C.D.
3．设数列{an}满足a1＝0，an＋an＋1＝2，则a2011的值为(　　)
A．2 B．1C．0D．－2
4．已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值是(　　)
A．－5B．－C．5D.
5．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为正偶数时，n的值可以是(　　)
A．1B．2C．5D．3或11
6．各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a2，a3，a1成等差数列，则的值为(　　)
A.B.C.D.或
7．已知数列{an}为等差数列，若<－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使得Sn>0的最大值n为(　　)
A．11B．19C．20D．21
8．等比数列{an}中，a1＝512，公比q＝－，用Πn表示它的前n项之积：Πn＝a1·a2·…·an，
则Πn中最大的是(　　)
A．Π11 B．Π10C．Π9D．Π8
9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S3＝a5，am＝2011，则m＝(　　)
A．1004B．1005C．1006D．1007
10．已知数列{an}的通项公式为an＝6n－4，数列{bn}的通项公式为bn＝2n，则在数列{an}的前100项中和数列{bn}中相同的项有(　　)
A．50项B．34项C．6项D．5项
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)
11．已知数列{an}满足：an＋1＝1－，a1＝2，记数列{an}的前n项之积为Pn，则P2011＝________.
12．秋末冬初，流感盛行，荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n　(n∈N*)，则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人．
13．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则＝________.
14．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，且从上到下所有公比相等，则a＋b＋c的值为________．
a

c

b

6
1

2

15．数列{an}中，a1＝1，an、an＋1是方程x2－(2n＋1)x＋＝0的两个根，则数列{bn}的前
n项和Sn＝________．
三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn＝pn2－2n＋q(p，q∈R)，n∈N*.
(1)求q的值；
(2)若a3＝8，数列{bn}满足an＝4log2bn，求数列{bn}的前n项和．

17．(本小题满分12分)等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列， b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.
(1)求an和bn；
(2)求＋＋…＋的值．

18．(本小题满分12分)已知数列{bn}前n项和为Sn，且b1＝1，bn＋1＝Sn.
(1)求b2，b3，b4的值；
(2)求{bn}的通项公式；
(3)求b2＋b4＋b6＋…＋b2n的值．

19．(本小题满分12分)已知f(x)＝mx(m为常数，m>0且m≠1)．设f(a1)，f(a2)，…，f(an)…(n∈N)是首项为m2，公比为m的等比数列．
(1)求证：数列{an}是等差数列；
(2)若bn＝anf(an)，且数列{bn}的前n项和为Sn，当m＝2时，求Sn；
(3)若cn＝f(an)lgf(an)，问是否存在m，使得数列{cn}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

20．(本小题满分13分)将函数f(x)＝sinx·sin(x＋2π)·sin(x＋3π)在区间(0，＋∞)内的全部最值点按从小到大的顺序排成数列{an}(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2nan，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的表达式．

21．(本小题满分14分)数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n(n＋1)(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：an＝＋＋＋…＋，求数列{bn}的通项公式；
(3)令cn＝(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn.

数列单元测试题
命题人：张晓光
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足－＝1，则数列{an}的公差是(　　)
A.B．1C．2D．3
[答案]C[解析]设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d，
∴{}是首项为a1，公差为的等差数列，∵－＝1，∴＝1，∴d＝2.
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子中数值不能确定的是(　　)
A.B.C.D.
[答案]D[解析]等比数列{an}满足8a2＋a5＝0，即a2(8＋q3)＝0，∴q＝－2，∴＝q2＝4，＝q＝－2，＝＝＝，都是确定的数值，但＝的值随n的变化而变化，故选D.
3．设数列{an}满足a1＝0，an＋an＋1＝2，则a2011的值为(　　)
A．2 B．1C．0D．－2
[答案]C[解析]∵a1＝0，an＋an＋1＝2，∴a2＝2，a3＝0，a4＝2，a5＝0，…，即a2k－1＝0，a2k＝2，∴a2011＝0.
4．已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值是(　　)
A．－5B．－C．5D.
[答案]A[分析]根据数列满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)．由对数的运算法则，得出an＋1和an的关系，判断数列的类型，再结合a2＋a4＋a6＝9得出a5＋a7＋a9的值．
[解析]由log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)得，an＋1＝3an，∴数列{an}是公比等于3的等比数列，
∴a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)×33＝35，∴log(a5＋a7＋a9)＝－log335＝－5.
5．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为正偶数时，n的值可以是(　　)
A．1B．2C．5D．3或11
[答案]D[解析]∵{an}和{bn}为等差数列，∴＝＝＝＝＝，将选项代入检验知选D.
6．各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a2，a3，a1成等差数列，则的值为(　　)
A.B.C.D.或
[答案]C[解析]∵a2，a3，a1成等差数列，∴a3＝a2＋a1，
∵{an}是公比为q的等比数列，∴a1q2＝a1q＋a1，∴q2－q－1＝0，∵q>0，∴q＝.
∴＝＝，故选C.
7．已知数列{an}为等差数列，若<－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使得Sn>0的最大值n为(　　)
A．11B．19C．20D．21
[答案]B[解析]∵Sn有最大值，∴a1>0，d<0，∵<－1，
∴a11<0，a10>0，∴a10＋a11<0，∴S20＝＝10(a10＋a11)<0，
又S19＝＝19a10>0，故选B.
8．等比数列{an}中，a1＝512，公比q＝－，用Πn表示它的前n项之积：Πn＝a1·a2·…·an，
则Πn中最大的是(　　)
A．Π11 B．Π10C．Π9D．Π8
解析：Πn＝a1a2…an＝a·q1＋2＋…＋n－1＝29n＝(－1)2，∴当
n＝9时，Πn最大．故选C
9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S3＝a5，am＝2011，则m＝(　　)
A．1004B．1005C．1006D．1007
[答案]C[解析]由条件知，∴，
∵am＝a1＋(m－1)d＝1＋2(m－1)＝2m－1＝2011，∴m＝1006，故选C.
10．已知数列{an}的通项公式为an＝6n－4，数列{bn}的通项公式为bn＝2n，则在数列{an}的前100项中和数列{bn}中相同的项有(　　)
A．50项B．34项C．6项D．5项
[答案]D[解析]a1＝2＝b1，a2＝8＝b3，a3＝14，a4＝20，a5＝26，a6＝32＝b5，又b10＝210＝1024>a100，b9＝512，令6n－4＝512，则n＝86，∴a86＝b9，b8＝256，令6n－4＝256，∵n∈Z，∴无解，b7＝128，令6n－4＝128，则n＝22，∴a22＝b7，b6＝64＝6n－4无解，综上知，数列{an}的前100项中和{bn}相同的项有5项．
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)
11．已知数列{an}满足：an＋1＝1－，a1＝2，记数列{an}的前n项之积为Pn，则P2011＝________.
[答案]2
[解析]a1＝2，a2＝1－＝，a3＝1－2＝－1，a4＝1－(－1)＝2，∴{an}的周期为3，且a1a2a3＝－1，∴P2011＝(a1a2a3)670·a2011＝(－1)670·a1＝2.
12．秋末冬初，流感盛行，荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n　(n∈N*)，则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人．
[答案]255
[解析]∵an＋2－an＝1＋(－1)n　(n∈N*)，∴n为奇数时，an＋2＝an，n为偶数时，an＋2－an＝2，即数列{an}的奇数项为常数列，偶数项构成以2为首项，2为公差的等差数列．
故这30天入院治疗流感人数共有15＋(15×2＋×2)＝255人．
13．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则＝________.
[答案]3－2
[解析]∵a1，a3,2a2成等差数列，∴a3＝a1＋2a2，设数列{an}公比为q，则a1q2＝a1＋2a1q，∵a1≠0，∴q2－2q－1＝0，∴q＝－1±，∵an>0，∴q＝－1，
∴＝q2＝3－2.
14．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，且从上到下所有公比相等，则a＋b＋c的值为________．
a

c

b

6
1

2

[答案]22
[解析]由横行成等差数列知，6下边为3，从纵列成等比数列及所有公比相等知，公比q＝2，∴b＝2×2＝4由横行等差知c下边为＝5，故c＝5×2＝10，由纵列公比为2知a＝1×23＝8，∴a＋b＋c＝22.
15．数列{an}中，a1＝1，an、an＋1是方程x2－(2n＋1)x＋＝0的两个根，则数列{bn}的前
n项和Sn＝________．
[答案][解析]由题意得an＋an＋1＝2n＋1，又∵an－n＝－[an＋1－(n＋1)]，a1＝1
∴an＝n，又an·an＋1＝，∴bn＝.∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝1－＝.
三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)(2011·甘肃天水期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn＝pn2－2n＋q(p，q∈R)，n∈N*.
(1)求q的值；
(2)若a3＝8，数列{bn}满足an＝4log2bn，求数列{bn}的前n项和．
[解析](1)当n＝1时，a1＝S1＝p－2＋q，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn2－2n＋q－p(n－1)2＋2(n－1)－q＝2pn－p－2
∵{an}是等差数列，∴p－2＋q＝2p－q－2，∴q＝0.
(2)∵a3＝8，a3＝6p－p－2，∴6p－p－2＝8，∴p＝2，
∴an＝4n－4，
又an＝4log2bn，得bn＝2n－1，故{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列．
所以数列{bn}的前n项和Tn＝＝2n－1.
17．(本小题满分12分)等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列， b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.
(1)求an和bn；
(2)求＋＋…＋的值．
解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正数，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1，
依题意有，
解得 或(舍去)，
故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.
(2)由(1)知Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋
＝
＝＝－.
18．(本小题满分12分)已知数列{bn}前n项和为Sn，且b1＝1，bn＋1＝Sn.
(1)求b2，b3，b4的值；
(2)求{bn}的通项公式；
(3)求b2＋b4＋b6＋…＋b2n的值．
[解析](1)b2＝S1＝b1＝，b3＝S2＝(b1＋b2)＝，b4＝S3＝(b1＋b2＋b3)＝.
(2)
①－②解bn＋1－bn＝bn，∴bn＋1＝bn，
∵b2＝，∴bn＝·n－2　(n≥2)
∴bn＝.
(3)b2，b4，b6…b2n是首项为，公比2的等比数列，
∴b2＋b4＋b6＋…＋b2n＝
＝[()2n－1]．
19．(本小题满分12分)已知f(x)＝mx(m为常数，m>0且m≠1)．设f(a1)，f(a2)，…，f(an)…(n∈N)是首项为m2，公比为m的等比数列．
(1)求证：数列{an}是等差数列；
(2)若bn＝anf(an)，且数列{bn}的前n项和为Sn，当m＝2时，求Sn；
(3)若cn＝f(an)lgf(an)，问是否存在m，使得数列{cn}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
[解析](1)由题意f(an)＝m2·mn－1，即man＝mn＋1.
∴an＝n＋1，∴an＋1－an＝1，
∴数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列．
(2)由题意bn＝anf(an)＝(n＋1)·mn＋1，
当m＝2时，bn＝(n＋1)·2n＋1，
∴Sn＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋(n＋1)·2n＋1①
①式两端同乘以2得，
2Sn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n·2n＋1＋(n＋1)·2n＋2②
②－①并整理得，
Sn＝－2·22－23－24－25－…－2n＋1＋(n＋1)·2n＋2
＝－22－(22＋23＋24＋…＋2n＋1)＋(n＋1)·2n＋2
＝－22－＋(n＋1)·2n＋2
＝－22＋22(1－2n)＋(n＋1)·2n＋2＝2n＋2·n.
(3)由题意cn＝f(an)·lgf(an)＝mn＋1·lgmn＋1＝(n＋1)·mn＋1·lgm，
要使cn<cn＋1对一切n∈N*成立，
即(n＋1)·mn＋1·lgm<(n＋2)·mn＋2·lgm，对一切n∈N*成立，
①当m>1时，lgm>0，所以n＋1<m(n＋2)对一切n∈N*恒成立；
②当0<m<1时，lgm<0，所以>m对一切n∈N*成立，
因为＝1－的最小值为，所以0<m<.
综上，当0<m<或m>1时，数列{cn}中每一项恒小于它后面的项．
20．(本小题满分13分)将函数f(x)＝sinx·sin(x＋2π)·sin(x＋3π)在区间(0，＋∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{an}(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2nan，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的表达式．
[解析](1)化简f(x)＝sinx·sin(x＋2π)·sin(x＋3π)
＝sincos·＝－sinx
其极值点为x＝kπ＋(k∈Z)，
它在(0，＋∞)内的全部极值点构成以为首项，π为公差的等差数列，
an＝＋(n－1)·π＝π(n∈N*)．
(2)bn＝2nan＝(2n－1)·2n
∴Tn＝[1·2＋3·22＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n]
2Tn＝[1·22＋3·23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1]
相减得，－Tn＝[1·2＋2·22＋2·23＋…＋2·2n－(2n－1)·2n＋1]
∴Tn＝π[(2n－3)·2n＋3]．
21．(本小题满分14分)数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n(n＋1)(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：an＝＋＋＋…＋，求数列{bn}的通项公式；
(3)令cn＝(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn.
[解析](1)当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，知a1＝2满足该式
∴数列{an}的通项公式为an＝2n.
(2)an＝＋＋＋…＋(n≥1)①
∴an＋1＝＋＋＋…＋＋②
②－①得，＝an＋1－an＝2，bn＋1＝2(3n＋1＋1)，
故bn＝2(3n＋1)(n∈N*)．
(3)cn＝＝n(3n＋1)＝n·3n＋n，
∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n)＋(1＋2＋…＋n)
令Hn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，①
则3Hn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1②
①－②得，－2Hn＝3＋32＋33＋…＋3n－n×3n＋1＝－n×3n＋1
∴Hn＝，
∴数列{cn}的前n项和
Tn＝＋.

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