北师大七年级下册数学知识点总结生活中的轴对称和经典例题对接.doc

第五章 生活中的轴对称
一、轴对称图形
1、如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2、理解轴对称图形要抓住以下几点：
（1）指一个图形；
（2）存在一条直线（对称轴）；
（3）图形被直线分成的两部分互相重合；
（4）轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的则存在多条；
（5）线段、角、长方形、正方形、菱形、等腰三角形、圆都是轴对称图形；
二、轴对称
1、对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能互相重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。可以说成：这两个图形关于某条直线对称。
2、理解轴对称应注意：
（1）有两个图形；
（2）沿某一条直线对折后能够完全重合；
（3）轴对称的两个图形一定是全等形，但两个全等的图形不一定是轴对称图形；
（4）对称轴是直线而不是线段；

轴对称图形
轴对称
区别
是一个图形自身的对称特性
是两个图形之间的对称关系
对称轴可能不止一条
对称轴只有一条
共同点
沿某条直线对折后都能够互相重合
如果轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形；
如果把轴对称图形分成两部分（两个图形），那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。
三、角平分线的性质
1、角平分线所在的直线是该角的对称轴。
2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
四、线段的垂直平分线
1、垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂线。
2、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。
五、等腰三角形
1、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；
2、相等的两条边叫做腰；另一边叫做底边；
3、两腰的夹角叫做顶角，腰及底边的夹角叫做底角；
4、三条边都相等的三角形也是等腰三角形。
5、等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴（等边三角形除外），其底边上的高或顶角的平分线，或底边上的中线所在的直线都是它的对称轴。
6、等腰三角形的三条重要线段不是它的对称轴，它们所在的直线才是等腰三角形的对称轴。
7、等腰三角形底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合，简称为“三线合一”。
8、“三线合一”是等腰三角形所特有的性质，一般三角形不具备这一重要性质。
9、“三线合一”是等腰三角形特有的性质，是指其顶角平分线，底边上的高与中线，这三线，并非其他。
10、等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”。
11、判定一个三角形是等腰三角形常用的两种方法：
（1）两条边相等的三角形是等腰三角形；
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等相等，简写为“等角对等边”。
六、等边三角形
1、等边三角形是指三边都相等的三角形，又称正三角形，是最特殊的三角形。
2、等边三角形是底及腰相等的等腰三角形，所以等边三角形具备等腰三角形的所有性质。
3、等边三角形有三条对称轴，三角形的高、角平分线与中线所在的直线都是它的对称轴。
4、等边三角形的三边都相等，三个内角都是600。

图形
定义
性质
等腰三角形

有两边相等的三角形
1、两腰相等，两底角相等。
2、顶角=1800-2×底角。底角=（1800-顶角）/2。
3、顶角的平分线、底边上的中线与高“三线合一”。
4、轴对称图形，有一条对称轴。
等边三角形（又叫正三角形）

三边都相等的三角形
1、三边都相等，三内角相等，且每个内角都等于600。
2、具有等腰三角形的所有性质。
3、轴对称图形，有三条对称轴。
七、轴对称的性质
1、两个图形沿一条直线对折后，能够重合的点称为对应点（对称点），能够重合的线段称为对应线段，能够重合的角称为对应角。
2、关于某条直线对称的两个图形是全等图形。
3、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
4、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段、对应角都相等。
5、类似地，轴对称图形的性质有：
（1）轴对称图形对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
（2）轴对称图形的对应线段、对应角相等。
（3）根据轴对称图形的性质可求作轴对称图形的对应点、对应线段或对应角，并由此能补全轴对称图形。
★知识点一：轴对称实例
▶▶典例分析
1．下列说法中，不正确的是 (　　)
A．等腰三角形底边上的中线就是它的顶角平分线
B．等腰三角形底边上的高就是底边的垂直平分线的一部分
C．一条线段可看作以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形
D．两个三角形能够重合，它们一定是轴对称的
1．下列图形中，轴对称图形的个数是（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．下列分子结构模型平面图中，有一条对称轴的是（ ）
3．将一个正方形纸片依次按图，图的方式对折，然后沿图中的虚线裁剪，
最后将图的纸再展开铺平，所看到的图案是（ ）.
a b c d
A B C D
4．在一些缩写符号：① SOS，② CCTV，③ BBC，④ WWW，⑤ TNT中，成轴对称图形的是 （填写序号）
5．汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构表达人类追求均衡对称、与谐稳定的天性．如“王、中、田”，请你再举出三个可以看成是轴对称图形的汉字 ．（笔画的粗细与书写的字体可忽略不记）.
★知识点二：轴对称的性质
▶▶典例分析
1．如图1，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落在处，交AD于E，
若，则在不添加任何辅助线的情况下，则图中的角（虚线也视为角的边）
的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．下列说法中错误的是（ ）
A．两个关于某直线对称的图形一定能够完全重合
B．对称图形的对称点一定在对称轴的两侧
C．成轴对称的两个图形，其对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴
D．平面上两个能够完全重合的图形不一定关于某直线对称
3．如图2，△AOD关于直线进行轴对称变换后得到△BOC，下列说法中不正确的是（ ）.
A．∠DAO=∠CBO，∠ADO=∠BCO B．直线垂直平分AB、CD
C．△AO D与△BOC均是等腰三角形 D．AD=BC，OD=OC
4．如图3，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，
△ABC折叠，使点B及点A重合，折痕为DE，则△ACD的周长
为（ ）
A．10 cm B．12cm C．15cm D．20cm
5．把两个都有一个锐角为30°的一样大小的直角三角形拼成如图5所示的图形，两条直角边在同一直线上．则图中等腰三角形有（ ）个.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图6，，，AB的垂直平分线交BC于点D，那么
的度数为（ ）.
A． B． C． D．
7．如图7，公路BC所在的直线恰为AD的垂直平分线，则下列说法中：①小明从家到书店及小颖从家到书店一样远；②小明从家到书店及从家到学校一样远；③小颖从家到书店及从家到学校一样远；④小明从家到学校及小颖从家到学校一样远. 正确的是 .（填写序号）
8．如图8（下页），AD是三角形ABC的对称轴，点E、F是AD上的两点，若BD=2，AD=3，则图中阴影部分的面积是 .
9．下午2时，一轮船从A处出发，以每小时40海里的速度向正南方向行驶，下午4时，到达B处，在A处测得灯塔C在东南方向，在B处测得灯塔C在正东方向，则B、C之间的距离是 ．
10．如图9，在中，，AB=25cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若的周长为43cm，则底边BC的长为 .
11．如图10，把宽为2cm的纸条沿同时折叠，、两点恰好落在边的点处，若△PFH的周长为10cm，则长方形的面积为 .
A
E
P
D
G
H
F
B
A
C
D
图10
图9

20．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MN交AC于D. 在下列结论中：①∠C＝72°；②BD是∠ABC的平分线；③∠BDC=100°；④△ABD是等腰三角形；⑤AD=BD=BC. 上述结论中，正确的有 .（填写序号）
★ 知识点三：镜面对称的性质
▶▶典例分析
1. 右图小明衣服上的号码在镜子中如右图，则小明衣服上的实际号码为▁▁▁
2. 图4是小明在平面镜里看到的电子钟示数，这时的实际时间是（ ）
A．12:01 B．10:51 C．10:21 D．15:10
3. 小明照镜子的时候，发现T恤上的英文单词在镜子中呈现 “ ”的样子，
请你判断这个英文单词是（ ）
A B C D
4．从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是，则该车的后5位号码实际是 .
★知识点四：作对称图形步骤
▶▶典例分析
1.
图14
2. 如图14，在正方形网格上有一个△ABC.
（1）画△ABC关于直线MN的对称图形（不写画法）；
（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求△ABC的面积.
3. （1）观察图15①～④中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征；
　 （2）借助图15⑤的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所写出的两个共同特征．（注意：新图案及图14①～④的图案不能重合）．

★知识点五：综合能力
▶▶典例分析
1、如图11，在中，，平分，，如果，，求的长度及的度数．

图12
2. 如图12，已知AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD=8cm，BE=3cm. 求AE的长.
3. 如图13，校园有两条路OA、OB，在交叉口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置点P，并说明理由．
图13

4. 如图16，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC与∠ACB的平分
线相交于点D，∠ADC=125°. 求∠ACB与∠BAC的度数．
图17

27．（10分）如图17，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，
点E、F分别是边AB、AC上的中点，且EF∥BC．
（1）试说明△AEF是等腰三角形；
（2）试比较DE及DF的大小关系，并说明理由.
考 题 链接
一、填空题
1、如右图，这个轴对称图形有____条对称轴。
2. 如图，OM平分∠AOB，点P在OM上，PC⊥OA垂足为C，PD⊥OB垂足为D；
若PC=3.2㎝，则PD= cm
3. 如图，在△ABC中,若AB=BC, ∠B=90°,则∠A= ,∠C=
4．如图，在△ABC中,若BC=AC, ∠A=50°, 则∠C=
5.等腰三角形的周长为24cm, 底边长为6cm,则腰长是 cm.
6.等腰三角形一内角为70°,则该三角形另外两个内角分别为
7.在△ABC中, AB=BC,BD是△ABC的角平分线，∠ABD=60°, 则∠C= .
8.如图,两个三角形关于某直线对称,则x=
9、（1）长方形有 条对称轴；
（2）等腰三角形有 条对称轴，对称轴是 ；
（3）等边三角形有 条对称轴，对称轴是 ；
（4）圆有 条对称轴，对称轴是 ；
（5）正方形有 条对称轴，对称轴是 。
10、在日常生活中，事物所呈现的对称性能给人们以平衡及与谐的美感. 我们的汉语也有类似的情况，呈现轴对称图形的汉字有 （请举出两个例子，笔画的粗细与书写的字体可忽略不计）.
11．如图7—109，在△ACD中，AD＝BD＝BC，若∠C＝25°，则∠ADB＝________.
12．已知：如图7—110，△ABC中，AB＝AC，BE∥AC，∠BDE＝100°，∠BAD＝70°，则∠E＝_____________.
13．如图7—111，在Rt△ABC中，B为直角，DE是AC的垂直平分线，E在BC上，∠BAE：∠BAC＝1：5，则∠C＝_________.
二、选择题
1、国旗是一个国家的象征，观察下面的国旗，是轴对称图形的是（ ）
A.加拿大、哥斯达黎加、乌拉圭 B.加拿大、瑞典、澳大利亚
C.加拿大、瑞典、瑞士 D.乌拉圭、瑞典、瑞士
加拿大 哥斯达黎加 澳大利亚 乌拉圭 瑞典 瑞士
2、等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A、7cm B、3cm C、7cm或3cm D、5cm
3、在线段、直线、射线、角、等腰三角形、任意的一个三角形、五角星这些图形中，轴对称图形有（ ）
A、6个 B、5个 C、4个 D、3个
4.以下是王北电脑屏幕上显示的日期，哪一个日期是轴对称的？ （ ）
A 06:01:08 B 16:11:91 C 08:10:13 D 04:08:04
5下列图形中，轴对称图形有 （填编号）
三、作图
1、作出下列图形的对称轴
2、请将正方形分成四个形状相同的部分，并使之成为轴对称图形，你可以画出几个这样的图形？在你画出的各图形中画出对称轴，并至少各找出一组对应点、对应线段。
四、解答题
1．如图7—117，在△ABC中，C为直角，AB上的高CD及中线CE恰好把∠ACB三等分，若AB＝20，求△ABC的两锐角及AD、DE、EB各为多少?
2．如图7—118，AD、BE分别是等边△ABC中BC、AC上的高．M、N分别在AD、BE的延长线上，∠CBM＝∠ACN．求证：AM＝BN．
3.如图，△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,AD⊥BC于D,求∠B,∠CAD的度数.
4．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O，过点O 作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，若AB=18，AC=16，求△AEF的周长？
4.如图，四边形ABCD中,AD∥BC,AB=AD,(1)观察∠ABD及∠CBD,你能得到什么结论?(3分) (2)试说明你得到的结论.
5.如图，点D,E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE，（1）试比较BD及CE的大小,写出你得到的结论;（2）对你得到的结论说明理由.
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