人教版解直角三角形知识点总结与例题.doc

知识点总结：
一、锐角三角函数的定义
锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）与正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A的锐角三角函数。
　　正弦（sin）等于对边比斜边， 余弦（cos）等于邻边比斜边
　　正切（tan）等于对边比邻边； 余切（cot）等于邻边比对边
正切与余切互为倒数，互余角的三角函数间的关系。
sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,
tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.
同角三角函数间的关系
　　 平方关系： tanα=sinα/cosα，sin2α+cos2α=1
　　·积的关系：
　　·倒数关系： tanα·cotα=1 ；sinα·cscα=1； cosα·secα=1
　　直角三角形ABC中,
　　 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 　余弦等于角A的邻边比斜边
　　 正切等于对边比邻边, 余切等于邻边比对边
三角函数值
　　（1）特殊角三角函数值
　　（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。
　　（3）④tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。
　　（i）锐角三角函数值都是正值
　　（ii）当角度在0°～90°间变化时，
　　正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
　　余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
　　正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
　　余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
　　（iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时，
　　0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,
　　当角度在0°<α<90°间变化时，
　　tanα>0, cotα>0.
　　特殊的三角函数值
二、解直角三角形
勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”）
　　a^2+b^2=c^2, 其中a与b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。
　　勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如：3，4，5。他们分别是3，4与5的倍数。 常见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；等等.
直角三角形的特征
⑴直角三角形两个锐角互余；
⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
⑶直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半；
⑷勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方与等于斜边的平方，即：
在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则a2+b2=c2；
⑸勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方与，则这个三角形是直角三角形，即：在△ABC中，若a2+b2=c2，则∠C＝90°；
A
B
C
D
⑹射影定理：AC2=ADAB,BC2=BDAB,CD2=DADB．
A
B
C
a
c
b
锐角三角函数的定义：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∠A，∠B，∠C所对的边分别为a,b,c,
则sinA=,cosA=,tanA=,
解直角三角形（Rt△ABC,∠C＝90°）
⑴三边之间的关系：a2+b2=c2．
⑵两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°．．
⑶边角之间的关系：sinA=,cosA=．
tanA=,cotA=．
⑷解直角三角形中常见类型：
① 知一边一锐角．②已知两边．③解直角三角形的应用．
三、 例题讲解：
选择题
1.已知是锐角，且，那么（ ）
A． B. C． D．
2.若把一个直角三角形的两条直角边都扩大倍，（是大于1的自然数），则两个锐角的三角函数值（ ）
A．都变大为原来的倍 B．都缩小为原来的
C．不变化 D．各个函数值变化不一致
3.如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.下列条件中，能证明 △ABC是直角三角形的有（ ）
①∠A+∠B=90° ② ③ ④
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④
4、sinA=，∠A=( )
A.30° B.60° C.20° D.45°
5、如图，在△ABC中，∠C＝90°,若AB＝5，AC＝4， 则sin∠B＝
A. B. C. D.
6.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的坡度i=1：，则坡角的大小为（ ）
A.60° B.30° C.45° D.无法确定
填空题
1.如图3，已知在直角三角形ABC中，∠C=90°,AC=,BC=5,则∠B=________度.
2、课外活动小组测量学校旗杆的高度，如图4，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的投影BC长为24米，则旗杆AB的高度是___________米.（保留根号形式）
3． 一人乘雪橇沿坡比1∶的斜坡笔直滑下，滑下的距离（米）
与时间（秒）间的关系为，若滑到坡底的时间为4秒，
则坡角的度数是 ， 此人下降的高度为 米。
4、计算：sin30°=_________.
5．（1） ，
（2）在△ABC中，∠C＝90°，如果，那么
6、在中，，则的值是　　　　　　
7.已知,如下图，在中，
则
8.如图，一水库迎水坡AB的坡度︰，则该坡的坡角= .
9． 如图：在Rt△ABC中，，，在AC上取一点D，使得，
第16题图
第17题图
则 ．
解答题
1、计算：
2、 (8分)已知：∠A是锐角，且，求的值
3、(8分)某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上探测点A、B相距4m，探测线与地面的夹角分别是30º与60º，试确定生命所在点C的深度(结果精确到0.1m，参考数据：≈1.414，：≈1.732)．
A
C
B
60º
30º

A
B
北
O
图6
4、如图6，厦门海关缉私艇在点0出发现正北方向海里的A处有一艘可疑船只，测得它正以60海里/时的速度向正东方向航行，随即调整方向，按北偏东60°的方向追赶，准备在B处迎头拦截.问经过多少时间能赶上？缉私艇的速度为多少？（保留根号形式） （7分）
5、（本题满分8分）我市准备在相距2千米的A、B两工厂间修一条笔直的公路，但在B地北偏东60°方向、A地北偏西45°方向的C处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（见下图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？ （参考数据：， ）
第22题图

6、. (本题满分8分)
如图，海上有一灯塔P，在它周围4千米内有暗礁，一艘轮船以每小时9千米的速度由东向西行驶，行至A处测得灯塔P在它的北偏西75°，继续行驶一小时到达B处，又测得灯塔P在它的北偏西60°，试问：若客轮不改变航向，是否有触礁的危险？
（参考数据：, ,
7．(本题满分10分)
如图，格点图中的每个小方格都是边长为1的正方形． 在建立平面直角坐标系后，点A（-2，0），B（2，0）．(下列画图要求均为格点图形且不得超出已给格点图)
（1）画出Rt△ABC，使得，并写出C点坐标___________；
（2）把（1）中Rt△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为2：3，画出△的图形;
x
B
A
y
O
(3)是否存在点D，使得在Rt△ACD中满足，若存在，请写出D点坐标___________；若不存在，说明理由.

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