高等数学微分方程的基本概念教学ppt教学文稿.ppt

Nanjing College of Information and Technology,第六章 常微分方程,第一节 微分方程的基本概念,*,第六章 常微分方程,第一节 微分方程的基本概念,第二节 一阶微分方程,第三节 可降阶的高阶微分方程,第四节 二阶线性微分方程解的结构,第五节 二阶常系数线性齐次微分方程,第一节 微分方程的基本概念,一,.,问题引入,二,.,微分方程的定义,本节主要内容,:,三,.,求微分方程的解,在力学、物理学及工程技术等领域中为了对客观事物运动的规律性进行研究，往往需要寻求变量间的函数关系，但根据问题的性质，常常只能得到待求函数的导数或微分的关系式，这种关系式在数学上称之为微分方程。,例,1,一曲线过点,(0,0),，且曲线上各点处的切线斜率等于该点横坐标的平方，求此曲线方程,解,设所求曲线的方程为,y=y,(,x,),(,x,y,),为曲线上的任意点，在该点曲线的切线的,斜率为,y,依题意有：,两边积分，得,(2),(1),一、问题引入,上式表示的是曲线上任意一点的切线的斜率为,x,2,的所有曲线但要求的是过点,(0,0),的曲线，即,将,(3),式代入,(2),式，得,C,=0,，所以,x,=0,时，,y,=0,(3),为所求的曲线方程,例,2,一物体由静止开始从高处自由下落，已知物体下落时的重力加速度是,g,，求物体下落的位置与时间之间的函数关系,。,解,设物体的质量为,m,由于下落过程中只受重力作用,故物体所受之力为,F,=,mg,，,所以,及加速度,又根据牛顿第二定律，,F,=,ma,即,(5),两端积分得,(6),现在来求,s,与,t,之间的函数关系，对,(5),式,由题意知,t,=0,时，,(8),这里,C,1,，,C,2,都是任意的常数,(7),再两端积分，得,C,1,=0,C,2,=0.,故,(7),式为,把,(8),式分别代入,(6),，,(7),式，得,(9),这就是初速度为,0,的物体垂直下落时距离,s,与时间,t,之间的函数关系,微分方程,:,凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程,.,例,实质,:,联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数,(,或微分,),之间的关系式,.,二、微分方程的定义,分类,1,:,按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分方程,.,都是常微分方程；,如,y,=,x,2,y,+,xy,2,=0 ,如果其中的未知函数只与一个自变量有关，就称为,常微分方程,。,就是偏微分方程；,如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导数,如,本章我们只介绍常微分方程。,微分方程的阶,:,微分方程中出现的未知函数的,最,高,阶导数的阶数,.,都是二阶微分方程,.,都是一阶微分方程；,如,y,=,x,2,y,+,xy,2,=0 ,x,d,y,+,y,d,x,=0,是四阶微分方程；,等等,二阶及二阶以上的微分方程称为,高阶微分方程,.,分类,2:,按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶和高阶微分方程,一阶微分方程,高阶,(,n,),微分方程,微分方程的解,:,代入微分方程能使方程成为恒等式的函数,.,微分方程的解的分类：,(1),通解,:,微分方程的解中含有任意常数,且,独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,.,三、主要问题,求方程的解,含有几个任意常数的表达式，如果它们不能合并而使得任意常数的个数减少，则称这表达式中的几个任意常数,相互独立,独立的任意常数的个数,=,微分方程的阶数,不能合并的，即,C,1,，,C,2,是相互独立的,例如,y=C,1,x+C,2,x+,1,与,y=Cx,+1(,C,1,C,2,，,C,都是任意常数）所表示的函数族是相同的，,因此,y=C,1,x+C,2,x+,1,中的,C,1,，,C,2,是不独立的；,而 中的任意常数,C,1,，,C,2,是,(2),特解,:,确定了通解中任意常数以后的解,.,初始条件,:,确定任意常数取固定值的条件,.,解的图象,:,微分方程的积分曲线,.,通解的图象,:,积分曲线族,.,初值问题,:,求微分方程满足初始条件的解的问题,二阶微分方程的定解条件通常是,x,=,x,0,时，,y,=,y,0,、,y,=,y,0,或写成,或,本章讨论的一阶微分方程 ，,f,(,x,y,),表示,x,y,的关系式），它的定解条件通常是,x,=,x,0,时，,y,=,y,0,或写成,把,y,和,y,代入微分方程左端得,解,又,例,3,验证 是微分方程 的通解并求此方程满足初始条件,的特解。,是该微分方程的通解,.,是二阶的，所以,方程,代入初始条件,得,中含有两个独立的常数，而,是该微分方程的特解,.,所以,故,内容小结,本节基本概念：,微分方程；,微分方程的阶；,微分方程的解；,通解，初始条件；,特解；,初值问题；,积分曲线,