人教版九年级数学知识点汇总.doc

第十六章 二次根式
16.1二次根式
二次根式的概念：形如√a的式子叫二次根式,a称为被开方数(式),√称为二次根号。二次根式的条件：①应有√②被开方数a可以是一个数或一个含有字母的式子。但开方数一定是非负数。
二次根式√a有意义的条件：a≥0,无意义的条件：a＜0。二次根式√a的双重非负性：a≥0和√a≥0。
（√a）2=a a≥0,√a2=a, a≥0, √a2=-a a＜0。注意（√a）2和√a2是不同的。
代数式：有基本的运算符号，把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式。
16.2二次根式的乘除
二次根式的乘法：√a√b=√ab，a≥0、b≥0。√a√b√c=√abc a≥0、b≥0、c≥0。2√a2√b=2×2√ab 、a≥0、b≥0。
二次根式的乘法的逆用：√ab=√a√b，a≥0、b≥0。
二次根式的除法：√a/√b=√a/b，a≥0、b＞0。4√a/2√b=4/2√a/b，a≥0、b＞0。
二次根式的乘法的逆用：√a/b=√a/√b, a≥0、b＞0。
最简二次根式：①被开方数不含分母（分母不能有根号）。②被开方数中不含有能开方的因数或因式。计算结果表明不是最简二次根式要化成最简二次根式。
化最简二次根式的方法：①带分数化成假分数。②小数化成分数。③分子分母同乘分母。④被开方数是多项式先进行因式分解。⑤通常方法是利用平方米差公式。
16.3二次根式的加减
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并。被开方数不同的二次根式不能合并，它是结果的一部分。
二次根式混合运算顺序及实数混合运算顺序一样，先乘方，后乘除，再加减，有括号先算括号里的，或先去括号。
第十七章 勾股定理
17.1勾股定理
命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c,那么a2+b2=c2这个命题经证明是正确的，所以它是定理，叫勾股定理。勾股定理的先决条件是直角三角形，它提示三角形三边之间的关系。（在直角三角形中，已知二边应用勾股定理求第三边时，要分清哪条边是直边哪条是斜边，不能确定时，要分类讨论）。
勾股定理的验证：①方格纸法验证。②用四个全等的直角三角形拼图验证。③用二个全等的直角三角形拼图验证。
勾股定理的应用：①已知二边求第三边（记得开方，分清哪是直角边哪是斜边）。②勾股定理转化为数学问题。③求无理线段。
17.2勾股定理的逆定理
互逆命题:如果两个命题的题设和结论正好相反,这样的两个命题叫互逆命题。其中一个叫原命题，另一个叫逆命题。命题都有逆命题，命题有真有假，逆命题也有真有假。
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理。这两个定理称互逆定理。其中一个定理称为另一个定理的逆定理。不是所有定理都有逆定理。定理一定是真命题。
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b、 c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形。
判定三角形是否是直角三角形的步骤：①比较三边找出最长边。②计算最长边和平方和较短两边的平方和③比较结果，相等是直角三角形，不相等不是直角三角形。
三角形三边的关系可以判断三角形的形状：（假定c为最长边），如果a2+b2＞c2是锐角三角形 a2+b2＜c2纯角三角形。
勾股数：勾股数必须是正整数。M2-n2、2mn、m2+n2可以求勾股数。一组勾股数的各数的相同整数倍也是一组新的勾股数。常见的勾股数有：3，4，5。6，8，10。5，12，13。8，15，17等。
第十八章 平等四边形
18.1平等四边形
平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫平行四边形（定义判定）。用□表示。
18.1.1平行四边形的性质：
性质1：平行四边形对边相等。
性质2：平行四边形对角相等。
性质3：平行四边形的对角线互相平分。
性质4：两条平行线之间的距离处处相等。
18.1.2平行四边形的判定：
判定1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定）。：
判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
判定3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
判定4：两组对角线互相平分的四边形是平行四边形。
判定5：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
18.2特殊的平行四边形
18.2.1矩形：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形（定义判定）。
性质1：矩形是平行四边形角的特殊化，所以，矩形也是平行四边形。所以具有平行四边形所有性质。
性质2：矩形的四个角都是直角。
性质3：矩形的对角线相等。
由矩形的性质延伸出来的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
矩形的判定：
判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义判定）。
判定2：对角线相等的平行四边形是矩形。
判定3：有三个角是直角的四边形是矩形。
18.2.2菱形：菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形（定义判定）。
性质1：菱形是平行四边形边的特殊化，所以，菱形也是平行四边形。所以具有平行四边形所有性质。
性质2：菱形的四条边相等。
性质3：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
菱形的判定：
判定1：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形（定义判定）。
判定2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
判定3：四条边相等的四边形是菱形。
18.2.3正方形：正方形四条边相等，四个角是直角。所以，正方形既是矩形又是菱形。它具有矩形的性质又具有菱形的性质。
第十九章 一次函数
19.1函数
19.1.1变量及函数：
变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫变量。常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫常量。两者的区别：变量是可以变化的，常量是已知的。
函数：在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有一个唯一的值及其对应，那么x是自变量，y是x的函数。当x=a时，y=b，那么b是自变化量x= a时的函数值。注意：①变化过程中是否存在两个变量。②自变量x取一个值，变量y是否有唯一确定的值。③函数是等式，等号左边表示函数，右边是含自变量的代数式。函数的解析式：用关于自变量的数学式子表示函数及自变量之间的关系的式子叫解析式。如y=b+kx。自变量的取值范围：①等号右边是整式：自变量取全体实数。②等号右边是分式：分母不能为0.③等号右边有偶次根的式子，根号内不能小于0.④等号右边有分式和偶次根式的要使它们都有意义。⑤还要结合实际情况。
19.1.2函数的图象:定义：一般地,对于一个函数,如果把自变量及函数的每对对应值分别作为点的横纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。画函数图象的步骤：①列表、②描点、③连线。函数的表示方法：①解析式法②列表法③图象法。
19.2一次函数
19.2.1正比例函数:形如:y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫正比例函数。其中k叫比例系数。
正比例函数图象：正比例函数:y=kx(k是常数,k≠0)的图象是经过原点和（1，k）的直线。
正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的性质：①当k﹥0时，直线经过原点和第一第三象限，从左向右上升，y随x的增大而增大。②当k﹤0时，直线经过原点和第二第四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小。
求正比例函数的解析式的步骤：①设含有待定系数k的函数解析式y=kx k≠0②把已知的条件代入解析式，得到含有系数k的方程。③解方程求k值。④将k值代入设定的解析式。
19.2.2一次函数：形如:y=kx＋b(k、b是常数,k≠0)的函数,叫一次函数。当b=0时，y=kx＋b为:y=kx。所以正比例函数是一次函数，但是一次函数不一定是正比例函数。也就是说正比例函数是一次函数的特殊情况。
一次函数的图象：一次函数y=kx＋b k≠0的图象是经过（0，b）,重合或平行y=kx k≠0的一条直线。
一次函数的图象的画法：①两点法：一次函数y=kx＋b一定是经过（0，b）和（-b/k,0）两点的直线。②平移法：一次函数y=kx＋b的图象可以看成是y=kx的图象平移b个单位。b＞0向上平移，b＜0向下平移。
一次函数y=kx＋b k≠0的性质：①k﹥0时，⒈b=0经过一三象限。⒉b﹥0经过三二一象限。⒊b﹤0经过三四一象限。（图象左低右高，y随x的增大而增大）。②k﹤0时，⒈b=0经过二四象限。⒉b﹥0经过二一四象限。⒊b﹤0经过二三四象限。（图象左高右低，y随x的增大而减小）。
求一次函数解析式的步骤：（待定系数法）：①设一次函数解析式y=kx＋b②根据条件列出关于k和b的二元一次方程组③解方程组，求k和b的值，用求得的值代入解析式，得到一次函数。
19.2.3一次函数及方程、不等式、二元一次方程组：
一次函数及方程：一元一次方程可以看成是一次函数y=kx＋b k≠0函数值为零时，求自变量x的值。即x=-b/k。也就是直线及x轴的交点。 一次函数已知x求y，或已知y求x都可化成一元一次方程来解。
一次函数及不等式：一元一次不等式可以看成是一次函数y=kx＋b函数值大于或小于0时自变量x 的取值范围。也可以把一次函数y=kx＋b在x轴上方或下方的点所对应的x的取值范围。
一次函数及二元一次方程组：一次函数可以看成是一个二元一次方程，一次函数图象（直线）上的无数个点的坐标也是二元一次方程的无数个组解。二元一次方程组的解其实就是两个一次函数的图象（直线）的交点的坐标。
19.3课题学习 选择方案
用数学方法选择方案一般分为三步：①找出函数关系②确定自变量的取值范围或针对自变量的取值进行讨论③由函数的性质或比较得出最佳方案。
第二十章 数据的分析
20.1数据的集中趋势
20.1.1平均数:一般地,对于n个数X1、X2、X3、XN我们把1/n（X1+X2+X3+XN）叫这组数据的算术平均数，简称平均数，用/x表示，读作X拔。算术平均数表示这组数据的每一个数同等重要的平均数。① 平均数反映了一组数据的集中趋势，它是一组数据的“重心”，是度量一组数据波动大小的基准。②平均数的大小及这组数据中的每一个数有关。③如果一组数据的每一个数都加（或减）同一个数，所得的平均数，等于原平均数加（或减）这个数。④如果一组数据的每一个数都扩大相同的倍数，所得的平均数，等于原平均数扩大相同的倍数。⑤两组数据和的平均数等于这两级数据平均数的和。
加权平均数：实际上一组数据的每一个数的重要程度并不同，数据的重要程度在这组数据中占的比重叫做权，用w表示。
加权平均数的计算：/X=W1X1+W2X2+W3X3+WnXn/W1+W2+W3+Wn。权一般用比例、百分比、频数，个数等表现出来。
几种加权平均数计算：①权用比例表示：比例乘数据的和除以比例总和。②权用百分比表示：百分比乘数据的和除以百分比的和。③权用频数表示：组中值乘频数的和除以频数的和。④以个数表示，组中值乘个数的和除以个数的和。
20.1.2中位数和众数
中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数据为这组数据的中位数。如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为中位数。它的求法如定义所述。
众数：一组数据中出现次数最多的数据称为众数。（注意：众数是数据不是出现的次数，如果有两个或两个以上数据出现的次数并列最多，则这些数都是众数）。
平均数、中位数、众数都是表示数据的集中趋势。平均数充分利用数据提供的信息，但受极端数据的影响。众数不易受极端数据的影响（当数据大致相等时，它没有特别意义）。中位数不受极端数据的影响（不能充分利用数据）。
20.2数据的波动程度
平均数、中位数、众数是刻画数据集中趋势的量，刻画数据波动（离散）的程度的量是方差。
方差：用一组数据中各个数据及它们的平均数的差的平方的平均数来衡量这组数据的波动程度不同，这个量就是这组数据的方差。记作:S2公式：
S2=1/n〔 (x1-/x)2+(x2-/x)2+(x3-/x)2+(xn-/x)2〕
方差是用来衡量一组数据的波动大小的重要量,反映的是数据在它的平均数附近波动的情况,方差越大,数据波动越大,方差越小,数据波动越小.注意：①一组数据的每一个数据都加上（或减少）同一个常数，所得的一组数据的方差不变。②一组数据的每一个数据都变为原来的K倍，所得的新数据的方差变为原来数据方差的K2倍。③用样本的方差来估计总体方差。④方差非负数。
刻画数据波动程度的量还有：极差、平均差、方差、标准差。
极差：数据最大值及最小值的差。
平均差：1/n〔 |(x1-/x)|+|(x2-/x)|+|(x3-/x)|+|(xn-/x)|〕
方差：S2=1/n〔 (x1-/x)2+(x2-/x)2+(x3-/x)2+(xn-/x)2〕
标准差：S=√1/n〔 (x1-/x)2+(x2-/x)2+(x3-/x)2+(xn-/x)2〕
20.3课题学习
数据分析的步骤：①收集数据②整理数据③描述数据④分析数据⑤写调查报告⑥交流。
第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫一元二次方程。它的一般形式ax2+bx+c=0。（a≠0）。其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
一元二次方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
21.2解一元二次方程
21.2.1配方法: 一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0,（a≠0）。当 b=0时，ax2+c=0，x2=
-c/a, x=√-c/a。当-c/a＞0时，方程有两个不等的实数根，x1=√-c/a，x2=-√-c/a。当-c/a=0时，方程有两个相等的实数根，即x1= x2=0，当-c/a＜0时，方程无实数根。当c=0 时，ax2+bx=0，x(ax+b)=0, x1=0, x2=-b/a。解一元二次方程的实质是把这个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程。
配方法:将一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0,（a≠0），配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫配方法。配方法的一般步骤：当a=1时，x2+bx+c=0，将c移到等号的右边，x2+bx=-c,应配一次项系数的1/2的平方即（b/2）2。x2+bx+（b/2）2=-c+（b/2）2,(x+b/2)2=-c+（b/2）2，化简，(x+b/2)2=b2-4c/4, (x+b/2)=±√b2-4c/4,x1=-b/2+√b2-4c/4,化简x1=(-b+√b2-4c )/2,x2=-b/2-√b2-4c/4,化简x2=(-b-√b2-4c )/2。当a≠1时，ax2+bx+c=0, 将c移到等号的右边，ax2+bx=-c,方程两边同时除以a. x2+b/ax=-c/a, 应配一次项系数的1/2的平方（b/2a）2,x2+bx+（b/2a）2=-c/a+（b/2a）2, (x+b/2a)2=-c/a+（b/2a）2, 化简，(x+b/2a)2=(b2-4ac)/4a2, (x+b/2a)=±√(b2-4ac)/4a2,x1=-b/2a+√(b2-4ac)/4a2,化简x1=(-b+√b2-4ac)/2a, x2=(-b-√b2-4ac)/2a。
总结：一般地：（x+n）2=p,①p＞0时，有x1=-n-√p x2=-n+√p ②p＝0时x1= x2=-n③p＜0时，方程无根。
21.2.2公式法：从配方法可将一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0,（a≠0）化简成(x+b/2a)2=(b2-4ac)/4a2，∵a≠0,∴4a2＞0,∴(b2-4ac)/4a2的大小取决于b2-4ac。当b2-4ac＞0时，方程有两个不等的实数根。当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。当b2-4ac＜0时，方程无根。∴b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0,（a≠0）的判别式，通常用⊿表示。即⊿=b2-4ac。
当⊿=b2-4ac＞0时，方程有两个实数根：X1=(-b+√b2-4ac)/2a,X2=(-b-√b2-4ac)/2a。
当⊿=b2-4ac=0时，方程有两个相等实数根：X1=,X2=-b/2a。
当⊿=b2-4ac＜0时，方程无根。
当一元二次方程的二次项系数为1时，方程的根可以简化为X1=(-b+√b2-4c)/2,X2=(-b-√b2-4c)/2。X1=,X2=-b/2。
X=(-b±√b2-4ac)/2a 叫做方程的求根公式。用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。
21.2.3因式分解法：概念：不用开方降次，而是先因式分解，将一元二次方程化成两个一次式的乘积等于0的形式，再使两个一次式分另等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫因式分解法。
21.2.4一元二次方程的根及系数的关系：一元二次方程ax2+bx+c=0，（a≠0），的求根公式X=(-b±√b2-4ac)/2a，表示方程的系数决定了根的值，也反映了根及系数的关系。从因式分解法可知，（x-a）(x-b)=0,x1=a,x2=b。x2-(a+b)x+ab=0,可以看出两个根的和的相反数等于方程一次项的系数。两个根的积等于方程的常数项(二次项系数为1)。
从求根公式可知x1+x2=(-b-√b2-4ac)/2a+(-b+√b2-4ac)/2a=-b/a ,x1·x2=(-b-√b2-4ac)/2a×(-b+√b2-4ac)/2a=c/a。这表明两个根的和等于一次项系数及二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项及二次项系数的比。x1+x2=-b/a，,x1·x2=c/a
21.3实际问题及一元二次方程
①按一定量增长：原始×（1+增长率）2=现量。
②按一定量递减：原始×（1-增长率）2=现量。
列方程解应用题的一般步骤：①审②设③列④解⑤验⑥答.
第二十二章 二次函数
22.1二次函数的图象和性质
22.1.1二次函数:如y=ax2+bx+c(a、b、c都是常数，a≠0)。的函数就是二次函数。a、b、c分别是解析式的二次项系数、一次项系数和常数项，x是自变量。
y=ax2+bx+c a≠0,是二次函数的一般式，它的特殊形式有①y=ax2b=0、c=0。②y=ax2+bx c=0。③y=ax2+c b=0。
22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质：一元二次函数的图象曲线叫抛物线。抛物线都有对称轴，抛物线及对称轴的交点叫顶点，顶点是抛物线的最高点或最低点。
①函数y=ax2图象特点和性质：①当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴是y轴顶点是原点，也是抛物线的最低点，a值越大，抛物线的开口越小。对称轴左边的抛物线（即x＜0）y随x增大面减小。对称轴右边的抛物线（即x﹥0）y随x增大而增大。②a＜0时，抛物线开口向下，对称轴是y轴顶点是原点，也是抛物线的最高点，a值越大，抛物线的开口越大。对称轴左边的抛物线（即x＜0）y随x增大面增大。对称轴右边的抛物线（即x﹥0）y随x增大而减小。
22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质：
②函数y=ax2+c的图象和性质：它是y=ax2的图象向上（c＞0）或向下(a＜0）移动c个单位。顶点的坐标是（0，c）。其它的性质和函数y=ax2相同。
③二次函数y=a(x-h)2的图象和性质：它是y=ax2的图象向左（h＜0、y=a(x+h)2）或向右(h＞0、y=a(x-h)2）移动h个单位。顶点坐标为（h，0）,对称轴为x=h。其它的性质和函数y=ax2相同。
④二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质：它是y=a（x-h）2的图象向上（k＞0）或向下（k＜0）移动k个单位。对称轴是x=h。顶点坐标是（h，k）。当a＞0、x＜h时（即在x=h对称轴左边）y随x增大而减小、x＞h时（即在x=h对称轴右边）y随x增大而增大。当a＜0、x＜h时（即在x=h对称轴左边）y随x增大而增大、x＞h时（即在x=h对称轴右边）y随x增大而减小。
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质：先将y=ax2+bx+c配方，一二次项提取a,得y=a(x2+b/ax)+c,括号内配(b/2a)2,括号外应减a×(b/2a)2,得y=a(x2+b/ax+(b/2a)2)+c- a×(b/2a)2,得y=a(x+b/2a)2+(4a2c-b2)/4a。对称是x=-b/2a。 顶点坐标（-b/2a，(4a2c-b2)/4a）。
当a＞0，x＜-b/2a，y随x增大而减小，当x＞-b/2a时，y随x的增大而增大；当a＜0，x＜-b/2a时，y随x增大而增大，当x＞-b/2a时，y随x的增大而减小。
二次函数y=ax2+bx+c解析式的求法：用图象上三点的坐标组成一个三元一次方程组，求出a、b、c的值，代入一般式，就可得到函数的解析式。
22.2二次函数及一元二次方程
二次函数及一元二次方程的联系：解一元二次方程可以看成是二次函数函数值y为0时，求自变量x。二次函数的图象及x轴的位置关系有三种情况：①有两个公共点，即方程有两个不同的实数根。②有一个公共点即方程有两个相等的实数根。③没有公共点。即方程没有实数根。利用图象方法求一元二次方程的根，结果一般是近似的。
22.3实际问题及二次函数
①用二次函数解决实际问题一般都是列出二次函数的一般式，当a＞0时，函数有最小值，即x=-b/2a时，函数有最小值4ac-b2/4a。当a0时，函数有最小值，即x=-b/2a时，函数有最大值4ac-b2/4a。
②用建立适当坐标系的方法，求出这条抛物线表示的二次函数，各个点得到相应的坐标，然后求值。
第二十三章三 旋转
23.1图形的旋转
旋转的有关定义：把一个平面图形绕着平面内某一点0转动一个角度叫图形的旋转。点0叫做旋转中心。旋转的角叫旋转角。图形上的点P经过旋转变为P’，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。注意：旋转是在平面内旋转。图形旋转三要素是旋转中心、旋转方向、旋转角度。
旋转的性质：总的说：旋转不改变图形的大小和形状。
性质1：对应点到旋转中心的距离相等。
性质2：对应点及旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
性质3：旋转前、后的图形全等。
旋转、平移、轴对称的区别和联系：区别：平移前后两个图形的对应线段平行或在同一直线上。旋转前后两个图形的任意一对对应点及旋转中心所连线段的夹角都是旋转角。成轴对称图形的对应线段或其延长线的交点在对称轴上，两个图形的对应点连线被对称轴垂直平分。联系：都在平面内进行，都是只改变图形的位置，不改变图形的形状大小，都是把一个已知图形变换后得到另个图形。
旋转作图：先确定图形的对应点，将每个对应点绕旋转中心按规定的方向旋转一定的角度得到新的对应点，再根据对应点作图。
23.2中心对称
23.2.1中心对称:定义:把一个图形绕着某一个点旋转1800，如果它能够及另个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称或中心对称。这个点叫对称中心（简称中心）。这两个图形中的对应点叫关于中心的对称点。注意：中心对称是两个图形的一种位置关系。中心对称必须是把其中一个图形绕对称中心旋转1800。旋转后，两个图形能够完全重合。中心对称和轴对称的区别：①对称中心是一个点和一条直线，②图形绕中心旋转1800，图形沿对称轴对折。③图形旋转后及另一个图形重合，对折后及另一个图形重合。对应点方向相反（上变下左变右，下变上右变左）对应点方向相同。
中心对称的性质：①成中心对称的两个图形，对称点所连线段都过对称中心，而且被对称中心平分。②成中心对称的两个图形是全等图形。（对应线段平行或在同一直线上且相等，如果两个图形的对应点连成的线段都过某一点并且都被这点平分，那么这两个图形关于这点对称。
23.2.2中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转1800，如果旋转后的图形能够及原来图形重合，那么这图形叫中心对称图形（图形的边或角一般是偶数）。这个点就是它们的对称中心。
中心对称及中心对称图形的区别和联系：区别①定义区别②中心对称是两个图形，中心对称图形是一个图形（或多个图形看成一个整体）。③中心对称是图形的变换，中心对称图形是图形具有的一种属性。
23.2.3关于原点对称的点的坐标：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反。即点P（X。Y），关于原点对称点是P（-X，-Y）。
23.3课题学习 图案设计
第二十四章 圆
24.1圆的有关性质
24.1.1圆：圆的概念：①由圆的形成过程进行定义：在同一平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所成的图形叫圆。②由圆的特性进行的定义：圆是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。以O为圆心的圆记作⊙O。圆的特性：①圆上各点到圆心O的距离都等于定长，定长叫半径r。② 到定点的距离等于定长的点的集合在同一圆上。圆的有关概念：①弦:连接圆上任意两点的线段叫弦。②直径：经过圆心的弦叫直径，符号d。（直径是最长的弦，但弦不一定是直径）。③弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。⌒④半圆：直径的两端把圆分成两条相等弧，这两条弧叫半圆。⑤优弧大于半圆的弧叫优弧，用三个字母表示⌒abc。⑥劣弧：小于半圆的弧叫劣弧。用二个字母表示。⌒AB⑦等圆：能完全重合的圆叫等圆（等圆的半径相等，反过来半径相等的圆是同圆或等圆）。⑧等弧：在同圆或等圆中，能相互重合的弧叫等弧（长度相等的弧不一定是等弧）。
24.1.2垂直于弦的直径：①圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。②圆具有中心对称性：圆绕圆心转动任意一个角度都能及它本身重合。所以圆是中心对称图形，圆心是对称中心。
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧。同理，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。同理，弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧。
归纳：对于一个圆和一条直线，如果具备下列五个条件的二个，那么一定具备其它三个。①过圆心②垂直弦③平分弦④平分所对的优弧⑤平分所对的劣弧。知二推三。
24.1.3弧、弦、圆心角：圆心角的定义：顶点在圆心上的角叫做圆心角。
定理1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
定理2：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它所对的圆心角相等，所对的弦相等。
定理3：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它所对的圆心角相等，所对的弧相等。
归纳：在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆心角中，只要有一组相等，那么，它们所对应的其余各组量也分别相等。
24.1.4圆周角：圆周角定义：顶点在圆上，并且角的两边都及圆相交，这们的角叫圆周角。
圆周角定理：同一条弧所对的圆周角是圆心角的一半。
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。圆周角相等所对弧也一定相等。半圆或直径所对的圆周角是直角。900的圆周角所对的弦是直径。
圆内接多边形、多边形的外接圆：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫圆内接多边形。反之，这个圆就叫多边形的外接圆。
圆内接多边形的性质：圆内接四边形的对角互补。
24.2点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1点和圆的位置关系：点和圆的位置关系有三种：①点在圆上（点到圆心距离等于半径）②点在圆外（点到圆心距离大于半径）③点在圆内（点到圆心距离小于半径）。
圆的确定：①过一个点可以作无数个圆（这个点不能是圆心）②过两个点也可以做无数个圆（圆心在两点连线的垂直平分线上）③过不在同一直线上的三个点可以做一个圆（圆心在三个点连线的垂直平分的交点。④在同一直线上的三点不能做圆。
三角形的外接圆：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫的三角形的外接圆（只的一个）。三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，这个点叫三角形的外心。这个三角形叫圆的内接三角形。
反证法：假设原命题的结论不成立，经推论得出矛盾，由矛盾断定所做的假设不成立，从而得出原合题成立，这种方法叫反证法。
24.2.2直线和圆的位置关系：直线和圆有三种位置关系：①相交（直线到圆心的距离小于半径）。这时直线和圆有两相交点。这条直线叫圆的割线。②相切（直线到圆心的距离等于半径）。这时直线和圆只有一个交点，这个点叫圆的切点，这条直线叫圆的切线。③相离（直线到圆心的距离大于半径）。
切线的定义：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。
切线长：经过圆外一点的圆的切线，这个点和切点之间的线段长叫切线长。
切线长原理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这个点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
内切圆：及三角形三边都相切的圆叫内切圆。内切圆的圆心是三角形三个角的平分线的交点，这个点叫三角形内心。
24.3正多边形和圆
正多边形的定义：各边相等、各角相等的多边形叫正多边形。把圆分成多于或等于3的若干等分，依次连接各分点就得到正多边形。各边相等的圆内接多边形是正多边形。（四边相等的四边形不一定是正多边形，如菱形）。
正多边形的有关概念：中心：正多边形外接圆的圆心叫正多边形的中心。半径：正多边形外接圆的半径叫正多边形的半径。正多边形每条边所对的圆心角叫正多边形的中心角。边心距：中心到正多边形的一条每的距离叫正多边形的边心距。
正多边形及圆的关系：把圆分成（n≥3）的若干等分，依次连接各分点就得到正n边形。把圆分成（n≥3）的若干等分，过分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正多边形。这个圆是正多边形的内切圆。
正n边形的有关计算：一般是作正n边形的半径和边心距，把正n边形分成2n 个直角三角形，再利用勾股定理进行计算。
正多边形的对称性：轴对称性：所有正多边形都是轴对称图形，有n条边就有n条对称轴，对称轴都通过中心。中心对称性：正多边形有偶数条边，它既是轴对称图形又是中心对称图形。正多边形有奇数条边它只是轴对称图形不是中心对称图形。旋转对称性，正多形是旋转对称图形，最小旋转角是3600/n。
24.4弧长和扇形面积
弧长:在半径为R的圆中，n0的圆心角所对的弧长的计算公式：l=n/360×2πR=nπR/180
（应区分弧、弧长的概念，弧长相等的弧不一定是等弧）。
扇形：扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫扇形。扇形面积是圆弧和两条直径所围成部分的面积。S=n/360×πR2=①nπR2/360=②1/2lR。已知圆角和半径可用公式①已知弧长和半径可用公式②。
圆锥的有关概念：圆锥可以看成是由一个直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转而成的图形。这条直线叫圆锥的轴，垂直于轴的边旋转而成的面叫圆锥的底面，它是一个圆。斜边旋转而成的面叫圆锥的侧面。连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫圆锥的母线。连接圆锥顶点到底面圆心的线段叫圆锥的高（轴）。
圆锥的有关计算公式：母线l2=h2+r2。圆锥的侧面是一个以母线为半径的扇形，扇形的弧长是圆锥底面圆的周长。圆锥的侧面S=1/2lR=1/2×2πr×l(母线)，圆锥全面积S=S底+S侧=πr2+πrl。
第二十五章 概率初步
25.1随机事件及概率
25.1.1随机事件：
确定性事件：事先能够确定是否发生的事件。它分成必然事件和不可能事件（一定能发生的事件是必然事件，一定不发生的事件叫不可能事件）。
随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫随机事件（事先无法确定是否发生的事件）。
事件发生的可能性的大小：确定性事件中的必然事件发生的可能性是1即100%，不可能事件发生的可能性是0即0%。随机事件发生的可能性有大有小。
25.1.2概率：
定义：一般地，对于一个随机事件A，它发生的可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率。记为P（A）。简单理解概率就是随机事件发生可能性大小的数值。概率大于或等于0，小于或等于1。必然事件概率是1，不可能事件概率是0。
概率的公式：P（A）=m/n，n全部可能性，事件A的可能性m。注意，发生的可能性的机会相等。
25.2用列举法求概率：
列举法求概率有三种方法：①直接列举法求概率②列表法求概率③画树状图法求概率。
①直接列举法概率：适应于可能出现的结果个数有限。具体步骤：①列举出一次试验中的所有结果②找出所有结果中事件A发生的结果③运用公式求事件A的概率。
②列表法求概率：适应于一次试验要涉及两个因素并且结果数量较多。具体步骤：①选其中的一次操作或条件作横行，另一个作纵行，列出表格所有结果②找出所有结果中事件A发生的结果③运用公式求事件A的概率。
③画树状图法求概率：适应于一次试验要涉及3个或更多因素并且结果数量较多。具体步骤：①画树状图列出所有可能出现的结果②找出所有结果中事件A发生的结果③运用公式求事件A的概率。
25.3用频率估计概率：一般的随机事件，在做大量的重复试验时，随着试验次数的增加，随机事件出现的频率总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性，所以，可用大量重复试验随机事件发生的频率去估计概率。
频率和概率的区别和联系：区别：频率和试验次数的变化有关，概率及试验次数的变化无关。频率及时、地、人有关，概率及时、地、人无关。联系：试验次数越多，频率越趋向概率。注意：频率只是概率的近似值，它不可能小于0大于1。概率是针对大量重复试验而言的，它反映的规律并非在每一次试验中一定存在。
第二十六 反比例函数
26.1反比例函数
26,1,1反比例函数的意义
定义；形如y=k/x(k为常数、k≠0)的函数称为反比例函数。其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。意义：表示y是x 的反比例函数。反比例函数及可写成y=kx-1或xy=k ，x、y、k都不能为零。
26.1.2反比例函数的图象和性质
反比例函数y=k/x(k为常数、k≠0)的图象是双曲线。
反比例函数y=k/x(k为常数、k≠0)有性质：
①当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y值随x值的增大而减小。
②当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，y值随x值的增大而增大。
反比例函数y=k/x(k为常数、k≠0)的图象是关于直线y=±x对称。并且随着x的绝对值的增大，反比例函数y=k/x的图象的位置相对于坐标原点越来越远。
反比例函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形，并且有二条对称轴。
反比例函数k值的几何意义：从图象上一点向两坐标轴引垂线及两坐标轴围成的长方形面积S=［k］。从图象上一点向任一坐标轴引垂线和连接原点组成的三角形面积S=［k］/2。
反比例函数及一次函数(正比例函数)的交点：k同号有交点，k异号无交点。
26.2实际问题及反比例函数
第二十七章 相似
27.1图形的相似
相似图形的概念：形状相同的图形叫相似图形。注意：①全等是相似的特例，全等图形一定是相似图形，相似图形不一定是全等图形。②两个图形相似，其中一个可以看成是另一个的图形的放大或缩小。相似图形的形状完全相同，及它们的大小、位置没有关系。
相似多边形的定义判定：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等边成比例，那么，这两个多边形叫相似多边形。
相似比：相似多边形对应边的比叫相似比。
相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
比例的基本性质：
①如果线段a、b、b、d成比例，即a/b=c/d，那么，ad=bc。如果ad=bc那么，a/b=c/d。（a、b、b、d都不等于0）。
②如果a/b=c/d,那么a±b/b=c