高中数学必修5解三角形知识点总结与练习.doc

解三角形
一、知识点总结
1． 内角与定理：
在中，；；；
2． 面积公式: =
3．正弦定理：在一个三角形中,各边与它的所对角的正弦的比相等.
形式一：或变形： (解三角形的重要工具)
形式二： (边角转化的重要工具)
4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的与减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..
形式一：
(解三角形的重要工具)
形式二： ； ； cosC=
5．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角与任意一边，求其他的两边及一角.
2、已知两角与其中一边的对角，求其他边角.
（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.
2、已知两边与他们的夹角，求第三边与其他两角.
6．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.
7．
已知条件
定理应用
一般解法
一边与两角
　　（如a、B、C）
正弦定理
由A+B+C=180˙，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时
　　有一解。
两边与夹角
　　(如a、b、c)
余弦定理
由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再
　　由A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。
三边
　　(如a、b、c)
余弦定理
由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180˙，求出角C
　　在有解时只有一解。
四、巩固练习二
一、选择题
1、ΔABC中,a=1,b=, ∠A=30°,则∠B等于 （ ）
A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120°
2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ ）
A．a=1,b=2 ,c=3 B．a=1,b= ,∠A=30°
C．a=1,b=2,∠A=100° C．b=c=1, ∠B=45°
3、在锐角三角形ABC中，有 （ ）
A．cosA>sinB且cosB>sinA B．cosA<sinB且cosB<sinA
C．cosA>sinB且cosB<sinA D．cosA<sinB且cosB>sinA
4、若(a+b+c)(b+c－a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是 （ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
二填空题
5、A为ΔABC的一个内角,且sinA+cosA=, 则ΔABC是______三角形.
6、在ΔABC中，若SΔABC= (a2+b2－c2),那么角∠C=______.
7、在ΔABC中，a =5,b = 4,cos(A－B)=,则cosC=_______.
三、解答题
8、在ΔABC中,求分别满足下列条件的三角形形状：
①B=60°,b2=ac； ②b2tanA=a2tanB；
③sinC= ④ (a2－b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A－B).
A
B
C
北
东
9.一缉私艇发现在北偏东方向,距离12 nmile的海面上有一走私船正以10 nmile/h的速度沿东偏南方向逃窜.缉私艇的速度为14 nmile/h, 若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东的方向去追,.求追及所需的时间与角的正弦值.
二、例题讲解
1  在△ABC中，，则等于（    ）
A       B      C     D   
2. 在△ABC中，若，则等于（ ）
A B C D
3．在中，若=1,C=, =则A的值为
A． B． C． D．
4. 在△中，若，则等于（ ）
A B C D
5.在中，，，分别为角，，所对边，若，则此三角形一定是（ ）
A.等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形
6.在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于_________.
7.在△ABC中，a＝，b＝1，c＝2，则A等于________．
8.△ABC中，若∠B=30°,AB=2,AC=2,则△ABC的面积为___ _.
9.根据所给条件，判断△ABC的形状. ．
10．已知△的内角的对边分别为，其中，
又向量m，n，m·n=1．
（1）若，求的值；
（2）若，求△的面积．
三、巩固练习二
1 在△ABC中，若＝，则△ABC的形状是.( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等边三角形
2、
4. 在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为________．
5、在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°.求角A，C与边c
6．根据所给条件，判断△ABC的形状.acosA=bcosB；
7.已知、、为的三内角，且其对边分别为、、，若．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求的面积．
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