中考数学几何辅助线——三线合一（含答案）.docx

中考几何辅助线（“三线合一”）
【案例赏析】
1. 如图所示：一副三角板如图放置，等腰直角三角板 ABC 固定不动，另一块三角板的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点 D 处，且可以绕点 D 旋转，在旋转过程中，两直角边的交点 G、H 始终在边 AB、BC 上．
（1） 在旋转过程中线段 BG 和 CH 大小有何关系？证明你的结论．

（2） 若 AB＝BC＝4cm，在旋转过程中四边形 GBHD 的面积是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的取值范围．
（3） 若交点 G、H 分别在边 AB、BC 的延长线上，则（1）中的结论仍然成立吗？请画出相应的图形，直接写出结论．

2. 如图，点 P 是等腰 Rt△ABC 底边 BC 上一点，过点 P 作 BA、AC 的垂线，垂足为 E、F， 设点 D 为 BC 中点，求证：△DEF 是等腰直角三角形．

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【专项突破】
3. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，AB＝AC，D 是斜边 BC 的中点，E、F 分别是 AB、AC

边上的点，且 DE⊥DF．

（1） 请说明：DE＝DF；

（2） 请说明：BE2+CF2＝EF2；
（3） 若 BE＝6，CF＝8，求△DEF 的面积（直接写结果）．
4. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D 是 BC 边上的中点，DE、DF 分别垂直 AB、AC 于点

E 和 F．求证：DE＝DF．
5. 如图，点 D、E 在△ABC 的 BC 边上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．

6. 如图，在△ABC 中，AC＝BC，∠C＝90°，D 是 AB 的中点，DE⊥DF，点 E，F 分别在

AC，BC 上，求证：DE＝DF．

7. 如图，△ABC 与△DEF 均为等边三角形，O 为 BC、EF 的中点，则 AD：BE 的值为（ ）

A． ：1 B． ：1 C．5：3 D．不确定

中考几何辅助线 002 三线合一
参考答案与试题解析

一．解答题（共 6 小题）

1. 如图所示：一副三角板如图放置，等腰直角三角板 ABC 固定不动，另一块三角板的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点 D 处，且可以绕点 D 旋转，在旋转过程中，两直角边的交点 G、H 始终在边 AB、BC 上．
（1） 在旋转过程中线段 BG 和 CH 大小有何关系？证明你的结论．

（2） 若 AB＝BC＝4cm，在旋转过程中四边形 GBHD 的面积是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的取值范围．
（3） 若交点 G、H 分别在边 AB、BC 的延长线上，则（1）中的结论仍然成立吗？请画出相应的图形，直接写出结论．

【解答】解：（1）BG 和 CH 为相等关系，如图 1，连接 BD，
∵等腰直角三角形 ABC，D 为 AC 的中点，

∴DB＝DC＝DA，∠A＝∠DBH＝45°，BD⊥AC，

∵∠EDF＝90°，

∴∠ADG+∠GDB＝90°，

∴∠BDG+∠BDH＝90°，

∴∠ADG＝∠HDB，

∴在△ADG 和△BDH 中，

，

∴△ADG≌△BDH（ASA），

∴AG＝BH，

∵AB＝BC，

∴BG＝HC，

（2） ∵等腰直角三角形 ABC，D 为 AC 的中点，

∴DB＝DC＝DA，∠DBG＝∠DCH＝45°，BD⊥AC，

∵∠GDH＝90°，

∴∠GDB+∠BDH＝90°，

∴∠CDH+∠BDH＝90°，

∴∠BDG＝∠HDC，

∴在△BDG 和△CDH 中，

，

∴△BDG≌△CDH（ASA），

∴S 四边形 DGBH＝S△BDH+S△GDB＝S△ABD，
∵DA＝DC＝DB，BD⊥AC，
∴S△ABD＝ S△ABC，
∴S 四边形 DGBH＝S△ABC＝4cm2，
∴在旋转过程中四边形 GBHD 的面积不变，

（3） 当三角板 DEF 旋转至图 2 所示时，（1）的结论仍然成立，如图 2，连接 BD，
∵BD⊥AC，AB⊥BH，ED⊥DF，

∴∠BDG＝90°﹣∠CDG，∠CDH＝90°﹣∠CDG，

∴∠BDG＝∠CDH，

∵等腰直角三角形 ABC，

∴∠DBC＝∠BCD＝45°，

∴∠DBG＝∠DCH＝135°，

∴在△DBG 和△DCH 中，

，

∴△DBG≌△DCH（ASA），

∴BG＝CH．

2. 如图，点 P 是等腰 Rt△ABC 底边 BC 上一点，过点 P 作 BA、AC 的垂线，垂足为 E、F， 设点 D 为 BC 中点，求证：△DEF 是等腰直角三角形．

【解答】证明：如图，连接 AD．

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠B＝∠C＝45°，

∵BD＝DC，

∴AD＝BD＝DC，

∴∠DAB＝∠DAC＝45°，

∵PE⊥AB，PF⊥AC，

∴∠PEA＝∠EAF＝∠AFP＝90°，

∴四边形 AEPF 是矩形，

∴PE＝AF，

∵∠PEB＝90°，∠B＝45°，

∴∠B＝∠BPE＝45°

∴BE＝PE＝AF，

在△BDE 和△ADF 中，

，

∴△DBE≌△DAF，

∴DE＝DF，

∠BDE＝∠ADF，

∴∠BDA＝∠EDF＝90°，

∴△DEF 是等腰直角三角形．
3. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，AB＝AC，D 是斜边 BC 的中点，E、F 分别是 AB、AC

边上的点，且 DE⊥DF．

（1） 请说明：DE＝DF；

（2） 请说明：BE2+CF2＝EF2；
（3） 若 BE＝6，CF＝8，求△DEF 的面积（直接写结果）．

【解答】（1）证明：连接 AD，
∵等腰直角三角形 ABC，

∴∠C＝∠B＝45°，

∵D 为 BC 的中点，

∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，AD 平分∠BAC，

∴∠DAC＝∠BAD＝45°＝∠B，∠ADC＝90°，

∵DE⊥DF，

∴∠EDF＝90°，

∴∠ADF+∠FDC＝90°，∠FDC+∠BDE＝90°，

∴∠BDE＝∠ADF， 在△BDE 和△ADF 中

，

∴△BDE≌△ADF，

∴DE＝DF．

（2）证明：∵△BDE≌△ADF，

∴BE＝AF，

∵∠EDF＝∠ADC＝90°，

∴∠EDA+∠ADF＝∠ADF+∠FDC＝90°，

∴∠EDA＝∠FDC，

在△ADE 和△CDF 中

，

∴△ADE≌△CDF，

∴CF＝AE，

∴EF2＝AE2+AF2＝BE2+CF2， 即 BE2+CF2＝EF2．

（3）解：EF2＝BE2+CF2＝100，
∴EF＝10，
根据勾股定理 DE＝DF＝5，
△DEF 的面积是DE×DF＝ ×5 ×5 ＝25． 答：△DEF 的面积是 25．
4. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D 是 BC 边上的中点，DE、DF 分别垂直 AB、AC 于点

E 和 F．求证：DE＝DF．

【解答】证明：证法一：连接 AD．

∵AB＝AC，点 D 是 BC 边上的中点

∴AD 平分∠BAC（三线合一性质），

∵DE、DF 分别垂直 AB、AC 于点 E 和 F．

∴DE＝DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．

证法二：在△ABC 中，

∵AB＝AC

∴∠B＝∠C（等边对等角）

∵点 D 是 BC 边上的中点

∴BD＝DC

∵DE、DF 分别垂直 AB、AC 于点 E 和 F

∴∠BED＝∠CFD＝90° 在△BED 和△CFD 中

∴△BED≌△CFD（AAS），

∴DE＝DF（全等三角形的对应边相等）．

5. 如图，点 D、E 在△ABC 的 BC 边上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．

【解答】证明：如图，过点 A 作 AP⊥BC 于 P．

∵AB＝AC，

∴BP＝PC；

∵AD＝AE，

∴DP＝PE，

∴BP﹣DP＝PC﹣PE，

∴BD＝CE．

6. 如图，在△ABC 中，AC＝BC，∠C＝90°，D 是 AB 的中点，DE⊥DF，点 E，F 分别在

AC，BC 上，求证：DE＝DF．

【解答】解：连接 CD，

∵∠C＝90°，D 是 AB 的中点，
∴CD＝ AB＝BD，
∵AC＝BC，

∴CD⊥AB，∠ACD＝∠B＝45°，

∴∠CDF+∠BDF＝90°，

∵ED⊥DF，

∴∠EDF＝90°，

∴∠EDC+∠CDF＝90°，

∴∠EDC＝∠BDF，

∴△ECD≌△FBD，

∴DE＝DF．

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7 如图，△ABC 与△DEF 均为等边三角形，O 为 BC、EF 的中点，则 AD：BE 的值为（ ）

A． ：1 B． ：1 C．5：3 D．不确定
【解答】解：连接 OA、OD，

∵△ABC 与△DEF 均为等边三角形，O 为 BC、EF 的中点，

∴AO⊥BC，DO⊥EF，∠EDO＝30°，∠BAO＝30°，
∴OD：OE＝OA：OB＝ ：1，
∵∠DOE+∠EOA＝∠BOA+∠EOA 即∠DOA＝∠EOB，
∴△DOA∽△EOB，
∴OD：OE＝OA：OB＝AD：BE＝ :1． 故选：A．