讲座多元微分学.doc

第八章 多元函数微分学
第一节 基本概念、定理与公式
一、二元函数的定义及定义域
1 二元函数的定义
定义1　设，，是三个变量．如果当变量，在在一定范围内任意取定一对数值时，变量按照一定的法则总有确定的数值与它们对应，则称变量是变量，的二元函数，记为.其中，称为自变量，称为因变量.自变量，的取值范围称为函数的定义域.
二元函数在点所取得的函数值记为，或
2 二元函数的定义域
二元函数的定义域一般为平面区域上的点集．二元函数的定义域较复杂，它可以是一个点，也可能是一条曲线或几条曲线所围成的部分平面，甚至可能是整个平面．
整个平面或由曲线围成的部分平面称为区域；围成区域的曲线称为该区域的边界；边界上的点称为边界点，边界内的点称为内点．
不包括边界的区域称为开区域，连同边界在内的区域称为闭区域，部分包括边界的区域称为半开半闭区域．
能用封闭曲线围成的区域称为有界区域，反之称为无界区域．
开区域如:

闭区域 如:
注：和一元函数一样，二元和二元以上的函数也只与定义域和对应关系有关，，与用什么字母表示自变量与因变量无关．
例1 求下列函数的定义域，并画出的图形．
(1) 　（2）
解（1） 要使函数有意义，应有　即，定义域为有界开区域
　（2）要使函数有意义，应有，即

定义域为无界闭区域
3 二元函数的几何意义
设是二元函数的定义域内的任一点,则相应的函数值为,有序数组，，确定了空间一点,称点集为二元函数的图形. 二元函数的图形通常是一张曲面.
注：和一元函数一样，二元和二元以上的函数也只与定义域和对应关系有关，与用什么字母表示自变量与因变量无关.
二、二元函数的极限与连续
1．二元函数的极限
以点为中心，为半径的圆内所有点的集合称为点的邻域，记作．
定义2　设二元函数在点的某一邻域内有定义（点可以除外）,点是该领域内异于的任意一点．如果当点沿任意路径趋于点时,函数总无限趋于常数，那么称为函数当时的极限，记为
　　或　　　　　　　　
说明：（1）定义中的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数.
（2）倘若沿两条不同的路径，不相等，则可断定不存在，这是证明多元函数极限不存在的有效方法．
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似，如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等.
例2　求极限
解　
其中　　　　
例3　证明 不存在．
证明：设，则其值随的不同而变化，故极限不存在．
确定极限不存在的方法：（1）令点沿趋向于，若极限值与有关，则在点处极限不存在;
（2）找出两种不同趋近方式，使存在，但两者不相等，则此时在点处极限不存在;
2．二元函数的连续性
定义3 设函数在点的某一邻域内有定义，如果,则称函数在点处连续.
定义4　设函数在点的某一邻域内有定义，分别给自变量，在，处以增量，，得全增量

如果极限　　　　　　　
则称在处连续．
如果函数在区域内每一点都连续,则称函数在区域内连续.
如果函数在点不连续，则称点是函数的间断点.
例4 求．
解 因为函数是初等函数,且点在该函数的定义域内,故.
例5 讨论函数
的连续性．
解　当时，为初等函数,故函数在点处连续.当时，由例6知不存在,所以函数在点
处不连续，即原点是函数的间断点．
3．有界闭区域上连续函数的性质
性质1（最值定理） 在有界闭区域上连续的二元函数，在该区域上一定有最大值和最小值．
性质2（介值定理） 在有界闭区域上连续的二元函数，必能取得介于函数的最大值与最小值之间的任何值．
三、偏导数
1.偏导数的定义
定义5 设函数在的某邻域内有定义, 固定,在处给自变量以增量,相应地得到函数关于的得增量(称为偏增量):

如果极限
存在, 则称此极限值为函数在点处对的偏导数,记为
，，或.
类似地,函数在点处对的偏导数定义为: ，
记为　　　　　　，，或.
例6　求在点(1, 2)处的偏导数.
解 把 看成常数,得，则；
把看成常数,得，则.
例7　求函数的偏导数．
解:，
例8 设，证明.
证明：因为，，，
所以　　　
例9 已知理想气体的状态方程(R为常数).求证：
证: 因为,；, ；, .所以　　　　　．
注：偏导数的记号,是一个整体,不能看成微商,否则导致运算错误．
例10　求在点(0,0)处的偏导数.
解:
.
注意: (1)二元函数在某点存在偏导数,并不能保证函数在该点连续,与一元函数可导必连续是不相同的．
(2)在分界点处的偏导数，用偏导数定义求．
(3)由偏导数的概念可知，在点处关于的偏导数显然就是偏导数在点处的函数值；是偏导数在点处的函数值．从偏导数的定义中可以看出，偏导数的实质就是把一个自变量固定，而将二元函数看作另一自变量的一元函数的导数．
2.偏导数的几何意义：设为曲面上的一点，过作平面截此曲面得一曲线，其方程为，则导数就是曲线在点处的切线对轴的斜率（设切线与轴的倾斜角为，则）．

同样，偏导数是曲面与平面的交线在点处的切线对轴的斜率（设切线与轴的倾斜角为，则）．
3、高阶偏导数
函数的两个偏导数，它们都是，的二元函数,如果这两个函数关于，的偏导数也存在, 即，，，，称它们为二元函数的的二阶偏导数．二元函数的二元偏导数最多有4个．将
表为或或；
表为或或；
表为或或；
表为或或．
其中，，是二阶混合偏导数
类似地,二阶偏导数的偏导数，称为原来函数的三阶偏导数，二元函数的三阶偏导数最多有8个：
，，，，，，，
一般地，阶偏导数的偏导数，称为原来函数的阶偏导数，二元函数的阶偏导数最多有个．
二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，而和称为函数的一阶偏导数．
注：二阶偏导数的计算方法是逐次求偏导数．
定理１（求偏导数次序无关的定理）　如果函数的两个二阶混合偏导数，在区域内连续,则对任何有
.
即二阶混合偏导数连续的条件下,混合偏导数与求导的次序无关,对更高阶的偏导数也有类似的结论．
4.全导数的定义
设，，，且、、均可导，则关于的一元函数也可导，且有

对的导数叫全导数．
四、全微分
1.定义 设函数在点的某邻域内有定义,给，在分别以增量、，相应地得到函数的全增量，若其可表示为

其中、与、无关．．为，时的高阶无穷小．则称函数在处可微．称为在处的全微分，记为

当在可微时，,，于是　　　　　　
注意：规定自变量的增量等于自变量的微分，即，，则全微分又可记为.
五、二元函数的连续、偏导数及全微分之间的关系
定理2　若函数在点处可微，则函数在点连续．
定理3　（可微的必要条件）如果函数在点处可微，则在该点处的两个偏导数、必都存在，且．
定理4　（可微的充分条件）若函数的两个偏导数、在点的某领域存在，并且在点处连续，则函数在点处必可微．
注：若在处, 、都存在,不能保证在 处可微分.
例如：在点处，但它在点处不可微分.
注：（1）关于二元函数全微分的定义及可微分的充分条件可以完全类似地推广到三元和三元以上的多元函数.
（2）函数的偏导数存在与否与函数是否连续毫无关系．
六、多元复合函数微分
定理(复合函数的偏导数)设函数，在点处有偏导数，函数在对应点处有连续偏导数,，则复合函数在点处的偏导数存在,且

七、隐函数微分
1.一元隐函数求导公式
方程 ，，链式图

两边对x求导，得： ，　则
2.二元隐函数求导公式
方程得
两边对x求导：
两边对y求导：
得　　　　　　　　
7.2 偏导数在几何上的应用
一、空间曲线的切线与法平面
空间曲线，下面给出曲线的切线的定义．
定义：设点是空间曲线上的一个定点，是曲线上的一个动点，当点沿着曲线趋近于时，割线的极限位置（如果存在）称为曲线在点的切线，并称过点而且垂直于切线的平面为曲线在点的法平面．
下面推导曲线在点的切线和法平面方程．
设对应于定点的参数为，令，，，则点的坐标为，设曲线上对应于参数为的点的坐标为，根据解析几何知识，割线的方向向量为，也可取为，当时，点沿着曲线趋于，割线的极限位置就是曲线在点的切线，若，，在处可导且导数不同时为零，那么此时切线的方向向量为，从而曲线在点处的切线方程为

曲线在点的法平面方程为

二、曲面的切平面与法线
设曲面方程为，过点且完全在曲面上的曲线为，其参数方程为，因此．对求导，在处（即在点处）有

向量是曲线在点的切线的方向向量，向量和这些切线垂直，又由于所取曲线的任意性，可知曲面上任意一条过的曲线，它在点的切线皆垂直于向量，因此这些切线应位于同一平面上，这个平面称为曲面在点处的切平面，向量是切平面的法向量．
曲面在点处的切平面方程为

曲面在点处的法线方程为
．
7.3 二元函数的极值
一、二元函数的极值
定义1：设函数在点的某个邻域内有定义，若该邻域内
，点为极大点，为极大值；，点为极小点，为极小值.极小值点和极大值点统称为极值点，极小值和极大值通称为极值．
　　定义2：方程组的解，称为函数的驻点．
定理1（取极值的必要条件）：若函数在点一阶偏导数存在，且是的极值点，则该点的偏导数必为零，即．
定理2（极值存在的充分条件）：设点是函数的驻点，且函数在点的某邻域内二阶偏导数连续，令

则　(1)当时,点是极值点,且（i）当(或)时,点是极大值点；()当(或)时,点是极小值点.
（2）当时，点不是极值点.
（3）当时，点可能是极值点也可能不是极值点.
例1　求函数的极值.
解: （1）求偏导数，，
，，
　　　　（2）解方程组得驻点及
在处，,,,
在处，,,,
结论：　函数在处取得极大值，在无极值.
注意：对一般函数,可能的极值点包括驻点或至少一个偏导数不存在的点.
二、条件极值与无条件极值
1.求二元函数无条件极值步骤如下：
（1）求，，并解方程组，求得所有驻点；
（2）对于每一个驻点，求出二阶偏导数的值，，；
（3）定出的符号，利用极值存在的充分条件判断驻点是否为极值点，若是，是极大值点还是极小值点，并求出极值．
2.求二元函数在约束条件下的极值的方法和步骤如下：
方法一：条件极值无条件极值
（1）从约束条件中求出；
（2）将代入二元函数中化为一元函数，变为无条件极值；
（3）求出一元函数的极值即为所求．
方法二：条件极值不能转化为无条件极值（运用拉格朗日乘数法）.
(1)构造辅助函数,称为拉格朗日函数,其中参数称为拉格朗日乘数；
(2)由的一阶偏导数组成如下方程组：

（3）结上述方程组得驻点，则就是函数的极值点，依题意判断是极大值还是极小值．上述方法即拉格朗日乘数法可平行地推广到多元函数、多个限制条件上去．
例2 求表面积为，而体积为最大的长方体的体积.
解：设长方体长、宽、高分别为，，，则长方体体积为，约束条件为

即
构造辅助函数
解联立方程组
解得　，
因为是唯一可能的极值点，所以由问题的实际意义知.
三、最值的求解
在有界闭区域上连续的函数一定在该区域上取得最大值和最小值，最值点可能在的内部也可能在的边界点上，如果假定函数在上连续，在内可微分且只有有限个驻点，这时如果函数在的内部取得最大值（最小值），那么这个最大值（最小值）也是函数的极大值（极小值）.因此在上述假定下，求函数的最大值和最小值的一般方法是：将函数在内的所有驻点处的函数值及在的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值.但是这种做法并不简单，因为求函数在边界上的最大值和最小值一般来说仍然是相当复杂的，在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数的最大值（最小值）一定在的内部取得，而函数在内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数在上的最大值（最小值）.
例3 要做一个容积为的长方体箱子，问箱子各边的尺寸多大时，所用材料最省？
解 设箱子的长、宽分别为，则高为．箱子所用材料的表面积为
(,)．
当面积最小时，所用材料最省．为此求函数的驻点，

解这个方程组，得唯一驻点．
根据实际问题可以断定，一定存在最小值且在区域内取得．而在区域内只有唯一驻点，则该点就是其最小值点，即当时，所用的材料最省．
18 / 18