机械优化设计研究生大作业.doc

第一题
1.1 题目
求函数f(X)=x14-2x12x2-2x1x2+3x12+4x22+4.5x1-4x2+5的极小值，初始点为X(0)=[-2，2]T，误差ε不大于0.001。
注：此问题为无约束非线性规划问题的求解。
1.2 建立数学模型
Find x1 , x2
min f(X)=x14-2x12x2-2x1x2+3x12+4x22+4.5x1-4x2+5
初始点 X(0)=[-2，2]T, ε≤0.001
1.3 运行结果
迭代值
迭代次数

x1

x2

f
1
-0.50000000000000
-0.58333333333333
8.33333333333333
2
-0.56606217616580
0.37068221070812
3.00457834092293
3
-0.65287432092310
0.39898283419758
2.97857158805445
4
-0.65084893915893
0.40135860990393
2.97849714375511
5
-0.65083910731569
0.40135662524523
2.97849714338108

通过牛顿法迭代5次可得出结果，当x1=-0.65083910731569，x2=0.40135662524523时，目标函数最优值fmin=2.97849714338108，且满足。
1.4 迭代曲线

1.5 检验结果
用Matlab自带优化程序检验
程序为：>> x0=[-2,2];
[x,fval]=fminsearch('x(1)^4-5*x(1)^2*x(2)-2*x(1)*x(2)+4*x(1)^2+6*x(2)^2+4.5*x(1)-4*x(2)+5',x0)
x =-0.65086658687466 0.40137142333985
fval =2.97849714628600
经检验用牛顿法进行迭代优化结果是正确的，优化结果达到精度要求，ε≤0.001。
1.6 讨论
（1）由以上迭代曲线可知，牛顿法迭代收敛速度很快，本优化经过迭代3次后目标函数值趋于平稳。也可采用黄金分割法，变尺度法等其他方法优化。由于本题比较简单，不必采用变尺度法来优化。
（2）采用Matlab编程解决了求导和计算海森阵比较复杂的难题，编程简单方便。
1.7 Matlab源程序
function ZY32
format long
syms x1 x2 %定义符号变量x1,x2
f=x1^4-2*x1^2*x2-5*x1*x2+6*x1^2+7*x2^2+4.5*x1-4*x2+5 %定义函数f
df=[diff(f,x1);diff(f,x2)]
%diff(f,x1)用于对函数f中变量x1求偏导
%diff(f,x2)用于对函数f中变量x2求偏导
f1=diff(f,x1,2); %diff(f,x1,2)用于对函数f中变量x1求而二次偏导
f2=diff(diff(f,x1),x2);
%diff(diff(f,x1),x2)用于对函数f中变量下x1,x2求偏导
f3=diff(diff(f,x2),x1);
f4=diff(f,x2,2); %diff(f,x2,2)用于对函数f中变量x2求而二次偏导
ddf=[f1,f2;f3,f4]; %求函数f的海森阵
x1=-2;x2=2;
td=eval(df); %计算梯度初值
hs=eval(ddf); %计算海森阵初值
%eval命令用于将符号变量转化为数值变量
i=0;
eps=0.1
while eps>0.01;
i=i+1;
eps=sqrt(td(1).^2+td(2).^2); %求梯度的模
x=[x1;x2]-inv(hs)*td; %记录自变量迭代值
x1=x(1);
x2=x(2);
xx(i,:)=x'; %记录迭代过程中间值
td=eval(df);
hs=eval(ddf);
last(i)=eval(f); %记录迭代过程中间值
end
disp('迭代次数');
i
xx=xx
fmin=last
figure(1)
plot(fmin); % 画目标函数变化图
grid on;
hold on;
xlabel('迭代次数');
ylabel('f(x)');
title('f(x)函数迭代值');
figure(2)
plot(xx(:,1));
grid on;
xlabel('迭代次数');
ylabel('x1迭代值');
title('x1变化图');
figure(3)
plot(xx(:,2));
grid on;
xlabel('迭代次数');
ylabel('x2迭代值');
title('x2变化图');

第二题
2.1 数学模型
Find x1 , x2
min f (X)=2x12+2x22-4x1-6x2
s.t. g1(X)=x1+5x2-5≤0
g2(X)=2x12-x2≤0
g3(X)=-x1≤0
g4(X)=-x2≤0
初始点X(0)=[0,0.75]T, ε=0.001
2.2 优化方法
此问题可规结为强约束问题，此题用罚函数法对在求解强约束非线性优化问题求解。用功能函数constr可以解决此类问题，本题中目标函数是非线性的，约束是线性的。
2.3 优化结果
最小目标函数值f=-5.5039,
自变量取值：X =[0.6589, 0.8682]T
验证优化结果正确。
2.4 Matlab 源程序
在command window 输入question2,然后回车即行;
Function questions2.m
funf='f=x(1)^2+4*x(2)^2-7*x(1)-5*x(2) ; ％定义目标函数
fung='g=[x(1)+5*x(2)-5; 2*x(1)^2-x(2)]; ％定义约束条件
funi=[funf fung]; ％组合矩阵
x0=[0,0]; %初值；
options=1; ％显示过程
vlb=[0 0]; ％下边界x；
vub=[ ]; %无上边界；
[x,options]=constr(funi,x0,options,vlb,vub)
2.5 计算结果
迭代次数
目标值f
自变量x1
自变量x1
约束g1
约束g2
约束g3
约束g4
1
1
0
1
0
-1
0
-1
2
-1.0000
-0.0000
1.0000
-1.0000e-008
-1.0000
1.0000e-008
-1
3
-1.0000
0
1.0000
-5.0000e-008
-1.0000
0
-1.0000
4
-10
5
0
0
50
-5
0
5
-12.7500
2.5000
0.5000
0
12
-2.5000
-0.5000
6
-8.6875
1.2500
0.7500
0
2.3750
-1.2500
-0.7500
7
-8.6875
1.2500
0.7500
-1.0000e-008
2.3750
-1.2500
-0.7500
8
-8.6875
1.2500
0.7500
-5.0000e-008
2.3750
-1.2500
-0.7500
9
-5.9365
0.7152
0.4511
-2.0293
0.5720
-0.7152
-0.4511
10
-5.5164
0.6609
0.8678
0
0.0059
-0.6609
-0.8678
11
-5.5164
0.6609
0.8678
1.0000e-008
0.0059
-0.6609
-0.8678
12
-5.5164
0.6609
0.8678
5.0000e-008
0.0059
-0.6609
-0.8678
13
-5.5039
0.6589
0.8682
0
8.5830e-006
-0.6589
-0.8682
14
-5.5039
0.6589
0.8682
1.0000e-008
8.6094e-006
-0.6589
-0.8682
15
-5.5039
0.6589
0.8682
-5.0000e-008
8.5930e-006
-0.6589
-0.8682
16
-5.5039
0.6589
0.8682
0
1.8429e-011
-0.6589
-0.8682
17
-5.5039
0.6589
0.8682
8.2958e-007
2.1864e-006
-0.6589
-0.8682
18
-5.5039
0.6589
0.8682
4.7634e-005
-9.5269e-006
-0.6589
-0.8682
19
-5.5039
0.6589
0.8682
-8.8818e-016
-1.1102e-016
-0.6589
-0.8682
20
-5.4905
0.6565
0.8682
-0.0024
-0.0062
-0.6565
-0.8682
21
-5.5044
0.6589
0.8680
-0.0013
2.6130e-004
-0.6589
-0.8680
22
-5.5039
0.6589
0.8682
-1.0000e-004
0.0000
-0.6589
-0.8682
2.6 迭代曲线
2.7 讨论
（1）利用Matlab优化工具箱里边的功能函数condtr来优化求解目标函数f，能很快实现优化，达到目标，方便快捷。
（2）由图可见迭代五次达到最低端，10次后趋于平稳。
（3）优化结果满足精度要求ε＜0.001。
（4）可见Matlab很容易对目标实现优化，对编程人员要求不高。只要知道如何使用命令。

第三题
3.1 题目
平面铰链四连杆机构，各杆长度为，，，。已知；主动杆输入角为，从动杆的输出角为；摇杆在右极位时，杆1、杆2伸直，主动杆在初始位置，从动杆在初始位置。试设计四连杆机构的各杆长度，使其输出角在曲柄从转到时，最佳再现给定函数：，且要求最小传动角不小于45ｏ，即≥45ｏ。

3.2 数学模型
3.2.1 确定设计变量
机构位置决定于4个杆长与主动杆转角，再现角位移的机构与杆件的绝对长度无关，只决定于相对长度；转角连续变化，故非设计变量。因此计算时取曲柄长度为单位长度，即=1；而其他的杆长按比例取为的倍数，机架长，而初始角可以按下列几何关系求得：

故仅有、为独立变量，是二维最优化设计问题，设其设计变量为：

3.2.2 确定目标函数
此再现运动的机械运动优化中，目标函数为机构实际运动轨迹与预定运动轨迹均方根最小，位置取若干离散点，即

本题则取目标函数为：

P取30，则,式中期望输出角的离散值为：

实际输出角的计算公式为：

由三角关系式得：

3.2.3 确定约束条件
根据对传动角的约束要求及曲柄与机架处于共线位置时和机构的尺寸的关系：
以及；，得约束条件：

满足曲柄存在条件，得约束条件：

取，进一步分析可行域可知（两椭圆方程）起约束作用，其他约束均在其外不起作用。
3.2.4 数学模型
find

3.3 优化方法
用Matlab自带函数fmincon来优化求解，

3.4 优化结果
最小目标函数值f=0.0133
自变量X* =[4.4846 ， 1.9224]T
约束条件值g=[0.0000， -4.3848]T
优化结果达到要求.
3.5 Matlab程序
由于某些符号在Matlab中无法表示，符号有如下变动，其中in0设为，in设为， out0设为，out设为，a设为，b设为，r设为，f设为所求函数。
3.5.1 目标函数
将程序命名为cpp3.m
function f=cpp3(x)
L1=1;L4=5; %定义杆1，4长度
L2=x(1);L3=x(2); %定义杆2，3为变量
format long;
%初始输入角
inp=acos(((L1+L2).^2+(L4.^2-L3.^2))/(2*(L1+L2)*L4));
%初始输出角
outp=acos(((L1+L2).^2-(L4.^2+L3.^2))/(2*L3*L4));
pianc=0; %给定初值。
for i=1:30
in{i}=sym(inp+i*pi/60); %在不同位置的输入角
out{i}=sym(outp+2*(in{i}-inp).^2/(3*pi)); %输出角
r{i}=sym(sqrt(26-10*cos(eval(in{i})))); %符号值
a{i}=sym(acos(((eval(r{i})).^2+x(2).^2-x(1).^2)/(2*eval(r{i})*x(2))));
b{i}=sym(acos(((eval(r{i})).^2+24)/(10*(eval(r{i})))));
A{i}=eval(a{i}); %将符号转换成为数值
B{i}=eval(b{i});
NI{i}=eval(in{i});
TUO{i}=eval(out{i});
if 0<NI{i}<=pi
real{i}=pi-A{i}-B{i};
elseif pi<NI{i}<=2*pi
rl{i}=pi-A{i}+B{i};
else
disp('超出范围')
end
piancha{i}=(rl{i}-TUO{i}).^2; %计算偏差
pinc=piancha{i}+pinc;
end
pinc %用于显示优化过程中的目标函数值
%定义约束条件g1,g2;
3.5.2 约束函数值
function [g,z]=yueshu3(x)
g=[36-x(1).^2-x(2).^2-1.4142*x(1)*x(2); x(1).^2+x(2).^2-16-1.4142*x(1)*x(2)]
z=[];
x %输出自变量值；
3.5.3 求解目标函数
命名文件CPP33.m.
x=[5 3] ; % x为初始值
options = optimset ('LargeScale' , 'off');
[x ,f] =fmincon ( @ cpp3, x ,[], [], [], [], [], [], @yueshu3, options)
在command window中输入cpp33.m, 回车即可。
3.6 计算结果
迭代次数
目标值
自变量x1
自变量x2
约束值g1
约束值g2
1
0.3132
5
3
-19.2130
-3.2130
2
0.1630
5.0972
2.6247
-15.7902
-2.0495
3
0.7384
5.0472
1.4130
-1.5563
1.3849
4
0.0211
5.0722
2.0188
-8.2842
-0.6785
5
0.0204
5.0176
2.0210
-7.6010
1.0804
6
0.0173
4.7873
1.9538
-3.9638
-2.4920
7
0.0147
4.5284
1.8818
-0.0986
-4.0034
8
0.0140
4.5109
1.8922
-0.0002
-4.1423
9
0.0140
4.5109
1.8922
-0.0001
-4.1423
10
0.0140
4.5109
1.8922
-0.0002
-4.1423
11
0.0133
4.4868
1.9199
-0.0004
-4.3646
12
0.0133
4.4846
1.9224
-0.0000
-4.3848
13
0.0133
4.4846
1.9224
0.0001
-4.3848
14
0.0133
4.4846
1.9224
-0.0000
-4.3848
3.7 迭代曲线

3.8 讨论
（1）利用Matlab的优化工具箱能够很方便的实现目标优化。。
（2）由图可看出迭代4次后，目标函数基本上达到最小值，并且满足精度要求。
（3）因为用到了for循环连续重复调用函数所以计算速度较慢。这是Matlab的缺陷。但仍是解决问题的好方法。