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<p>第九章 二 次 型
9.1双线性函数和二次型
教学目的:
1 掌握二次型,二次型的矩阵表示,二次型的矩阵,矩阵合同,二次型的秩.
教学内容:
1 双线性函数:
定义1 设V是数域F 上的一个n维向量空间.V上一个双线性函数指的
是一个映射f:V*VF ,即对于V中每一对向量(ξ,η),有F中一个 确定的数f(ξ,η)及它对应,并且满足下列条件:
1. f(ξ+η, ζ)=f (ξ, ζ)+f (η, ζ);
2. f(ξ,η+ζ)= f(ξ,η)+ f(ξ, ζ);
3. f(aξ,ζ)= f(ξ,aζ)=a f(ξ, ζ),
这里ξ,η,ζ是V中任意数.
由条件1和3,固定第二个变量ζ,f是V 到F 的一个线性映射;由条件2和3,固定地一个变量ξ,f也是V到F 的一个线性映射.由于这个原因,所以称f是V 上的一个双线性函数.
例1 设F是一个数域.对于二元列空间F2的每一对向量
ξ= 1 η=
定义
f=.
容易验证,f是F2 上的一个双线性函数.
例2 由8.1的定义1,欧氏空间的内积是一个双线性函数.
我们以下主要用到的是所谓对称双线性函数.V上一个双线性函数f说是对称的,如果对于V中的任意两个向量ξ,η,有:
4. f(ξ,η)= f(η,ξ) .
例如, 欧氏空间的内积就是一个对称双线性函数.
设f是向量空间V上的一个双线性函数.由定义1的条件1,2,3推出:
(1)f ,=f(ξi,ηj),
这里
设V是F上一个n维向量,是V的一个基.对于V上任意一个双线性函数f ,令
这n2个数组成F上一个n×n矩阵
矩阵A叫做双线性函数f关于基的矩阵.
很明显,一个对称双线性函数关于V的任意基的矩阵是对称矩阵.
如果是V的任意两个向量,f 是V上一个双性函数,那么由(1),我们有
f(ξ,η)= f ,= f(),
反过来,给了F上任意一个n*u矩阵A=(),那么公式(2)定义了V上一个双线性函数f,并且当A是对称矩阵时,f是对称双线性函数.
利用矩阵的乘法,(20式可以写成以下形式
(3) f(ξ,η)= A
双线性函数f的矩阵自然依赖于基的选取,让我们看一下,基改变时,f的矩阵怎样改变.
设是V的另一个基.而B=()是f关于这个基的矩阵.又P=()是由基到基的过渡矩阵.即
那么
最后等式右端正是矩阵P’AP的第k行第l列位置的元素.这样,我们有
(4) B=P’AP,
这里P’是矩阵P的转置.
2.矩阵的合同
定义2 设A，B是数域F上两个n阶矩阵。如果存在F上一个n阶可逆矩阵P，使得
P’AP=B,
那么就说B及A合同。
矩阵的合同关系具有下列性质：矩阵
1°自反性：任意n阶矩阵A都及自己合同，因为I’AI=A.
2°对称性：如果B及A合同，那么A也及B合同，因为由
P’AP=B
可以得出
(P)’BP=(P’)BP=A.
3°传递性：如果B及A合同，而C又及B合同，那么C及A合同。事实上，
P’AP=B,Q’BQ=C(PQ)’A(PQ)=Q’P’APQ=C.
定理9。1。1 设V数域F上一个n维向量空间。
（i） 取定V的一个基，对于V上每一个双线性函数f, 令f 关于所取定的基的矩阵及它对应。这是V上全体双线性函数的集到F上全体n 阶矩阵的集的一个双射。在这个映射下，对称双线性函数及对称矩阵相对应。
(ⅱ) 设V上一个双线性函数f 关于V的两个基的矩阵分别是A和B。那么存在一个n 阶可逆矩阵P，使得
P’AP=B.
换句话说，一个双线性函数关于V的两个基的矩阵彼此合同。 □
现在设f 是向量空间V上一个对称双线性函数。对于V中每一个向量ξ，定义
q(ξ)=f(ξ,ξ).
于是就得到一个映射q:V→F.
定义3 设f 是数域F上向量空间V上一个对称双线性函数。由等式
q(ξ)=f(ξ,ξ)
所定义的映射q:V→F叫做及f 关联的二次函数。
现在设f 是数域F上n 维向量空间V的一个对称双线性函数。取定V的一个基{α，α，……，α}。设f 关于这个基的矩阵是A=（α）。令q 是及f 关联的二次函数。对于V的任意向量ξ=，由等式（2），我们有
（6） q(ξ)=, a=a(1≤i,j≤n).
或者写成矩阵乘积的形式：q(ξ)=(x,x,……,x)A,A’=A.
（6） 右端是F上n 个文字x,x,……,x的一个二次齐次多项式。叫做F上n 个文字的二次型，或n 元二次型。
数域F上n 个文字x,x,……,x的二次型的一般形式是
q(x,x,……,x)=ax+ax+……+ax +2axx+2axx+……+2ax x.
我们令a=a(1≤i≤j≤n).因为xx=xx,所以上面的等式可以改写成
（8） q(x,x,……,x)= （a=a）。
令A=（a）是由（8）的系数所构成的n 阶矩阵。因为a= a，所以A是一个对称矩阵。它由二次型（8）唯一确定，叫做二次型（8）的矩阵。于是由定理9.1.1，存在F上n 维向量空间V的一个对称双线性函数f ，使得及它关联的二次函数关于V的一个给定的基的表示式就是二次型（8）。
我们把一个二次型的矩阵的秩也叫做这个二次型的秩。
定理9.1.2 设A=( a)是数域F上一个n阶对称矩阵。总存在F上一个n 阶可逆矩阵P，使得
P’AP=.
即F上每一个n 阶对称矩阵都及一个对角矩阵合同。
证 我们将利用矩阵的初等变换来证明这个定理。回忆一下5.2里所定义的三种初等矩阵P，D（k）和T（k）.容易看出,
P= P;D（k）’= D（k）;T（k）’= T（k）.
现在对矩阵A的阶n 作数学归纳法，n=1时定理显然成立。设n>1,并且假设对于n-1阶对称矩阵来说，定理成立。设A=（a）是一个n阶对称矩阵。如果A=0，这时A本身就是对角形式。设A≠0。我们分两个情形来考虑。
（a） 设A的主对角线上元素不全为零，例如，a≠0。如果i≠1,那么交换A的第1列及第i列，再交换第1行及第i行，就可以把a换到左上角。这样做相当于用初等矩阵P右乘A，再用P= P左乘A.于是PA P的左上角的元素不等于零。因此，我们不妨设a0.用-乘A的第1列加到第j列,再用-乘第1行加到第j行,就可以把第1行第j列和第j行第1列位置的元素变成零.这样做相当于用T(-)右乘A,用T(-)左乘A.这样,总可以选取初等矩阵E1,E2,,Es,使得
E,E,,EAE1,E2,,Es=,
这里A1是一个n-1阶对称矩阵.由归纳法假设,存在n-1阶可逆Q1,使得
QA1Q1=,
取
Q=,
P=E1,E2,,EsQ.
那么
P’AP=Q E,E,,EAE1,E2,,EsQ
= QQ=
这里c1=c2.
(b) 如果aii=0,i=1,2,n.由于A,所以一定有某一个元素aij,i把A 的第j列加到第i列,再把j行加到第i行,这相当于用初等矩阵Tji(1)右乘A,再用Tij= Tji(1)左乘A.而经过这样的变换后所得到的矩阵第i行第i列的元素是2 aij.于是情形(b)就归结到情形(a).
注意,在定理9.1.2的主对角形矩阵P’AP中,主对角线上的元素c1,c2,,cn的一部分甚至全部可以零.显然,不为零的ci的个数等于A的秩,如果秩A等于r>0,那么定理的证明过程可知, c1,c2,,cr,cr+1==cn=0.
例3设
A=.
我们按定理9.1.2所给的方法,对A施行列和行初等变换,将A变成P’AP,使得P’AP是一个对角形矩阵,,同时对单位矩阵I4施行同样的列初等变换而得出P.
可得
P=.
于是
P’AP=
现在设f是数域F上n维向量空间V的一个对称双线性函数. 和都是V的基.设f关于这两个基的矩阵分别是A和B,而V任意一个向量.令P是第二个基的过渡矩阵.那么由定理6.5.2我们有
(9) =P.
二次函数q关于这两个基的表示式分别是二次型
(10) q(x,x,……,x)=
和
(11) q’ (y,y,……,y)=
其中B= P’AP.这时我们说,二次型(10)通过变量的替换（9）化为二次型（11）。
设q(x,x,……,x)及q＇(x,x,……,x)是数域Ｆ上两个二次型．如果可以通过变量的替换将前者化为后者，那么就说这两个二次型是等价的．
定理 ９.１.３ 设
q(x,x,……,x)＝ （＝）
是数域Ｆ上一个n元二次型．那么总可以通过变量的替换
＝Ｐ
把它化为二次型
这里Ｐ是一个n阶可逆矩阵．
9.3 正 定 二 次 型
教学目的:
1. 掌握正定二次型的概念和判别条件。
2. 能熟练地运用有关概念和判别法来判定或证明二次型的正定性。
教学内容:
1. 实二次型的分类：
R上一个n元二次q(x1,x2…xn)可以看成定义在实数域上n个变量的实函数。如果对于变量x1,x2…xn的每一组不全燥零的值，函数值q(x1,x2…xn)都是正数，那么 就称q(x1,x2…xn)是一个正定二次型。
定理9.3.1 实数域上二次型q(x1,x2…xn)是正定的充分且必要的条件是它的秩和符号差都等于n.
证明：设A是二次型q(x1,x2…xn)的确良矩阵。如果A的秩和符号差都等于n,那么存在实可逆矩阵P，使得P’AP=I.
令
=P
那么
q(x1,x2…xn)= (x1,x2…xn) A=(y1,y2…yn)P’AP=(y1,y2…yn)I=y21+y22+…y2n
由此可以看出x1,x2…xn不全为零时，y1,y2…yn也不全为零。因此，对于任意不全为零的实数x1,x2…xn，都有q(x1,x2…xn)= y21+y22+…y2n>0
反过来，如果r<n 或者r=n而p<n,不论哪一种情形都有p<n.因此存在实可逆境矩阵P，使得P’AP=,0£p<n.
取一组实数y1,y2,…yn,使得y1=…=yn=0,yn不全为零。
并且令
=P
那么x1,x2,¼xn也不全为零.然而
q(x1,x2,¼xn)=(y1,y2, ¼,yn)
=-(y+¼+y)
所以二次型q不是正定的.
设A=(aij)是一个n阶实对称矩阵.位于A的前k行和前k列的子式
叫做A的k阶主子式.令k=1,2,¼n,就得到A的一切主子式.
以A 为矩阵的二次型q(x1,x2,¼xn)的k阶主子式指的是A的k阶主子式.
定理9.3.2 实二次型
q(x1,x2,¼,xn)=ijxixj
是正定的,必要且只要它的一切主子式都大于零.
证 如果二次型q(x1,x2,¼,xn)的某一k阶主子式不大于零,1,令
Ak=
Ak是一个k阶实对称矩,所以存在K阶可\逆矩阵Q使得
Q’AQ=|
由于|Ak|,所以|Q’AQ|=|Q|2|Ak|.因此s</p><k,于是由定理9.3.1,以ak为矩阵的k个文字和实二次型q(x1,x2,¼xn)不正定的,即存在不全为零的实数c1,c2…ck,使得 ak="qk(c1,c2,…，ck)" n="1时，论断是正确的，因为当a11">0时，对于任意实数x1≠0都有a11x21>0，设n>1,并且假定对于n-1文字的实二次型来说，论断成立，现在设
q(x1,x2,¼xn)=
是一个n个文字的二次型，它的矩阵是A=（aij）,并且假设A的一切主子式都大于零。特别地，a11>0，取
P=
那么P可逆，利用分块矩阵的乘法，我们有
P’AP=
这里
B==（α12,…，α1n）+
所以
bij=αij- I,j=2,…，n
B是一个n-1阶实对称矩阵，它的k-1阶主子式是
==k=2,…，n
这只要把A的k阶主子式的第一列依次乘以，…，另加到第2，…，k列上就可以看出。因此矩阵B的一切主子式都大于零。由归纳法的假定及定理9.3.1，存在n-1阶可逆矩阵T使得:
T’BT=In-1
取
Q=
那么
Q’P’APQ=In
所以A及单位矩阵In合同，再由定理9.3.1，二次型q(x1,x2,¼,xn)是正定的.
9.4主 轴 问 题
定理9.4.1: 设
q(x1,x2,¼,xn)=ijxixj
是实数域上一个二次型。那么总可以通过坐标的正交变换
=U
化为l1y21 +l2y22+¼+lny2n这里U是一个正交矩阵，而是l1,l2,¼,ln二次型的矩阵A=（aij）的全部特征根.
证 A=（aij）是一个n阶实数对称矩阵.由定理8.4.3和8.45,存在一个正交矩阵U,使得
U’AU=
这里l1,l2,¼,ln ÎR是A的全部特征根.这好就相当于以A为矩阵的二次型可以通过坐标的正交变换化为标准形式l1y12+l2y22+…+lnyn2.
推论 9.4.2 设
q(x1,x2,…,xn)=i,jxixj
是实数域上一个n元二次型，A=(aij)是它的矩阵。
（i）二次型q(x1,x2,…,xn)的秩等于A的不等于零的特征根的个数，而符号差等于A的正特征根个数及负特征根个数的差。
（ii）二次型q（x1，x2，…，xn）是正定的必要且只要A的所有特征根都是正数.
第 17 页</k,于是由定理9.3.1,以ak为矩阵的k个文字和实二次型q(x1,x2,¼xn)不正定的,即存在不全为零的实数c1,c2…ck,使得>
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