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<p>第3章 习题
3-1 试构造一右线性文法，使得它与如下的文法等价
S→AB A→UT U→aU|a D→bT|b B→cB|c
并根据所得的右线性文法，构造出相应的状态转换图。
3-2 对于如题图3-2所示的状态转换图
(1) 写出相应的右线性文法；
(2) 指出它接受的最短输入串；
(3) 任意列出它接受的另外4个输入串；
(4) 任意列出它拒绝接受的4个输入串。
3-3 对于如下的状态转换矩阵：
(1) 分别画出相应的状态转换图；
(2) 写出相应的3型文法；
(3) 用自然语言描述它们所识别的输入串的特征。
3-4 将如下的NFA确定化与最小化：
3-5 将如题图3-5所示的具有ε动作的NFA确定化。
题图3-5 具有ε动作的NFA
3-6 设有文法G[S]：
S→aA A→aA|bB B→bB|cC|c C→cC|c
试用正规式描述它所产生的语言。
3-7 分别构造与如下正规式相应的NFA。
(1) ((0* |1)(1* 0))*
(2) b|a(aa*b)*b
3-8 构造与正规式(a|b)*(aa|bb)(a|b)*相应的DFA。
第3章 习题答案
3-1 解：根据文法知其产生的语言是:
L[G]={ambnci| m,n,i≧1}
可以构造与原文法等价的右线性文法:
S→aA A→aA|bB B→bB|cC|c C→cC|c
其状态转换图如下:
3-2 解:
(1) 其对应的右线性文法是G[A]:
A →0D B→0A|1C C→0A|1F|1
D→0B|1C E→0B|1C F→1A|0E|0
(2) 最短输入串为011
(3) 任意接受的四个输入串为：
0110,0011,000011,00110
(4) 任意拒绝接受的输入串为：
0111，1011，1100，1001
3-3 解:
(1) 相应的状态转换图为：
(2) 相应的3型文法为：
(ⅰ) S→aA|bS A→aA|bB|b B→aB|bB|a|b
(ⅱ) S→aA|bB|a A→bA|aC|a|b B→aB|bC|b C→aC|bC|a|b
(ⅲ) S→aA|bB|b A→aB|bA|a B→aB|bB|a|b
(ⅳ) S→bS|aA A→aC|bB|a B→aB|bC|b C→aC|bC|a|b
(3) 用自然语言描述的输入串的特征为：
(ⅰ) 以任意个(包括0个)b开头，中间有任意个（大于1）a，跟一个b，还可以有一个由a,b组成的任意字符串。
(ⅱ) 以a打头，中间有任意个（包括0个）b,再跟a,最后由一个a,b所组成的任意串结尾；或者以b打头，中间有任意个（包括0个）a,再跟b,最后由一个a,b所组成的任意串结尾。
(ⅲ) 以a打头，后跟任意个（包括0个）b ，再跟a，最后由一个a,b所组成的任意串结尾；或者以b打头，由一个a,b所组成的任意串结尾。
(ⅳ) 以任意个（包括0个）b开头,中间跟aa，最后由一个a,b所组成的任意串结尾；或者以任意个（包括0个）b开头，中间跟ab后，再接任意个（包括0个）a，再接b，最后由一个a,b所组成的任意串结尾。
3-4 解：
(1) 将NFA M确定化后得DFA M′，其状态转换矩阵如答案图3-4-(1)之(a)所示，给各状态重新命名，即令：
[S]=1, [S,A]=2, [A,B]=3, [B]=4
且由于3与4的组成中均含有M的终态B，故3与4组成了DFA M′的终态集Z′。于是，所构造之DFA M′的状态转换矩阵与状态转换图如答案图3-4-(1)之(b)与(c)所示。
现将DFA M′最小化：
(ⅰ)初始分划由两个子集组成，即
π0:{1,2}, {3,4}
(ⅱ)为得到下一分划，考察子集{1,2}。因为
{2}b ={3}Ì{3,4}
但 {1}b =Æ
故1与2可区分，于是便得到下一分划
π1: {1}, {2}, {3,4}
(ⅲ)又因π1≠π0 ，再考虑{3,4}，因为
{3}b ={3}Ì{3,4}
而 {4}b =Æ
故3与4可区分，从而又得到
π2: {1}, {2}, {3}, {4}
此时子集已全部分裂，故最小化的过程宣告结束，M′即为状态数最小的DFA。
(2) 将NFA M确定化后得DFA M′，其状态转换矩阵如答案图3-4-(2)之(a)所示，给各状态重新命名，即令：
[S]=1, [A]=2, [B,C]=3
且由于3的组成中含有M的终态C，故3为DFA M′的终态。于是，所构造之DFA M′的状态转换矩阵与状态转换图如答案图3-4-(2)之(b)与(c)所示。
现将DFA M′最小化：
(ⅰ)初始分划由两个子集组成，即
π0:{1,2}, {3}
(ⅱ)为得到下一分划，考察子集{1,2}。因为
{2}b ={2}Ì{1,2}
但 {1}b =Æ
故1与2可区分，于是便得到下一分划
π1: {1}, {2}, {3}
此时子集已全部分裂，故最小化的过程宣告结束，M′即为状态数最小的DFA。
(3) 将NFA M确定化后得DFA M′，其状态转换矩阵如答案图3-4-(3)之(a)所示，给各状态重新命名，即令：
[S]=1, [A]=2, [S,B]=3
且由于3的组成中含有M的终态B，故3为DFA M′的终态。于是，所构造之DFA M′的状态转换矩阵与状态转换图如答案图3-4-(3)之(b)与(c)所示。
现将DFA M′最小化：
(ⅰ)初始分划由两个子集组成，即
π0:{1,2}, {3}
(ⅱ)为得到下一分划，考察子集{1,2}。因为
{2}b ={3}
但 {1}b =Æ
故1与2可区分，于是便得到下一分划
π1: {1}, {2}, {3}
此时子集已全部分裂，故最小化的过程宣告结束，M′即为状态数最小的DFA。
(4) 将NFA M确定化后得DFA M′，其状态转换矩阵如答案图3-4-(4)之(a)所示，给各状态重新命名，即令：
[A]=1, [B,C]=2, [B]=3, [C]=4
且由于2与4的组成中含有M的终态C，故2与4组成了DFA M′的终态集Z′。于是，所构造之DFA M′的状态转换矩阵与状态转换图如答案图3-4-(4)之(b)与(c)所示。
现将DFA M′最小化：
(ⅰ)初始分划由两个子集组成，即
π0:{1,3}, {2,4}
(ⅱ)为得到下一分划，考察子集{1,3}。因为
{1}a ={2}Ì{2,4}
但 {3}a ={1}Ì{1,3}
故1与3可区分，于是便得到下一分划
π1: {1}, {3}, {2,4}
(ⅲ)又因π1≠π0，再考虑{2,4}，因为
{2}a ={4}a ={1}, {2}b ={4}b ={4}
所以2与4不可区分，故子集{S,B}已不能再分裂。此时π2 =π1 ，子集分裂的过程宣告结束。
(ⅳ) 现选择状态2作为{2,4}的代表，将状态4从状态转换图中删去，并将原来引至4的矢线都引至2，这样，我们就得到了最小化后的DFA M〞如答案图3-4-(4)之(d)所示。
3-5 解：
(1) 将具有ε动作的NFA M确定化后得DFA M′，其状态转换矩阵如答案图3-5-(1)之(a)所示，给各状态重新命名，即令：
[S,B,C]=1, [A]=2, [B,C] =3, [C]=4
且由于1,3与4的组成中均含有M的终态C，故1,3与4组成了DFA M′的终态集Z′。于是，所构造之DFA M′的状态转换矩阵与状态转换图如答案图3-5-(1)之(b)与(c)所示。
(2) 将具有ε动作的NFA M确定化后得DFA M′，其状态转换矩阵如答案图3-5-(2)之(a)所示，给各状态重新命名，即令：
[S]=1, [Z]=2, [R,U] =3, [S,X]=4,
[R,U,Y]=5, [S,U,X]=6, [S,Z]=7, [R,U,Y,Z]=8
且由于2,7与8的组成中均含有M的终态Z，故2,7与8组成了DFA M′的终态集Z′。于是，所构造之DFA M′的状态转换矩阵与状态转换图如答案图3-5-(2)之(b)与(c)所示。
3-6 解：
首先将文法写成方程组：
S=aA (1)
A=aA+bB (2)
B=bB+cC+c (3)
C=cC+c (4)
将(4)代入(3)，得：
B=bB+C (5)
由论断3.1，方程(4)的解为:
C=c*c
将上式代入(5)，得：
B=bB+c*c
由论断3.1，得：
B=b*c*c
将上式代入(2)，得：
A=aA+b*bc*c
由论断3.1，得：
A=a*b*bc*c
将上式代入(1)，得：
S=a*ab*bc*c
即文法所产生的语言可用正规式a*ab*bc*c表示。
3-7 解：
(1) 构造与正规式((0* |1)(1* 0))*相应的NFA的步骤如答案图3-7-(1)所示：
(2) 构造与正规式 b|a(aa*b)*b 相应的NFA的步骤如答案图3-7-(2)所示：
答案图3-7-(2) 正规式 b|a(aa*b)*b 的NFA
3-8 解：
首先，构造与正规式(a|b)*(aa|bb)(a|b)*相应的NFA M，其构造步骤如答案图3-8(a)所示：
其次，将答案图3-8(a)所示的具有ε动作的NFA M确定化后得到DFA M′，其状态转换矩阵如答案图3-8(b)所示，给各状态重新命名，即令：
[S,3,1]=S, [3,1,5]=A, [3,1,6] =B, [3,1,5,2,4,Z]=C,
[3,1,6,2,4,Z]=D, [3,1,6,4,Z]=E, [3,1,5,4,Z]=F
且由于C,D,E与F的组成中均含有NFA M的终态Z，故C,D,E与F组成了DFA M′的终态集Z′。于是，将NFA M确定化后所得DFA M′的状态转换矩阵与状态转换图如答案图3-8(c)与(d)所示。
(e) 对DFA M′最小化后所得的DFA M〞的状态转换图
答案图3-8
最后，将所得DFA M′最小化：
(ⅰ)初始分划由两个子集组成，即
π0:{S,A,B}, {C,D,E,F}
(ⅱ)为得到下一分划，考察子集{S,A,B}。因为
{S,B}a ={A}Ì{S,A,B}
但 {A}a ={C}Ì{C,D,E,F}
故S,B与A可区分，于是便得到下一分划
π1: {S,B}, {A}, {C,D,E,F}
(ⅲ)因π1 ≠π0 ，考虑{S,B}，因为
{S}b ={B}Ì{S,B}
但 {B}b ={D}Ì{C,D,E,F}
故S与B可区分，于是便得到下一分划
π2: {S}, {B}, {A}, {C,D,E,F}
(ⅳ) 又因π2 ≠π1 ，再考虑{C,D,E,F}，因为
{C}a ={F}a ={C}, {C}b ={F}b ={E}
所以C与F等价；同理可得D与E等价。又因为
{C}a ={C}, {D}a ={F},
{C}b ={E}, {D}b ={D}
而C与F等价，D与E等价，所以C与D也等价，故C,D,E,F这4个状态等价。此时π3 =π2 ，子集分裂的过程宣告结束。
(ⅴ)现选择状态C作为{C,D,E,F}的代表，将状态D,E,F从状态转换图中删去，并将原来引至D,E,F的矢线都引至C，这样，我们就得到了最小化后的DFA M〞如答案图3-8(e)所示,此DFA M〞即为所求的与正规式(a|b)*(aa|bb)(a|b)*相应的DFA。
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