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《平行线的证明》单元测试题
一、 填空题
1．在△ABC中，∠C=2（∠A+∠B），则∠C=________.
2．如图，AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分∠BEF，若∠1=72º ，
则∠2= ；
3．在△ABC中，∠BAC＝90º，AD⊥BC于D，则∠B与∠DAC的大小关系是________
4．写出“同位角相等，两直线平行”的题设为_______，结论为_______．
C
A
B
D
E
E
C
D
B
A
1
3
2
4
第5题
第6题
第7题
5．如图，已知AB∥CD，BC∥DE，那么∠B +∠D =__________.

6．如图，∠1＝27º，∠2＝95º，∠3＝38º，则∠4＝_______
7．如图，写出两个能推出直线AB∥CD的条件________________________.
8．满足一个外角等于和它相邻的一个内角的△ABC是_____________
二、 选择题
9．下列语句是命题的是 【 】
(A)延长线段AB (B)你吃过午饭了吗？ (C)直角都相等 (D)连接A，B两点
10．如图，已知∠1＋∠2＝180º，∠3＝75º，
第10题
那么∠4的度数是 【 】
(A)75º (B)45º (C)105º (D)135º
11． 以下四个例子中,不能作为反例说明“一个角的余角大于这个角”
是假命题是 【 】
(A)设这个角是30º，它的余角是60°，但30°<60°
(B)设这个角是45°，它的余角是45°，但45°＝45°
(C)设这个角是60°，它的余角是30°，但30°<60°
(D)设这个角是50°，它的余角是40°，但40°<50°
12．若三角形的一个内角等于另外两个内角之差，则这个三角形是 【 】
D
A
B
C
E
(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)不能确定
13．如图，△ABC中，∠B=55°,∠C=63°,DE∥AB,
则∠DEC等于【 】
（A）63° (B) 118°
(C) 55° （D）62°
14．三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是 【 】
（A）锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 （D）无法确定
三、 解答证明题
15．如图，AD=CD，AC平分∠DAB，求证DC∥AB.

C
A
B
D
1
2
16．如图，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A=55°，求∠BDC的度数．

17．如图，BE，CD相交于点A，∠DEA、∠BCA的平分线相交于F.
（1）探求：∠F与∠B、∠D有何等量关系？
（2）当∠B︰∠D︰∠F=2︰4︰x时，x为多少？

18．如图，已知点A在直线l外，点B、C在直线l上．
(1)点P是△ABC内一点，求证：∠P>∠A;
(2)试判断：在△ABC外又和点A在直线l同侧，
是否存在一点Q，使∠BQC>∠A？试证明你的结论．

19、如图，已知∠B=142°,∠BFE=38°,∠EFD=40°,∠D=140°,求证： AB∥CD．

20、已知：如图，∠BAF、∠CBD、∠ACE是△ABC的三个外角．
求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°．

21、如图，已知BE、CE分别是△ABC的内角、外角的平分线，∠A=40°，求∠E的度数．

22、已知一角的两边与另一个角的两边平行，分别结合下图，试探索这两个角之间的关系，并证明你的结论。
（1）AB∥EF,BC∥DE.∠1与∠2的关系是：____________
证明：

（2）AB∥EF,BC∥DE. ∠1与∠2的关系是：____________
证明：

（3）经过上述证明，我们可以得到一个真命题：如果_______________________，那么__________________________________.
（4）若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个角分别是多少度

第二章 平行线与相交线
【巩固基础训练】
题型发散
1.选择题，把正确答案的代号填入题中括号内．
（1）下列命题中，正确的是（ ）
（A）有公共顶点，且方向相反的两个角是对顶角
（B）有公共点，且又相等的角是对顶角
（C）两条直线相交所成的角是对顶角
（D）角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角
（2）下列命题中，是假命题的为（ ）
（A）邻补角的平分线互相垂直
（B）平行于同一直线的两条直线互相平行
（C）垂直于同一直线的两条直线互相垂直
（D）平行线的一组内错角的平分线互相平行
（3）如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角（ ）
（A）相等 （B）互补
（C）相等或互补 （D）以上结论都不对
（4）已知下列命题
①内错角相等；
②相等的角是对顶角；
③互补的两个角是一定是一个为锐角，另一个为钝角；
④同旁内角互补．
其中正确命题的个数为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
（5）两条直线被第三条直线所截，则（ ）
（A）同位角的邻补角一定相等
（B）内错角的对顶角一定相等
（C）同位角一定不相等
（D）两对同旁内角的和等于一个周角
（6）下列4个命题
①相等的角是对顶角；
②同位角相等；
③如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则两个角一定相等；
④两点之间的线段就是这两点间的距离
其中正确的命题有（ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
（7）下列条件能得二线互相垂直的个数有（ ）
①一条直线与平行线中的一条直线垂直；
②邻补角的两条平分线；
③平行线的同旁内角的平分线；
④同时垂直于第三条直线的两条直线．
（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个
（8）因为AB//CD，CD//EF，所以AB//EF，这个推理的根据是（ ）
（A）平行线的定义
（B）同时平行于第三条直线的两条直线互相平行
（C）等量代换
（D）同位角相等，两直线平行
（9）如图2-55．如果∠AFE+∠FED=，那么（ ）

（A）AC//DE （B）AB//FE
（C）ED⊥AB （D）EF⊥AC
（10）下列条件中，位置关系互相垂直的是（ ）
①对顶角的平分线；
②邻补角的平分线；
③平行线的同位角的平分线；
④平行线的内错角的平分线；
⑤平行线的同旁内角的平分线．
（A）①②　　 （B）③④ 　（C）①⑤ （D）②⑤
2.填空题．
（1）把命题“在同一平面内没有公共点的两条直线平行”写成“如果……，那么……”形式为______________________________________．
（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，_________最短．
（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的比为2:7，则这两个角的度数为______________.
（4）如果∠A为∠B的邻补角，那么∠A的平分线与∠B的平分线必__________________.
（5）如图2-56

①∵AB//CD（已知），
∴∠ABC=__________（ ）
____________=______________（两直线平行，内错角相等），
∴∠BCD+____________=（ ）
②∵∠3=∠4（已知），
∴____________∥____________（ ）
③∵∠FAD=∠FBC（已知），
∴_____________∥____________（ ）
（6）如图2-57，直线AB，CD，EF被直线GH所截，∠1=，∠2=，∠3=．求证：AB//CD．

证明：∵∠1=，∠3=（已知），
∴∠1=∠3（ ） ∴ ________∥_________（ ）
∵∠2=，∠3=（ ），
∴_____________+__________=______________,
∴_____________//______________,
∴AB//CD（ ）．
（7）如图2-58，①直线DE，AC被第三条直线BA所截，则∠1和∠2是________，如果∠1=∠2，则_____________//_____________,其理由是（ ）．

②∠3和∠4是直线__________、__________，被直线____________所截，因此____________//____________．∠3_________∠4,其理由是（ ）．
（8）如图2-59，已知AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，求证∠1+∠2=．

证明：∵ BE平分∠ABC（已知），
∴∠2=_________（ ）
同理∠1=_______________,
∴∠1+∠2=____________（ ）
又∵AB//CD（已知），
∴∠ABC+∠BCD=__________________（ ）
∴∠1+∠2=（ ）
（9）如图2-60，E、F、G分别是AB、AC、BC上一点．

①如果∠B=∠FGC，则__________//___________,其理由是（ ）
②∠BEG=∠EGF，则_____________//__________，其理由是（ ）
③如果∠AEG+∠EAF=，则__________//_________，其理由是（ ）
（10）如图2-61，已知AB//CD，AB//DE，求证：∠B+∠D=∠BCF+∠DCF．

证明： ∵AB//CF（已知），
∴∠______=∠________（两直线平行，内错角相等）．
∵AB//CF，AB//DE（已知），
∴CF//DE（ ）
∴∠_________=∠_________（ ）
∴∠B+∠D=∠BCF+∠DCF（等式性质）．
3．计算题，
（1）如图2-62，AB、AE是两条射线，∠2+∠3+∠4=∠1+∠2+∠5=，求∠1+∠2+∠3的度数．

（2）如图2-63，已知AB//CD，∠B=，EF平分∠BEC，EG⊥EF．求∠BEG和∠DEG的度数．

（3）如图2-64，已知DB//FG//EC，∠ABD=，∠ACE=，AP是∠BAC的平分线．求∠PAG的度数．

（4）如图2-65，已知CD是∠ACB的平分线，∠ACB=，∠B=，DE//BC，求∠EDC和∠BDC的度数．

纵横发散
1．如图2-66，已知∠C=∠D，DB//EC．AC与DF平行吗？试说明你的理由．

2．如图2-67，已知∠1=∠2，求∠3+∠4的度数．

解法发散
1．如图2-68，已知AB//CD，EF⊥AB，MN⊥CD．求证：EF//MN．（用两种方法说明理由）．

2．如图2-69，、、，是直线，∠1=∠２． a与b平行吗？简述你的理由．（用三种方法，简述你的理由）

变更命题发散
如图2-70，AB//CD，∠BAE=，∠ECD=，EF平分∠AEC，求∠AEF的度数．

如图2-71，已知AB//CD，∠BAE=，∠DCE=，EF、EG三等分∠AEC．
（1）求∠AEF的度数；
（2）EF//AB吗？为什么？

3．如图2-72，已知∠1=，∠2=80°，∠3=，那么∠4是多少度？

4．如图2-73，AB、CD、EF、MN构成的角中，已知∠1=∠2=∠3，问图中有平行线吗？如果有，把彼此平行的直线找出来，并说明其中平行的理由．

5．如图2-74，已知∠1+∠2=，∠3=．求∠4的度数？

6．如图2-75，已知//m，求∠x,∠y的度数．

7．如图2-76，直线分别和直线相交，∠1与∠3互余，∠2与∠3的余角互补，∠4=．求∠3的度数．

转化发散
1．如图2-77，已知∠AEF=∠B，∠FEC=∠GHB，GH垂直于AB，G为垂足，试问CE，能否垂直AB，为什么？

2．如图2-78，已知∠ADE=∠B，FG⊥AB，∠EDC=∠GFB，试问CD与AB垂直吗？简述你的理由．

分解发散
发散题 如图2-79，AB//CD， ∠1=∠2，∠3=∠4，求∠EMF的度数．

综合发散
1．证明：两条平行线被三条直线所截的一对同旁内角的角平分线互相垂直．
2．求证：两条直线被第三条直线所截，若一组内错角的角平分线互相平行，则这两条直线也相互平行．
3．在△ABC中，CD平分∠ACB，DE//AC交BC于E，EF//CD交AB于F，求证：EF平分∠DEB．
4．线段AB被分成2:3:4三部分，已知第一和第三两倍分的中点间的距离是5.4cm,求AB的长．
5．已知：如图2-80，AB//CD，AD⊥DB，求证∠1与∠A互余．

【提高能力测试】
题型发散
选择题，把正确答案的代号填入括号内．
（1）如图2-81，能与∠构成同旁内角的角有（ ）

（A）1个 （B）2个
（C）5个 （D）4个
（2）如果两个角的两条边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（ ）
（A） （B）都是
（C）或， （D）以上答案都不对
（3）如图2-82，AB//CD，MP//AB，MN平分 ∠AMD．∠A=40°，∠D=30°，则∠NMP等于（ ）

（A） （B） （C） （D）
（4）如图2-83，已知：∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC//DF，BC//EF．

证明： ∵∠1=∠2（已知），
（A）∴AC//DF（同位角相等，两直线平行）
∴∠3=∠5（内错角相等，两直线平行）
（B）∵∠3=∠4（已知）
（C）∴∠5=∠4（等量代换）
（D）∴BC//EF（内错角相等，两直线平行）
则理由填错的是（ ）
（5）如图2-84，已知AB//CD，HL//FG，EF⊥CD，∠1=，那么，∠EHL的度数为（ ）

（A） （B）
（C） （D）
（6）直线，D、A是上的任意两点，且A在D的右侧，E、B是上任意两点，且B在E的右侧，C是和之间的某一点，连结CA和CB，则（ ）
（A）∠ACB=∠DAC+∠CBE
（B）∠DAC+∠ACB+∠CBE=
（C）（A）和（B）的结论都不可能
（D）（A）和（B）的结论有都可能
（7）如图2-85，如果∠1=∠2，那么（ ）

（A）AB//CD（内错角相等，两直线平行）
（B）AD//BC（内错角相等，两直线平行）
（C）AB//CD（两直线平行，内错角相等）
（D）AD//BC（两直线平行，内错角相等）
（8）如图2-86，AB//EF，设∠C=，那么x、y和z的关系是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）
（9）如图2-87，∠1:∠2:∠3=2:3:4，EF//BC，DF//EB，则∠A:∠B:∠C=( )

（A）2:3:4 （B）3:2:4
（C）4:3:2 （D）4:2:3
（10）如图2-88，已知，AB//CD//EF，BC//AD，AC平分∠BAD，那么图中与∠AGE相等的角有（ ）

（A）5个 （B）4个 （C）3个 （D）2个
2．填空题．
（1）三条相交直线交于一点得6个角，每隔1个角的3个角的和是__________度．
（2）∠A和∠B互为邻补角，∠A:∠B=9:6，则∠A=__________,∠B=_________.
（3）如果∠1和∠2互补，∠2比∠1大，则∠1=___________,∠2__________.
（4）如图2-89，已知AB//CD，EF分别截AB、CD于G、H两点，GM平分∠AGE，HN平分∠CHG，求证：GM//HN．

证明：∵ _______//_______（ ） ，∴∠AGE=∠CHG（ ）．
又∵GM平分∠AGE（ ） ∴ ∠1=_________（ ）．
∵_______平分________（ ）， ∴ ∠2=__________（ ），
则GM//HN（ ）．
（5）如图2-90，已知，∠1=，∠2=，则∠3=_______,∠4=______.

（6）如图2-91，

①∵∠1=∠2，∠3=∠2， ∴∠1=∠3（ ）
②∵∠1=∠3， ∴∠1+∠2=∠3+∠2（ ），
即∠BOD=∠AOC，
③∵∠AOC=∠BOD
∴∠AOC－∠2=∠BOD－∠2（ ），
即∠3=∠1．
（7）如图2-92，已知，AB、AC、DE都是直线，∠2=∠3，求证：∠1=∠4．
证明：∵AB、AC、DE都是直线（ ），

∴∠1=∠2，∠3=∠4（ ）．
∵∠2=∠3（ ），
∠1=∠4（ ）．
（8）如图2-93，∠OBC=∠OCB，OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，求证：∠ABC=∠ACB．

证明：∵OB平分∠ABC（ ），
∴∠ABC=2∠OBC（ ）
∵OC平分∠ACB（ ）
∴∠ABC=2∠OCB（ ）
∵∠OBC=∠OCB（ ），
∴2∠OBC=2∠OCB（ ），
即∠ABC=∠ACB，
（9）如图2-94，AB⊥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，求证CD⊥BC，

证明：∵∠1=∠2，∠3=∠4（ ）
∴∠1+∠3=∠2+∠4（ ），
即∠ABC=∠BCD．
∵AB⊥BC（ ） ∴∠ABC=（ ）
∴∠BCD=（ ）， ∴CD⊥BC（ ）．
（10）如图2-95，∠1=∠3，AC平分∠DAB，求证：AB//CD．

证明：∵AC平分∠DAB（ ），
∴∠1=∠3（ ）．
∵∠1=∠2（ ），
∴∠3=∠2（ ），
∴AB//CD（ ）．
3．计算题
（1）如图2-96，已知，∠1=，∠2=，求∠x和∠y 的度数．

（2）如图2-97，已知∠AMF=∠BNG=，∠CMA=．求∠MPN的度数．

（3）如图2-98，已知∠B=，过∠ABC内一点P作PE//AB，PF//BC，PH⊥AB．求∠FPH的度数．

（4）如图2-99，已知AE//BD，∠1=3∠2，∠2=．求∠C．

（5）如图2-100，OB⊥OA，直线CD过O点，∠AOC=．求∠DOB的度数．

4．作图题．
已知∠，∠（∠>∠）,求作∠=．
解法发散
1．已知AB//CD，试问∠B+∠BED+∠D=．（用两种以上方法判断）
2．如图2-101，已知∠BED=∠ABE+∠CDE，那么AB//CD吗？为什么？（用四种方法判断）

变更命题发散
1．如图2-102，在折线ABCDEFG中，已知∠1=∠2=∠3=∠4=∠5，延长AB，GF交于点M．那么，∠AMG=∠3，为什么？

1．如图2-103，已知AB//CD，∠1=∠2．试问∠BEF=∠EFC吗？为什么？（提示：作辅助线BC）．

分解发散
如图2-104，AB//CD，在直线，AB和CD上分别任取一点E、F．

（1）如图2-104，已知有一定点P在AB、CD之间，试问∠EPF=∠AEP+CFP吗？为什么？
（2）如图2-105，如果AB、CD的外部有一定点P，试问
∠EPF=∠CFP－∠AEP吗？为什么？

（3）如图2-106，AB//CD，BEFGD是折线，那么∠B+∠F+∠D=∠E+∠G吗？简述你的理由．

转化发散
1．判断互为补角的两个角中，较小角的余角等于这两个互为补角的差的一半．
2．已知点C在线段AB的延长线上，AB=24cm，BC=AB，E是AC的中点，D是AB的中点，求DE的长．

迁移发散
平面上有10条直线，其中任何两条都不平行，而且任何三条都不经过同一点，这10条直线最多分平面为几个区域？

综合发散
1．线段AB=14cm，C是AB上的一点，BC=8cm，又D是AC上一点，AD:DC=1:2，E是CB的中点，求线段DE的长．
2．如图2-107，已知∠1=∠2=∠3，∠GFA=，∠ACB=，AQ平分∠FAC，求∠HAQ的度数．

3．如图2-108，已知∠1=∠2，∠C=∠D，试问∠A=∠F吗？为什么？

4．如图2-109，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠4=∠C，那么∠1=∠2．谈谈你的理由．

参考答案
【巩固基础训练】
题型发散
1．(1)(D) (2)(C) (3)(C) (4)(A) (5)(D) (6)(A) (7)(B) (8)(B) (9)(A) (10)(D)
2．(1)如果在同一平面内两条直线没有公共点，那么这两条直线平行．
(2)垂线段．
(3)40°、140°．
(4)垂直．
(5)①∠ABC=∠DCE，(两直线平行，同位角相等)，∠1=∠2，∠BCD+∠ABC(两直线平行，同旁内角互补)．
②AD∥BC，(内错角相等，两直线平行)．
③AD∥BC，(同位角相等，两直线平行)．
(6)(等量代换)，AB∥EF，(内错角相等，两直线平行)，(已知)，∠2+∠3=180°，CD∥EF(如两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)．
(7)①∠1和∠2是同位角．∠1=∠2，则DE∥AC(同位角相等，两直线平行)；
②直线DE、AC被直线BC所截，因此DE∥AC，∠3=∠4(两直线平行，同位角相等)．
(8)∴(角平分线定义) 同理．
∴ (等式性质)．
又∵AB∥CD(已知)，
∴∠ABC+∠BCD=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∴∠1+∠2=90°(等量代换)．
(9)①如果∠B=∠FGC，则AB∥FG，因为同位角相等，两直线平行．
②如果∠BEG=∠EGF，则AB∥FG，因为内错角相等，两直线平行．
③如果∠AEC+∠EAF=180°，则EG∥AC，因为同旁内角互补，两直线平行．
(10)∴∠B=∠BCF．
∴CF∥DE(如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)．
∴∠D=∠DCF(两直线平行，内错角相等)．
3．(1)AD、BC与AB相交，∠DAB与∠4是同旁内角，
∵∠2+∠3+∠4=∠DAB+∠4=180°．
∴AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．
同理，∵∠1+∠2+∠5+∠EAC+∠5=180°，∴AE∥BC．
∴AD、AE在同—条直线上．
(经过直线外一点，有—条而且只有一条直线和这条直线平行)
则AE、AD在A点处形成一个平角，
故∠1+∠2+∠3=180°．
(2)50°，50° (3)12° (4)25°，85°．
纵横发散
1．∵BD∥EC(已知)，
∴∠DBC+∠C=180°(两直线平行，同旁内角互补)．
又∵∠C=∠D(已知)，
∴∠DBC+∠D=180°(等量代换)．
故AC∥DF(同旁内角互补，两直线平行)．
2．∵∠1=∠2(已知)，
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)，
∴∠BMN+∠DNM=180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∴∠3+∠4=(180°-∠BMN)+(180°-∠DNM)=360°-180°=180°(等量代换)．
解法发散
1．(1)通过同位角相等，判断两直线平行．
(2)通过两条直线都和第三条直线垂直来判断这两条直线平行．
解法1 如图2-1′，∵EF⊥AB(已知)，

∴∠1=90°(垂直的定义)．
同理，∠3=90°，∴∠1=∠3．
又∵AB∥CD(已知)，
∴∠1=∠2(两条直线平行，同位角相等)，
∴∠2=∠3(等量代换)．
∴EF∥MN(同位角相等，两直线平行)．
解法2 ∵EF⊥AB(已知)，
∴∠1=90°(垂直的定义)．
又∵AB∥CD(已知)，
∴∠1=∠2=90°(两直线平行，同位角相等)，
∴EF⊥CD(垂直的定义)，又∵MN⊥CD(已知)，
∴EF∥MN(如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行)．
2．解法1
∵∠2=∠4，∠1=∠2．
∴∠1=∠4．
∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．
解法2
∵∠2=∠4，∠1=∠3(对顶角相等)．
又∵∠1=∠2，∴∠3=∠4．
∴a∥b(内错角相等，两直线平行)．
解法3 ∵∠1+∠5=180°(平角定义)，
∠1=∠2，∴∠2+∠5=180°，
又∵∠2=∠4(对顶角相等)，∴∠4+∠5=180°
∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行)．
变更命题发散
1．51°．
2．(1)30°；(2)平行，根据内错角相等，两直线平行．
3．85°．
4．因为∠1和∠4是对顶角，所以∠1=∠4，又因为∠1=∠2=∠3，所以∠4=∠2，∠4=∠3．
直线AB，CD被EF所截，∠2和∠4是同位角，且∠4=∠2，所以，AB∥CD．
同理，由∠4=∠3，可推知EF∥MN．
5．∵∠1=∠6，∠2=∠7(对顶角相等)，
又∵∠1+∠2=180°(已知)，
∴∠6+∠7=180°(等量代换)．
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)，
∴∠4=∠5(两直线平行，内错角相等)．
而∠3+∠5=180°(平角的定义)，
∠3=95°(已知)，∴∠5=85°(等式性质)，
故∠4=85°(等量代换)．
6．∠x=125°，∠y=72°．
7．由题意，∠1是∠3的余角，而∠2与∠3余角互补，故∠1+∠2=180°，于是，所以∠3=∠5=180°-∠4=180°-115°=65°．
转化发散
1．分析 把判断两条直线垂直问题转化为判断两条直线平行问题．理由如下：
∵∠AEF=∠B，∴EF∥BC，∴∠FEC=∠1．
又∵∠FEC=∠GHB，∴∠GHB=∠1，∴GH∥CE．
∵GH⊥AB，∴CE⊥AB．
2．分析 本题将证明两条直线垂直的问题转化为证明两条直线平行的问题．理由如下：
∵∠ADE=∠B（已知），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠BCD=∠EDC（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠EDC=∠GFB（已知），
∴∠BCD=∠GFB（等量代换），
∴FG∥CD（同位角相等，两直线平行）．
又∵FG⊥AB（已知），
故CD⊥AB（如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么，这条直线也和另一条垂直）．
分解发散
如图2-2′，过M作MN∥AB（过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线），

∵AB∥CD（已知），
∴MN∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）．
∴∠2=∠EMN（两直线平行，内错角相等）．
∠4=∠NMF而∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠EMF=90°．
综合发散
1．已知：如图2-3′，AB∥CD，∠BMN与∠MND是一对同旁内角，MG，NG分别是两个角的角平分线．求证：MG⊥NG．

证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠BMN+∠MND=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵MG、NG为角平分线（已知），
∴（角平分线定义），
∴，
∴∠MGN=90°．
∴MG⊥NG．
2．已知∠1=∠2，∠3=∠4，EM∥FN，求证：AB∥CD．
如图2-4′，∵ME∥FN，∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）．

又∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1=∠4，
∴∠1+∠2=∠3+∠4．
即∠AEF=∠DFE．故AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
3．．
4．8.1cm．
5．解∵AB∥CD（已知），
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等），
∠A+∠ADC=180°（两直线平行，同旁内角互补），
即∠A+∠ADB+∠2=180°．
∵AD⊥DB（已知），
∴∠ADB=90°（垂直的定义），
∴∠A+∠2=90°（等量减等量，差相等），
∴∠A+∠1=90°（等量代换），
∴∠1与∠A互余（互余的定义）．
【提高能力测试】
题型发散
1．（1）（C） （2）（D） （3）（C） （4）（A） （5）（C）
（6）（A） （7）（A） （8）（C） （9）（B） （10）（A）
2．（1）180．
（2）108°，72°．
（3）85°，95°．
（4）AB∥CD（已知），两直线平行，同位角相等（已知）．（角平分线定义）HN平分∠CHE（已知），（角平分线定义）；∠1=∠2（等量代换），同位角相等，两直线平行．
（5）∠3=95°，∠4=85°．
（6）①（等量代换）．②（等量之和相等）．③（等量之差相等）
（7）（已知），（对顶角相等），（已知），（等量代换）．
（8）（已知），（角平分线定义）．（已知），（角平分线定义）．（已知），（等量的同倍量相等）．
（9）（已知），（等量之和相等）．（已知），（垂线定义）．（等量代换），（垂线定义）．
（10）（已知）（角平分线定义）．（已知），（等量代换）．（内错角相等，两直线平行）．
3．（1）80°，100°．
（2）50°．
（3）30°．
（4）28°．
（5）∵OB⊥OA（已知），∴∠AOB=90°（垂直的定义）．
又∵∠AOC=20°（已知），
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-20°=70°（等式性质）．
又∵DOC是一直线（已知），
∴∠DOB+∠BOC=180°（平角的定义），
∴∠DOB=110°（等式性质）．
4．略．
解法发散
1．解法1 如图2-5′，从E点作EF∥AB．

∴∠B+∠BEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵AB∥CD（已知），
∴EF∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠FED+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠B+∠BEF+∠FED+∠D=360°，
即∠B+∠BED+∠D=360°．
解法2 如图2-6′，从E点作EF∥AB，

则∠1=∠B（两直线平行，内错角相等）．
又∵AB∥CD（已知），
∴EF∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠2=∠D（两直线平行，内错角相等）．
∵∠1+∠BED+∠2=360°（周角的定义），
∴∠B+∠BED+∠D=360°（等量代换）．
2．分析 关键是找到“第三条直线”把原两条直线AB，CD联系起来．
解法1 如图2-7′，延长BE交CD于F．有∠BED=∠3+∠2，

∵∠BED=∠1+∠2，∴∠1+∠2=∠3+∠2．
即∠1=∠3，从而AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
解法2 如图2-8′，过E点作EF，使∠FED=∠CDE，则EF∥CD．

又∵∠BED=∠ABE+∠CDE，∴∠FEB=∠ABE．因而EF∥AB．
∴AB∥CD（AB，CD都平行于EF）．
解法3、解法4可依据图2-9′、图2-10′，读者可自行判断．

变更命题发散
1．判断理由如下：
∵∠1=∠2（已知），
∴AM∥CD（内错角相等，两直线平行）．
同理，∵∠4=∠5，∴GM∥DE，
∵∠AMG=∠3（如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补）．
2．判断理由如下：
连结BC．
∵AB∥CD（已知），
∴∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠1=∠2，
∴∠EBC=∠FCB（等量之差相等），
∴EB∥CF（内错角相等，两直线平行），
∴∠BEF=∠EFC（两直线平行，内错角相等）．
分解发散
（1）提示：过P作PQ∥AB，把∠EPF分割成两部分∠EPQ、∠QPF，利用平行线内错角相等判断．
（2）提示：先求∠CFP的等角∠1，过Q点作QG∥PE，把∠1分割成两部分，再利用平行线内错相等证明．
∠EPF=∠1-∠AEP，又∵∠1=∠CFP，
最后证得结论：∠EPF=∠CFP-∠AEP．
（3）提示：过E、F、G作AB的平行线．
转化发散
1．提示：考虑互补的两角有一条边互为反向延长线MN，过角的顶点作MN的垂线，只须证互补两角中的大角减小角的差等于小角的余角的2倍．
2．如图2-11′，∵，

∴．
又∵E是线段AC的中点，
∴．
同理，
故DE=AE-AD=