高中数学选修2-3全套测试题组含答案.doc

(数学选修2--3) 第一章 计数原理
[基础训练A组]
一、选择题
1．将个不同的小球放入个盒子中，则不同放法种数有（ ）
A． B． C． D．
2．从台甲型和台乙型电视机中任意取出台，其中至少有甲型与乙型电视机
各台，则不同的取法共有（ ）
A．种 B.种 C.种 D.种
3．个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（ ）
A． B． C． D．
4．共个人，从中选1名组长1名副组长，但不能当副组长，
不同的选法总数是（ ）
A. B． C． D．
5．现有男、女学生共人，从男生中选人，从女生中选人分别参加数学、
物理、化学三科竞赛，共有种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ）
A．男生人，女生人 B．男生人，女生人
C．男生人，女生人 D．男生人，女生人.
6．在的展开式中的常数项是（ ）
A. B． C． D．
7．的展开式中的项的系数是（ ）
A. B． C． D．
8．展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是（ ）
A． B． C． D．

二、填空题
1．从甲、乙，……，等人中选出名代表，那么（1）甲一定当选，共有种选法．（2）甲一定不入选，共有种选法.（3）甲、乙二人至少有一人当选，共有种选法.
2．名男生，名女生排成一排，女生不排两端，则有种不同排法.
3．由这六个数字组成_____个没有重复数字的六位奇数.
4．在的展开式中，的系数是.
5．在展开式中，如果第项和第项的二项式系数相等，
则，.
6．在的九个数字里，任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数，这样的四位数有_________________个？
7．用四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为,则.
8．从中任取三个数字，从中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，共有________________个？
三、解答题
1．判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果.
（1）高三年级学生会有人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？

（2）高二年级数学课外小组人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？

（3）有八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？

2．个排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？
（1）甲排头，

（2）甲不排头，也不排尾，

（3）甲、乙、丙三人必须在一起，
（4）甲、乙之间有且只有两人，

（5）甲、乙、丙三人两两不相邻，

（6）甲在乙的左边（不一定相邻），

（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序，

（8）甲不排头，乙不排当中。

3．解方程

4．已知展开式中的二项式系数的和比展开式的二项式系数的和大,求展开式中的系数最大的项和系数量小的项.

5．（1）在的展开式中，若第项与第项系数相等，且等于多少？

（2）的展开式奇数项的二项式系数之和为，
则求展开式中二项式系数最大项。

6．已知其中是常数,计算

(数学选修2--3) 第一章 计数原理
[综合训练B组]
一、选择题
1．由数字、、、、组成没有重复数字的五位数，
其中小于的偶数共有（ ）
A．个 B．个
C．个 D． 个
2．张不同的电影票全部分给个人,每人至多一张,则有
不同分法的种数是( )
A． B．
C． D．
3．且,则乘积等于
A． B．
C． D．
4．从字母中选出4个数字排成一列，其中一定要选出和，
并且必须相邻（在的前面），共有排列方法（ ）种.
A. B．
C． D．
5．从不同号码的双鞋中任取只，其中恰好有双的取法种数为（ ）
A． B．
C． D．
6．把把二项式定理展开，展开式的第项的系数是（ ）
A． B．
C． D．
7．的展开式中，的系数是，
则的系数是（ ）
A. B．
C． D．
8．在的展开中，的系数是（ ）
A. B．
C． D．
二、填空题
1．个人参加某项资格考试，能否通过，有种可能的结果？
2．以这几个数中任取个数，使它们的和为奇数，则共有种不同取法.
3．已知集合,,从集合,中各取一个元素作为点的坐标,可作出不同的点共有_____个.
4．且若则______.
5．展开式中的常数项有
6．在件产品中有件是次品，从中任意抽了件，至少有件是次品的抽法共有______________种（用数字作答）.
7．的展开式中的的系数是___________
8．，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的子集个数为_____.
三、解答题
1．集合中有个元素，集合中有个元素，集合中有个元素，集合满足
（1）有个元素； （2）
（3）， 求这样的集合的集合个数.

2．计算：（1）；

（2）.

（3）

3．证明：.

4．求展开式中的常数项。

5．从中任选三个不同元素作为二次函数的系数,问能组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?

6．张椅子排成,有个人就座,每人个座位,恰有个连续空位的坐法共有多少种?

(数学选修2--3) 第一章 计数原理
[提高训练C组]
一、选择题
1．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．某班有名男生，名女生，现要从中选出人组成一个宣传小组，
其中男、女学生均不少于人的选法为（ ）
A． B．
C． D．
3．本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，不同的分法种数是（ ）
A． B． C． D．
4．设含有个元素的集合的全部子集数为，其中由个元素
组成的子集数为，则的值为（ ）
A. B．
C． D．
5．若，
则的值为（ ）
A. B．
C． D．
6．在的展开式中，若第七项系数最大，则的值可能等于（ ）
A. B．
C． D．
7．不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（ ）
A．个 B．个
C．个 D．个
8．由十个数码和一个虚数单位可以组成虚数的个数为（ ）
A. B．
C． D．
二、填空题
1．将数字填入标号为的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有种？
2．在△的边上有个点，边上有个点，加上点共个点，以这个点为顶点的三角形有个.
3．从,这七个数字中任取三个不同数字作为二次函数的系数则可组成不同的函数_______个,其中以轴作为该函数的图像的对称轴的函数有______个.
4．若的展开式中的系数为，则常数的值为.
5．若则自然数_____.
6．若,则.
7．的近似值（精确到）是多少？
8．已知,那么等于多少?
三、解答题
1．个人坐在一排个座位上,问(1)空位不相邻的坐法有多少种?(2)个空位只有个相邻的坐法有多少种?(3)个空位至多有个相邻的坐法有多少种?

2．有个球,其中个黑球,红、白、蓝球各个，现从中取出个球排成一列，共有多少种不同的排法？

3．求展开式中按的降幂排列的前两项.

4．用二次项定理证明能被整除.

5．求证：.

6．(1)若的展开式中，的系数是的系数的倍，求；

(2)已知的展开式中,的系数是的系数与的系数的等差中项,求;

(3)已知的展开式中,二项式系数最大的项的值等于,求.

离散型随机变量解答题精选（选修2--3）
1． 人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：
（1）第次拨号才接通电话；　　
（2）拨号不超过次而接通电话.
解：设{第次拨号接通电话}，
（1）第次才接通电话可表示为于是所求概率为
（2）拨号不超过次而接通电话可表示为：于是所求概率为

2． 出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是
（1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；
（2）求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差。
解：（1）因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，
所以
（2）易知∴

3． 奖器有个小球，其中个小球上标有数字，个小球上标有数字，现摇出个小球，规定所得奖金（元）为这个小球上记号之和，求此次摇奖获得奖金数额的数学期望
解：设此次摇奖的奖金数额为元，
当摇出的个小球均标有数字时，；
当摇出的个小球中有个标有数字，1个标有数字时，；
当摇出的个小球有个标有数字，个标有数字时，。
所以，

答：此次摇奖获得奖金数额的数字期望是元
4．某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为，
数学为，英语为，问一次考试中
　　（Ⅰ）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
（Ⅱ）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少
解：分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为，
则
（Ⅰ）

答：三科成绩均未获得第一名的概率是
（Ⅱ）（）

答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是
5．如图，两点之间有条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为.现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量.

（I）设选取的三条网线由到可通过的信息总量为，当时，则保证信息畅通.求线路信息畅通的概率；
（II）求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.

解：（I）

（II）
∴线路通过信息量的数学期望

答：（I）线路信息畅通的概率是. （II）线路通过信息量的数学期望是
6．三个元件正常工作的概率分别为将它们中某两个元件并联后再和第三元件串联接入电路.
（Ⅰ）在如图的电路中，电路不发生故障的概率是多少？

（Ⅱ）三个元件连成怎样的电路，才能使电路中不发生故障的概率最大？请画出此时电路图，并说明理由.

解：记“三个元件正常工作”分别为事件，则

（Ⅰ）不发生故障的事件为.
∴不发生故障的概率为

（Ⅱ）如图，此时不发生故障的概率最大.证明如下：
图1中发生故障事件为
∴不发生故障概率为

图2不发生故障事件为，同理不发生故障概率为
7．要制造一种机器零件，甲机床废品率为，而乙机床废品率为，而它们
的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求：
（1）其中至少有一件废品的概率；（2）其中至多有一件废品的概率.
解：设事件“从甲机床抽得的一件是废品”；“从乙机床抽得的一件是废品”.
则
（1）至少有一件废品的概率

（2）至多有一件废品的概率

8．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为，被甲或乙解出的概率为，（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数的数学期望和方差
解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为.
设甲独立解出此题的概率为，乙为.
则

9．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件发生，该公司要赔偿元．设在一年内发生的概率为，为使公司收益的期望值等于的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金？
解：设保险公司要求顾客交元保险金，若以表示公司每年的收益额，则是一个随机变量，其分布列为：

因此，公司每年收益的期望值为．为使公司收益的期望值等于的百分之十，只需，即，故可得．即顾客交的保险金为时，可使公司期望获益．
10．有一批食品出厂前要进行五项指标检验，如果有两项指标不合格，则这批食品不能出厂．已知每项指标抽检是相互独立的，且每项抽检出现不合格的概率都是．
（1）求这批产品不能出厂的概率(保留三位有效数字)；
(2)求直至五项指标全部验完毕，才能确定该批食品是否出厂的概率(保留三位有效数字)．
解：(1)这批食品不能出厂的概率是： ． (2)五项指标全部检验完毕，这批食品可以出厂的概率是：
五项指标全部检验完毕，这批食品不能出厂的概率是：
　　由互斥事件有一个发生的概率加法可知，五项指标全部检验完毕，才能确定这批产品是否出厂的概率是：．
11．高三（1）班、高三（2）班每班已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛. 比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛； ②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，不得参加两盘单打比赛. 已知每盘比赛双方胜出的概率均为
（Ⅰ）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？
（Ⅱ）高三（1）班代表队连胜两盘的概率是多少？
解：（I）参加单打的队员有种方法.
参加双打的队员有种方法.
所以，高三（1）班出场阵容共有（种）
（II）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两盘胜，
所以，连胜两盘的概率为
12．袋中有大小相同的个白球和个黑球，从中任意摸出个，求下列事件发生的概率.
(1)摸出个或个白球 (2)至少摸出一个黑球.
解： （Ⅰ）设摸出的个球中有个白球、个白球分别为事件，则

∵为两个互斥事件 ∴
即摸出的个球中有个或个白球的概率为
（Ⅱ）设摸出的个球中全是白球为事件，则
至少摸出一个黑球为事件的对立事件
其概率为
练习：
1． 抛掷颗骰子，所得点数之和记为，那么表示的随机试验结果为____________。
2． 设某项试验的成功概率是失败概率的倍，用随机变量描述次试验的成功次数，
则_______________。
3．若的分布列为：
x
0
1
P
p
q
其中，则____________________，____________________，

新课程高中数学训练题组参考答案（咨询）
数学选修2-3 第一章 计数原理[基础训练A组]
一、选择题
1．B 每个小球都有种可能的放法，即
2．C 分两类：（1）甲型台，乙型台：；（2）甲型台，乙型台：

3．C 不考虑限制条件有，若甲，乙两人都站中间有，为所求
4．B 不考虑限制条件有，若偏偏要当副组长有，为所求
5．B 设男学生有人，则女学生有人，则
即
6．A
令
7．B

8．A 只有第六项二项式系数最大，则，
，令
二、填空题
1．（1）；（2） ；（3）
2． 先排女生有，再排男生有，共有
3．既不能排首位，也不能排在末尾，即有，其余的有，共有
4．，令
5．
6． 先排首末，从五个奇数中任取两个来排列有，其余的，共有
7． 当时，有个四位数，每个四位数的数字之和为
；当时，不能被整除，即无解
8． 不考虑的特殊情况，有若在首位，则

三、解答题
1．解：（1）①是排列问题，共通了封信；②是组合问题，共握手次。
（2）①是排列问题，共有种选法；②是组合问题，共有种选法。
（3）①是排列问题，共有个商；②是组合问题，共有个积。
2．解：（1）甲固定不动，其余有，即共有种；
（2）甲有中间个位置供选择，有，其余有，即共有种；
（3）先排甲、乙、丙三人，有，再把该三人当成一个整体，再加上另四人，相当于人的全排列，即，则共有种；
（4）从甲、乙之外的人中选个人排甲、乙之间，有，甲、乙可以交换有，
把该四人当成一个整体，再加上另三人，相当于人的全排列，
则共有种；
（5）先排甲、乙、丙之外的四人，有，四人形成五个空位，甲、乙、丙三人排
这五个空位，有，则共有种；
（6）不考虑限制条件有，甲在乙的左边（不一定相邻），占总数的一半，
即种；
（7）先在个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有，留下三个空位，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱排的，即
（8）不考虑限制条件有，而甲排头有，乙排当中有，这样重复了甲排头，乙排当中一次，即
3．解：

得

4．解：，的通项
当时，展开式中的系数最大，即为展开式中的系数最大的项；
当时，展开式中的系数最小，即为展开式中
的系数最小的项。
5．解：（1）由已知得
（2）由已知得，而展开式中二项式
系数最大项是。
6．解：设，令，得
令，得

新课程高中数学训练题组参考答案（咨询）
数学选修2-3 第一章 计数原理[综合训练B组]
一、选择题
1．C 个位，万位，其余，共计
2．D 相当于个元素排个位置，
3．B 从到共计有个正整数，即
4．A 从中选个，有，把看成一个整体，则个元素全排列，
共计
5．A 先从双鞋中任取双，有，再从只鞋中任取只，即，但需要排除
种成双的情况，即，则共计
6．D ，系数为
7．A ，令
则，再令
8．D
二、填空题
1． 每个人都有通过或不通过种可能，共计有
2． 四个整数和为奇数分两类：一奇三偶或三奇一偶，即
3．，其中重复了一次
4．
5．的通项为其中的通项为
，所以通项为，令
得，当时，，得常数为；当时，，得常数为；
当时，，得常数为；
6．件次品，或件次品，
7． 原式，中含有的项是
，所以展开式中的的系数是
8． 直接法：分三类，在个偶数中分别选个，个，个偶数，其余选奇数，
；间接法：
三、解答题
1．解：中有元素
。
2．解：（1）原式。
（2）原式。
另一方法：

（3）原式
3．证明：左边
右边
所以等式成立。
4．解：，在中，的系数
就是展开式中的常数项。
另一方法：，
5．解：抛物线经过原点，得，
当顶点在第一象限时，，则有种；
当顶点在第三象限时，，则有种；
共计有种。
6．解：把个人先排，有，且形成了个缝隙位置，再把连续的个空位和个空位
当成两个不同的元素去排个缝隙位置，有，所以共计有种。
新课程高中数学训练题组参考答案（咨询）
数学选修2-3 第一章 计数原理[提高训练C组]
一、选择题
1．B
2．D 男生人，女生人，有；男生人，女生人，有
共计
3．A 甲得本有，乙从余下的本中取本有，余下的，共计
4．B 含有个元素的集合的全部子集数为，由个元素组成的子集数
为，
5．A

6．D 分三种情况：（1）若仅系数最大，则共有项，；（2）若与系数相等且最大，则共有项，；（3）若与系数相等且最大，则共有项，，所以的值可能等于
7．D 四个点分两类：（1）三个与一个，有；（2）平均分二个与二个，有
共计有
8．D 复数为虚数，则有种可能，有种可能，共计种可能
二、填空题
1． 分三类：第一格填，则第二格有，第三、四格自动对号入座，不能自由排列；
第一格填，则第三格有，第一、四格自动对号入座，不能自由排列；
第一格填，则第撕格有，第二、三格自动对号入座，不能自由排列；
共计有
2．
3．，；
4．，令

5．

6．
而，得
7．

8． 设，令，得
令，得，
三、解答题
1．解：个人排有种,人排好后包括两端共有个“间隔”可以插入空位.
(1)空位不相邻相当于将个空位安插在上述个“间隔”中,有种插法，
故空位不相邻的坐法有种。
(2)将相邻的个空位当作一个元素,另一空位当作另一个元素,往个“间隔”里插
有种插法,故个空位中只有个相邻的坐法有种。
(3)个空位至少有个相邻的情况有三类：
①个空位各不相邻有种坐法;
②个空位个相邻，另有个不相邻有种坐法;
③个空位分两组,每组都有个相邻,有种坐法.
综合上述,应有种坐法。
2．解：分三类：若取个黑球，和另三个球，排个位置，有；
若取个黑球，从另三个球中选个排个位置，个黑球是相同的，
自动进入，不需要排列，即有；
若取个黑球，从另三个球中选个排个位置，个黑球是相同的，
自动进入，不需要排列，即有；
所以有种。
3．解：

4．解：

，
5．证明：

6．解：（1）；
（2）
得；
（3）
得，或
所以。