人教版高二数学选修2-1试卷四套(答案)圆锥曲线方程--空间向量与立体几何.doc

1 高二年级选修2-1理科数学试卷
一、选择题（每小题4 分，共8小题，满分32分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列命题中，真命题的是 （ ）
A．命题“若，则”
B．命题“若，则”的逆命题
C．命题“若，则”的否命题
D．命题“相似三角形的对应角相等”的逆否命题
2. 抛物线的焦点坐标是 （ ）
A．（ , 0） B．（0, ） C． (－, 0) D．（0, －）
3. 设，则是 的 （ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4. 已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），
则BC边上的中线长为 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5. 如图：在平行六面体中，为与的交点。若，，则下列向量中
与相等的向量是 （ ）

A． B．
C． D．
6. 已知△ABC的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A的轨迹方程是 （ ）
A．（x≠0） B．（x≠0）
C．（x≠0） D．（x≠0）
7. 对于抛物线，我们称满足的点,在抛物线内部．若点在抛物线内部,则直线与抛物线 （ ）
A．恰有一个公共点 B．恰有两个公共点
C．可能有一个公共点,也可能有两个公共点 D．没有公共点
8. 双曲线左右焦点为, 若右支上存在点P满足，则双曲线的离心率的最大值为 （ ）
A． B． C． D．4
二、填空题（每小题4分，共6小题，满分24分）
9. 两个焦点坐标分别是，离心率为的双曲线方程是___________.
10. 已知A（1，－2，11）、B（4，2，3）、C（x，y，15）三点共线，则x y =___________.
D
C
B
A
D1
C1
B1
A1
11. 如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是
____ ____ ___.
12．已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，
∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60º，则||=　 　.
13. 已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率为 ___________.
14.下列四个命题中
①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；
②是的充要条件；
③垂直于同一平面的所有向量一定共面；
④对空间任意一点,若满足，则四点一定共面．
其中真命题的为 （将你认为是真命题的序号都填上）
三、解答题（共5小题，满分44分）
15.设：方程有两个不等的负根，：方程无实根，
若p或q为真，p且q为假，求的取值范围．

16.（本题满分8分）
已知椭圆C的两焦点分别为，长轴长为6，
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点,求线段AB的长度.

17.如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=.
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角P—CD—B余弦值的大小；
（3）求点C到平面PBD的距离.

18.已知直线与抛物线相交于,两点，为坐标原点．
（1）当时，证明：；
（2）若，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

19.已知椭圆C经过点A（1，），且两个焦点分别为（－1，0），（1，0）．
（1） 求椭圆C的方程；
（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．

1 高二年级选修2-1理科数学试卷
一、选择题： DAABA CDB
二、填空题：9、 10、 2 11、
12、 13、 14、① ③ ④
三、解答题：
15、解：若方程有两个不等的负根，则，………2分
所以，即． …………………………………………3分
若方程无实根，则，………4分
即， 所以． …………………………………5分
因为为真，则至少一个为真，又为假，则至少一个为假．
所以一真一假，即“真假”或“假真”．……………6分
所以或 …………………………………7分
所以或．
故实数的取值范围为． ……………………………8分
16、解：⑴由，长轴长为6
得：所以 ∴椭圆方程为 　　
⑵设,由⑴可知椭圆方程为①,
∵直线AB的方程为②
把②代入①得化简并整理得
∴ 又
17、解：方法一：
证：⑴在Rt△BAD中，AD=2，BD=， ∴AB=2，ABCD为正方形，因此BD⊥AC.
∵PA⊥平面ABCD，BDÌ平面ABCD，∴BD⊥PA .
又∵PA∩AC=A ∴BD⊥平面PAC.
（2） 由PA⊥面ABCD，知AD为PD在平面ABCD的射影，
（3） 又CD⊥AD， ∴CD⊥PD，
知∠PDA为二面角P—CD—B的平面角. 又∵PA=AD， ∴∠PDA=450 .
（3）∵PA=AB=AD=2，∴PB=PD=BD= ，设C到面PBD的距离为d，
y
z
D
P
A
B
C
x
由，有，
即，得
方法二：证：（1）建立如图所示的直角坐标系，
则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.………………2分
在Rt△BAD中，AD=2，BD=，
∴AB=2.∴B（2，0，0）、C（2，2，0），
∴ B
∵，
即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC. …………4分
（2）由（1）得.
设平面PCD的法向量为，则，
即，∴ 故平面PCD的法向量可取为
∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量. ………………………6分
设二面角P—CD—B的大小为q，依题意可得 ……………7分
所以，二面角P—CD—B的大小为 450 ． ……………8分
（3）由（Ⅰ）得，
设平面PBD的法向量为，
则，即，
∴x=y=z，故可取为. ……………10分
∵，∴C到面PBD的距离为 …………………12分
18.解：（1）当时，由得，
解得 ，…………………………2分
因此 ．
于是 ，………………………4分
即．所以 ．
（2）假设存在实数满足题意，由于两点在抛物线上，故
因此． …………………………5分
所以．…………………………6分
由，即，得．…………………………7分
又当时，经验证直线与抛物线有两个交点，
所以存在实数，使得．…………………………8分
19.解：（Ⅰ）由题意，c＝1,可设椭圆方程为。
因为A在椭圆上，所以，解得＝3，＝（舍去）。
所以椭圆方程为．————————3分 　　　　　　　　　　　　　　　　
（Ⅱ）设直线AE方程：得，代入得

设E（，），F（，）．因为点A（1，）在椭圆上，所以
，
。　　　　　　　　　　————————6分
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以代，可得
，————————7分
。
所以直线EF的斜率———————8分
即直线EF的斜率为定值，其值为.

2 高中数学选修2-1圆锥曲线与方程单元测试
一、选择题
1、抛物线顶点是坐标原点，焦点是椭圆的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离是（ ）
（A） (B) (C) (D)
2、直线 与椭圆恒有公共点，则的取值范围是（ ）
（A）[1，5)∪（5，+∞） （B）（0，5）
(C) (D) （1，5）
3、已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
4、 若双曲线的一条准线与抛物线y2=8x的准线重合，则双曲线的离心率为（ ）
(A) (B) （C） 4 (D) 4
5、过定点P(0,2)作直线l，使l与曲线y2=4(x-1)有且仅有1个公共点，这样的直线l共有（ ）
(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条
6. 已知F1、F2为双曲线=1(a＞0,b＞0）的焦点，过F2作垂直于x轴的直线，它与双曲线的一个交点为P，且∠PF1F2=30°，则双曲线的渐近线方程为（ ）
(A) y=±x (B) y=±x
(C) y=±x (D) y=±x
7、已知A、B、C三点在曲线的面积最大时，m的值为（ ）
(A) (B) (C) (D)
8、在椭圆为直角三角形，则这样的点P有（ ）
(A) 2个 (B) 4个 (C)6个 ( D) 8个
9、已知双曲线的离心率互为倒数，那么以为边长的三角形是（ ）
(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)锐或钝角三角形
10、设点P为双曲线右支上除顶点外的任意一点，为其两焦点，则在（ ）
(A)直线 上 (B)直线 上
(C) 直线 上 (D)直线 上
二．填空题
11、已知椭圆____________
12、双曲线________.
13．对任意实数K，直线：与椭圆： 恰有一个公共点，则b取值范围是_____________
14、设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi（i=1、2、3、…），，，，…组成公差为d的等差数列，则实数d的取值范围是 .
三、解答题
15、已知椭圆C的焦点分别为F1(-2,0)和F2(2,0)，长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。
16、如图，线段AB过x轴正半轴上一定点M(m,0)，端点A、B到x轴的距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，求该抛物线的方程。

17、．直线：与双曲线C：的右支交于不同的两点A、B。
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出的值。若不存在，说明理由。

18、如图，P为双曲线（a、b为正常数）上任一点，过P点作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A、B两点．若．
（1）求证：A、B两点的横坐标之积为常数；
（2）求△AOB的面积（其中O为原点）．

19、设、y∈R，i、j为直角坐标平面内、轴正方向上的单位向量，向量a＝xi＋(y＋2)j，b＝xi＋(y－2)j ，且| a |＋| b |＝8．
(1)求点M (x，y)的轨迹C的方程；
(2)过点(0，3)作直线与曲线C交于A、B两点，设，是否存在这样的直线，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由．

20、在△ABC中，A点的坐标为（0，3），BC边的长为2，且BC在x轴上的区间［－3，3］上滑动.
（1）求△ABC的外心P的轨迹方程；
（2）设直线l：y=x+b与P的轨迹交于E、F点，原点O到直线l的距离为d，求的最大值，并求此时b的值.

2 参考答案
一、选择题 BADAC DCDBA
二、填空题11. 12. 4 13. b＝１或３ 14.
三、解答题
15. .解 设椭圆C的方程为+=1，
由题意知a=3,c=2，于是b=1。
∴椭圆C的方程为。
由 得10x2+36x+27=0
因为该二次方程的判别式△>0，所以直线与椭圆有两个不同交点。
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则x1+x2= -,
故线段AB的中点坐标为(-,)。
16. 解 设所求抛物线方程为 y2=2px(p>0)。 ①
若AB不垂直于x轴，设直线AB的方程为：y=k(x-m)(k≠0)， ②
由①，②消去x，得y2-y-2pm=0 ③
设A、B的坐标分别为A(,a),B(,b)。
则a,b是方程③的两个根。
∴ab= -2pm，
又|a|·|b|=2m，即ab=-2m，
∴由-2pm= -2m(m>0)得p=1,
则所求抛物线方程为y2=2x。
若AB垂直于x轴，直线AB的方程为x=m,A、B两点关于x轴对称，
故=2pm,2m=2pm,
又m≠0，∴p=1，
则所求抛物线方程为y2=2x。
综上，所求抛物线方程为y2=2x。
17. 解：（Ⅰ）将直线的方程代入双曲线C的方程后，整理得
。…………①
依题意，直线与双曲线C的右支交于不同两点，则
解得的取值范围为。
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为、，则由①得
②
假设存在实数，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0），则由FA⊥FB得
。
既。
整理得。…… ③
把②式及代入③式化简得。
解得或（舍去）。
可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点。
18. 解：（1）设A（，）、B（，）、P（，）．
因为，所以，．又，．
所以．从而．
又因为P点在双曲线上．所以，
为常数．
（2）又∠，则，

19. 解：（1）∵a＝xi＋(y＋2)j，b＝xi＋(y－2)j ，且| a |＋| b |＝8
∴点M(x，y)到两个定点F1(0，－2)，F2(0，2)的距离之和为8
∴轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆，方程为
（2）过轴上的点(0，3)，若直线是轴，则A、B两点是椭圆的顶点
∴0，∴P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾．
∴直线的斜率存在，设方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B (x2，y2)
由 得：
此时，恒成立，
且
∵，∴四边形OAPB是平行四边
　若存在直线，使得四边形OAPB是矩形，则OA⊥OB，即0
∴
即　Þ　
解得：
∴存在直线l：，使得四边形OAPB是矩形．
20. 解：（1）设B，C的坐标分别为B(t,0),C(t－2,0)(－1≤t≤3),
则线段BC的中垂线方程为x=t－1, ①
AB中点（,）,AB斜率为 (t≠0),
所以线段AB的中垂线方程为y－=(x－) ②
由①②得：x2=6y－8(－2≤x≤2且x≠－1) ③
当x=－1时，t=0时，三角形外心P为(－1,),适合③；
所以P点的轨迹为x2=6y－8(－2≤x≤2)
（2）由得x2－2x－6b+8=0(－2≤x≤2) ④
x1x2=8－6b,x1+x2=2
所以｜EF｜==
又因为d=,所以
==
因方程④有两个不相同的实数根，设f(x)=x2－2x－6b+8
,∴＜b≤,≤＜.
当=时，()max=.
所以的最大值是,此时b=.

3 选修2-1第三章《空间向量与立体几何》基础训练题
一、选择题
1 下列各组向量中不平行的是（ ）
A B
C D
2 已知点，则点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A B C D
3 若向量，且与的夹角余弦为，则等于（ ）
A B C 或 D 或
4 若A，B，C，则△ABC的形状是（ ）
A 不等边锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 等边三角形
5 若A，B，当取最小值时，的值等于（ ）
A B C D
6 空间四边形中，，，则<>的值是（ ）
A B C － D
7. 设a,b,c表示三条直线，表示两个平面，下列命题中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8 已知正方体的棱长是，则直线与间的距离为
A B C － D

9 若，，是平面内的三点，设平面的法向量，则________________
A B 1:1:1 C － :1:1 D 3:2:4
10. 如图：在平行六面体中，为与的交点。若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）

二、填空题
11 若向量，则__________________
12 若向量，则这两个向量的位置关系是___________
13 已知向量，若，则______；若则______
14 已知向量若则实数______，_______
15 若，且，则与的夹角为____________

3 选修2-1第三章《空间向量与立体几何》基础训练题
参考答案
一、选择题
1 D 而零向量与任何向量都平行
2 A 关于某轴对称，则某坐标不变，其余全部改变
3 C
4 A ，，得为锐角；
，得为锐角；，得为锐角；所以为锐角三角形
5 C
，当时，取最小值
6 D
7.D
8.D
设
则，而另可设
，
9.A

10.A
二、填空题
1 ，
2 垂直
3 若，则；若，则
4
5

4 （数学选修2-1）第三章 空间向量与立体几何解答题精选
1 已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点
（Ⅰ）证明：面面；
（Ⅱ）求与所成的角；
（Ⅲ）求面与面所成二面角的大小

2 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形,
平面底面
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求面与面所成的二面角的大小

3 如图，在四棱锥中，底面为矩形，
侧棱底面，，，，
为的中点
（Ⅰ）求直线与所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面内找一点，使面，
并求出点到和的距离

4 如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中

（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）求点到平面的距离

5 如图，在长方体，中，，点在棱上移动 （1）证明：；
（2）当为的中点时，求点到面的距离；
（3）等于何值时，二面角的大小为

6 如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于的一点，，已知，求：
（Ⅰ）异面直线与的距离；
（Ⅱ）二面角的平面角的正切值

7 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上

一点， 已知
求（Ⅰ）异面直线与的距离；
（Ⅱ）二面角的大小

1 证明：以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

（Ⅰ）证明：因

由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面 又在面上，故面⊥面
（Ⅱ）解：因

（Ⅲ）解：在上取一点，则存在使

要使

为
所求二面角的平面角

2 证明：
以为坐标原点，建立如图所示的坐标图系
（Ⅰ）证明：不防设作，
则， ，

由得，又，因而与平面内两条相交直线，都垂直 ∴平面
（Ⅱ）解：设为中点，则，

由
因此，是所求二面角的平面角，

解得所求二面角的大小为
3 如图，在四棱锥中，底面为矩形，
侧棱底面，，，，
为的中点
解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则的坐标为、
、、、
、，
从而
设的夹角为，则

∴与所成角的余弦值为
（Ⅱ）由于点在侧面内，故可设点坐标为，则
，由面可得，
∴
即点的坐标为，从而点到和的距离分别为
4 解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则，
设

∵为平行四边形，

（II）设为平面的法向量，

的夹角为，则

∴到平面的距离为

5

解：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则
（1）
（2）因为为的中点，则，从而，
，设平面的法向量为，则
也即，得，从而，所以点到平面的距离为

（3）设平面的法向量，∴
由 令，
∴
依题意
∴（不合，舍去），
∴时，二面角的大小为
6 解：（I）以为原点，、分别为轴建立空间直角坐标系

由于，
在三棱柱中有
,
设

又侧面，故 因此是异面直线的公垂线，
则，故异面直线的距离为
（II）由已知有故二面角的平面角的大小为向量的夹角

7 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上

一点， 已知
求（Ⅰ）异面直线与的距离；
（Ⅱ）二面角的大小
解：（Ⅰ）以为原点，、、分别为
轴建立空间直角坐标系
由已知可得
设
由，
即 由，
又，故是异面直线与的公垂线，易得，故异面直线
,的距离为
（Ⅱ）作，可设 由得
即作于，设，
则
由，
又由在上得
因故的平面角的大小为向量的夹角
故 即二面角的大小为

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