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几何难题中考压轴题带复习资料和详细解析30道解答题.doc

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几何难题精选 解答题(共30小题) 1.(2015•河南)如图1,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2AB=8,点D、E分别是边BC、AC的中点,连接DE,将△EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为α. (1)问题发现 ①当α=0°时,= ;②当α=180°时,= . (2)拓展探究 试判断:当0°≤α<360°时,的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明. (3)问题解决 当△EDC旋转至A,D,E三点共线时,直接写出线段BD的长. 2.(2015•济南)如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,∠EAC=90°,点M为射线AE上任意一点(不与A重合),连接CM,将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN,直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D. (1)直接写出∠NDE的度数; (2)如图2、图3,当∠EAC为锐角或钝角时,其他条件不变,(1)中的结论是否发生变化?如果不变,选取其中一种情况加以证明;如果变化,请说明理由; (3)如图4,若∠EAC=15°,∠ACM=60°,直线CM与AB交于G,BD=,其他条件不变,求线段AM的长. 3.(2015•岳阳)已知直线m∥n,点C是直线m上一点,点D是直线n上一点,CD与直线m、n不垂直,点P为线段CD的中点. (1)操作发现:直线l⊥m,l⊥n,垂足分别为A、B,当点A与点C重合时(如图①所示),连接PB,请直接写出线段PA与PB的数量关系: . (2)猜想证明:在图①的情况下,把直线l向上平移到如图②的位置,试问(1)中的PA与PB的关系式是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由. (3)延伸探究:在图②的情况下,把直线l绕点A旋转,使得∠APB=90°(如图③所示),若两平行线m、n之间的距离为2k.求证:PA•PB=k•AB. 4.(2015•重庆)在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,点D是线段BC的中点,∠EDF=120°,DE与线段AB相交于点E.DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F. (1)如图1,若DF⊥AC,垂足为F,AB=4,求BE的长; (2)如图2,将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度,DF仍与线段AC相交于点F.求证:BE+CF=AB; (3)如图3,将(2)中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度,使DF与线段AC的延长线相交于点F,作DN⊥AC于点N,若DN⊥AC于点N,若DN=FN,求证:BE+CF=(BE﹣CF). 5.(2015•烟台)【问题提出】 如图①,已知△ABC是等腰三角形,点E在线段AB上,点D在直线BC上,且ED=EC,将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF 试证明:AB=DB+AF 【类比探究】 (1)如图②,如果点E在线段AB的延长线上,其他条件不变,线段AB,DB,AF之间又有怎样的数量关系?请说明理由 (2)如果点E在线段BA的延长线上,其他条件不变,请在图③的基础上将图形补充完整,并写出AB,DB,AF之间的数量关系,不必说明理由. 6.(2015•莆田)在Rt△ACB和Rt△AEF中,∠ACB=∠AEF=90°,若点P是BF的中点,连接PC,PE. 特殊发现: 如图1,若点E,F分别落在边AB,AC上,则结论:PC=PE成立(不要求证明). 问题探究: 把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转. (1)如图2,若点E落在边CA的延长线上,则上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由; (2)如图3,若点F落在边AB上,则上述结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由; (3)记=k,当k为何值时,△CPE总是等边三角形?(请直接写出k的值,不必说明理由) 7.(2015•襄城区模拟)如图,正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上,点B坐标为(3,3).将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α(0°<α<90°),得到正方形ADEF,ED交线段OC于点G,ED的延长线交线段BC于点P,连AP、AG. (1)求证:△AOG≌△ADG; (2)求∠PAG的度数;并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系,说明理由; (3)当∠1=∠2时,求直线PE的解析式; (4)在(3)的条件下,直线PE上是否存在点M,使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出M点坐标;若不存在,请说明理由. 8.(2015•重庆校级一模)已知,四边形ABCD是正方形,点P在直线BC上,点G在直线AD上(P、G不与正方形顶点重合,且在CD的同侧),PD=PG,DF⊥PG于点H,DF交直线AB于点F,将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE,连结EF. (1)如图1,当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时,若PC=1,计算出DG的长; (2)如图1,当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时,证明:四边形DFEP为菱形; (3)如图2,当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时,(2)的结论:四边形DFEP为菱形是否依然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由. 9.(2015•房山区二模)在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=90°,BD为斜边AC上的中线,将△ABD绕点D顺时针旋转α(0°<α<180°)得到△EFD,其中点A的对应点为点E,点B的对应点为点F.BE与FC相交于点H. (1)如图1,直接写出BE与FC的数量关系: ; (2)如图2,M、N分别为EF、BC的中点.求证:MN=; (3)连接BF,CE,如图3,直接写出在此旋转过程中,线段BF、CE与AC之间的数量关系: . 10.(2015•衢州校级模拟)图1是边长分别为4和2的两个等边三角形纸片ABC和ODE叠放在一起(C与O重合). (1)操作:固定△ABC,将△0DE绕点C顺时针旋转30°后得到△ODE,连结AD、BE,CE的延长线交AB于F(图2); 探究:在图2中,线段BE与AD之间有怎样的大小关系?试证明你的结论. (2)在(1)的条件下将的△ODE,在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移,平移后的△CDE设为△PQR,当点P与点F重合时停止运动(图3) 探究:设△PQR移动的时间为x秒,△PQR与△ABC重叠部分的面积为y,求y与x之间的函数解析式,并写出函数自变量x的取值范围. (3)将图1中△0DE固定,把△ABC沿着OE方向平移,使顶点C落在OE的中点G处,设为△ABG,然后将△ABG绕点G顺时针旋转,边BG交边DE于点M,边AG交边DO于点N,设∠BGE=α(30°<α<90°);(图4) 探究:在图4中,线段ON•EM的值是否随α的变化而变化?如果没有变化,请你求出ON•EM的值,如果有变化,请你说明理由. 11.(2015•武义县模拟)(1)将矩形OABC放在平面直角坐标系中,顶点O为原点,顶点C、A分别在x轴和y轴上,OA=8,OC=10,点E为OA边上一点,连结CE,将△EOC沿CE折叠. ①如图1,当点O落在AB边上的点D处时,求点E的坐标; ②如图2,当点O落在矩形OABC内部的点D处时,过点E作EG∥x轴交CD于点H,交BC于点G,设H(m,n),求m与n之间的关系式; (2)如图3,将矩形OABC变为边长为10的正方形,点E为y轴上一动点,将△EOC沿CE折叠.点O落在点D处,延长CD交直线AB于点T,若=,求AT的长. 12.(2015•石家庄校级模拟)如图1,在菱形ABCD中,AC=6,BD=6,AC,BD相交于点O. (1)求边AB的长; (2)如图2,将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处,绕点A左右旋转,其中三角板60°角的两边分别于边BC,CD相交于E,F,连接EF与AC相交于点G. ①判断△AEF是哪一种特殊三角形,并说明理由; ②旋转过程中是否存在线段EF最短,若存在,求出最小值,若不存在,请说明理由. 13.(2015春•泰安校级期中)如图,正方形OEFG绕着边长为30的正方形ABCD的对角线的交点O旋转,边OE、OG分别交边AD、AB于点M、N. (1)求证:OM=ON; (2)设正方形OEFG的对角线OF与边AB相交于点P,连结PM.若PM=13,试求AM的长; (3)连接MN,求△AMN周长的最小值,并指出此时线段MN与线段BD的关系. 14.(2014•天津)在平面直角坐标系中,O为原点,点A(﹣2,0),点B(0,2),点E,点F分别为OA,OB的中点.若正方形OEDF绕点O顺时针旋转,得正方形OE′D′F′,记旋转角为α. (Ⅰ)如图①,当α=90°时,求AE′,BF′的长; (Ⅱ)如图②,当α=135°时,求证AE′=BF′,且AE′⊥BF′; (Ⅲ)若直线AE′与直线BF′相交于点P,求点P的纵坐标的最大值(直接写出结果即可). 15.(2014春•青山区期末)已知正方形ABCD和正方形EBGF共顶点B,连AF,H为AF的中点,连EH,正方形EBGF绕点B旋转. (1)如图1,当F点落在BC上时,求证:EH=FC; (2)如图2,当点E落在BC上时,连BH,若AB=5,BG=2,求BH的长; (3)当正方形EBGF绕点B旋转到如图3的位置时,求的值. 16.(2013•盐城)阅读材料 如图①,△ABC与△DEF都是等腰直角三角形,∠ACB=∠EDF=90°,且点D在AB边上,AB、EF的中点均为O,连结BF、CD、CO,显然点C、F、O在同一条直线上,可以证明△BOF≌△COD,则BF=CD. 解决问题 (1)将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②,猜想此时线段BF与CD的数量关系,并证明你的结论; (2)如图③,若△ABC与△DEF都是等边三角形,AB、EF的中点均为O,上述(1)中的结论仍然成立吗?如果成立,请说明理由;如不成立,请求出BF与CD之间的数量关系; (3)如图④,若△ABC与△DEF都是等腰三角形,AB、EF的中点均为0,且顶角∠ACB=∠EDF=α,请直接写出的值(用含α的式子表示出来) 17.(2013•梅州)用如图①,②所示的两个直角三角形(部分边长及角的度数在图中已标出),完成以下两个探究问题: 探究一:将以上两个三角形如图③拼接(BC和ED重合),在BC边上有一动点P. (1)当点P运动到∠CFB的角平分线上时,连接AP,求线段AP的长; (2)当点P在运动的过程中出现PA=FC时,求∠PAB的度数. 探究二:如图④,将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处,并以点D为旋转中心旋转△DEF,使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点,连接MN.在旋转△DEF的过程中,△AMN的周长是否存在有最小值?若存在,求出它的最小值;若不存在,请说明理由. 18.(2015•营口)如图,点P是⊙O外一点,PA切⊙O于点A,AB是⊙O的直径,连接OP,过点B作BC∥OP交⊙O于点C,连接AC交OP于点D. (1)求证:PC是⊙O的切线; (2)若PD=,AC=8,求图中阴影部分的面积; (3)在(2)的条件下,若点E是的中点,连接CE,求CE的长. 19.(2015•永州)问题探究: (一)新知学习: 圆内接四边形的判断定理:如果四边形对角互补,那么这个四边形内接于圆(即如果四边形EFGH的对角互补,那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上). (二)问题解决: 已知⊙O的半径为2,AB,CD是⊙O的直径.P是上任意一点,过点P分别作AB,CD的垂线,垂足分别为N,M. (1)若直径AB⊥CD,对于上任意一点P(不与B、C重合)(如图一),证明四边形PMON内接于圆,并求此圆直径的长; (2)若直径AB⊥CD,在点P(不与B、C重合)从B运动到C的过程中,证明MN的长为定值,并求其定值; (3)若直径AB与CD相交成120°角. ①当点P运动到的中点P1时(如图二),求MN的长; ②当点P(不与B、C重合)从B运动到C的过程中(如图三),证明MN的长为定值. (4)试问当直径AB与CD相交成多少度角时,MN的长取最大值,并写出其最大值. 20.(2015•盘锦)如图1,△ABC和△AED都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,点B在线段AE上,点C在线段AD上. (1)请直接写出线段BE与线段CD的关系: ; (2)如图2,将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α(0<α<360°), ①(1)中的结论是否成立?若成立,请利用图2证明;若不成立,请说明理由; ②当AC=ED时,探究在△ABC旋转的过程中,是否存在这样的角α,使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出角α的度数;若不存在,请说明理由. 21.(2015•朝阳)问题:如图(1),在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=CB,∠DCE=45°,试探究AD、DE、EB满足的等量关系. [探究发现] 小聪同学利用图形变换,将△CAD绕点C逆时针旋转90°得到△CBH,连接EH,由已知条件易得∠EBH=90°,∠ECH=∠ECB+∠BCH=∠ECB+∠ACD=45°. 根据“边角边”,可证△CEH≌ ,得EH=ED. 在Rt△HBE中,由 定理,可得BH2+EB2=EH2,由BH=AD,可得AD、DE、EB之间的等量关系是 . [实践运用] (1)如图(2),在正方形ABCD中,△AEF的顶点E、F分别在BC、CD边上,高AG与正方形的边长相等,求∠EAF的度数; (2)在(1)条件下,连接BD,分别交AE、AF于点M、N,若BE=2,DF=3,BM=2,运用小聪同学探究的结论,求正方形的边长及MN的长. 22.(2015•自贡)在△ABC中,AB=AC=5,cos∠ABC=,将△ABC绕点C顺时针旋转,得到△A1B1C. (1)如图①,当点B1在线段BA延长线上时.①求证:BB1∥CA1;②求△AB1C的面积; (2)如图②,点E是BC边的中点,点F为线段AB上的动点,在△ABC绕点C顺时针旋转过程中,点F的对应点是F1,求线段EF1长度的最大值与最小值的差. 23.(2015•吉林)两个三角板ABC,DEF,按如图所示的位置摆放,点B与点D重合,边AB与边DE在同一条直线上(假设图形中所有的点,线都在同一平面内).其中,∠C=∠DEF=90°,∠ABC=∠F=30°,AC=DE=6cm.现固定三角板DEF,将三角板ABC沿射线DE方向平移,当点C落在边EF上时停止运动.设三角板平移的距离为x(cm),两个三角板重叠部分的面积为y(cm2). (1)当点C落在边EF上时,x= cm; (2)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围; (3)设边BC的中点为点M,边DF的中点为点N.直接写出在三角板平移过程中,点M与点N之间距离的最小值. 24.(2015•汕尾)在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=AB=4,D,E分别是边AB,AC的中点,若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转,得到等腰Rt△AD1E1,设旋转角为α(0<α≤180°),记直线BD1与CE1的交点为P. (1)如图1,当α=90°时,线段BD1的长等于 ,线段CE1的长等于 ;(直接填写结果) (2)如图2,当α=135°时,求证:BD1=CE1,且BD1⊥CE1; (3)求点P到AB所在直线的距离的最大值.(直接写出结果) 25.(2015•赤峰)如图,四边形ABCD是边长为2,一个锐角等于60°的菱形纸片,小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合,按顺时针方向旋转三角形纸片,使它的两边分别交CB、BA(或它们的延长线)于点E、F,∠EDF=60°,当CE=AF时,如图1小芳同学得出的结论是DE=DF. (1)继续旋转三角形纸片,当CE≠AF时,如图2小芳的结论是否成立?若成立,加以证明;若不成立,请说明理由; (2)再次旋转三角形纸片,当点E、F分别在CB、BA的延长线上时,如图3请直接写出DE与DF的数量关系; (3)连EF,若△DEF的面积为y,CE=x,求y与x的关系式,并指出当x为何值时,y有最小值,最小值是多少? 26.(2015•海南)如图,菱形ABCD中,点P是CD的中点,∠BCD=60°,射线AP交BC的延长线于点E,射线BP交DE于点K,点O是线段BK的中点. (1)求证:△ADP≌△ECP; (2)若BP=n•PK,试求出n的值; (3)作BM丄AE于点M,作KN丄AE于点N,连结MO、NO,如图2所示,请证明△MON是等腰三角形,并直接写出∠MON的度数. 27.(2015•丹东)在正方形ABCD中,对角线AC与BD交于点O;在Rt△PMN中,∠MPN=90°. (1)如图1,若点P与点O重合且PM⊥AD、PN⊥AB,分别交AD、AB于点E、F,请直接写出PE与PF的数量关系; (2)将图1中的Rt△PMN绕点O顺时针旋转角度α(0°<α<45°). ①如图2,在旋转过程中(1)中的结论依然成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由; ②如图2,在旋转过程中,当∠DOM=15°时,连接EF,若正方形的边长为2,请直接写出线段EF的长; ③如图3,旋转后,若Rt△PMN的顶点P在线段OB上移动(不与点O、B重合),当BD=3BP时,猜想此时PE与PF的数量关系,并给出证明;当BD=m•BP时,请直接写出PE与PF的数量关系. 28.(2015•成都)已知AC,EC分别是四边形ABCD和EFDC的对角线,点E在△ABC内,∠CAE+∠CBE=90°. (1)如图①,当四边形ABCD和EFCG均为正方形时,连接BF. (i)求证:△CAE∽△CBF; (ii)若BE=1,AE=2,求CE的长; (2)如图②,当四边形ABCD和EFCG均为矩形,且==k时,若BE=1,AE=2,CE=3,求k的值; (3)如图③,当四边形ABCD和EFCG均为菱形,且∠DAB=∠GEF=45°时,设BE=m,AE=n,CE=p,试探究m,n,p三者之间满足的等量关系.(直接写出结果,不必写出解答过程) 29.(2015•锦州)如图①,∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处,∠QPN=α,将∠QPN绕点P旋转,旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F(点F与点C,D不重合). (1)如图①,当α=90°时,DE,DF,AD之间满足的数量关系是 ; (2)如图②,将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形,其他条件不变,当α=60°时,(1)中的结论变为DE+DF=AD,请给出证明; (3)在(2)的条件下,若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E,其他条件不变,探究在整个运动变化过程中,DE,DF,AD之间满足的数量关系,直接写出结论,不用加以证明. 30.(2014•绵阳)如图1,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,把矩形沿直线AC折叠,使点B落在点E处,AE交CD于点F,连接DE. (1)求证:△DEC≌△EDA; (2)求DF的值; (3)如图2,若P为线段EC上一动点,过点P作△AEC的内接矩形,使其顶点Q落在线段AE上,定点M、N落在线段AC上,当线段PE的长为何值时,矩形PQMN的面积最大?并求出其最大值. 几何难题精选(1) 旋转 圆 四边形 参考答案与试题解析 一.解答题(共30小题) 1.(2015•河南)如图1,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2AB=8,点D、E分别是边BC、AC的中点,连接DE,将△EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为α. (1)问题发现 ①当α=0°时,= ;②当α=180°时,= . (2)拓展探究 试判断:当0°≤α<360°时,的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明. (3)问题解决 当△EDC旋转至A,D,E三点共线时,直接写出线段BD的长. 【考点】几何变换综合题. 【专题】压轴题. 【分析】(1)①当α=0°时,在Rt△ABC中,由勾股定理,求出AC的值是多少;然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点,分别求出AE、BD的大小,即可求出的值是多少. ②α=180°时,可得AB∥DE,然后根据,求出的值是多少即可. (2)首先判断出∠ECA=∠DCB,再根据,判断出△ECA∽△DCB,即可求出的值是多少,进而判断出的大小没有变化即可. (3)根据题意,分两种情况:①点A,D,E所在的直线和BC平行时;②点A,D,E所在的直线和BC相交时;然后分类讨论,求出线段BD的长各是多少即可. 【解答】解:(1)①当α=0°时, ∵Rt△ABC中,∠B=90°, ∴AC=, ∵点D、E分别是边BC、AC的中点, ∴, ∴. ②如图1,, 当α=180°时, 可得AB∥DE, ∵, ∴=. 故答案为:. (2)如图2,, 当0°≤α<360°时,的大小没有变化, ∵∠ECD=∠ACB, ∴∠ECA=∠DCB, 又∵, ∴△ECA∽△DCB, ∴. (3)①如图3,, ∵AC=4,CD=4,CD⊥AD, ∴AD==, ∵AD=BC,AB=DC,∠B=90°, ∴四边形ABCD是矩形, ∴. ②如图4,连接BD,过点D作AC的垂线交AC于点Q,过点B作AC的垂线交AC于点P,, ∵AC=4,CD=4,CD⊥AD, ∴AD==, ∵点D、E分别是边BC、AC的中点, ∴DE==2, ∴AE=AD﹣DE=8﹣2=6, 由(2),可得 , ∴BD==. 综上所述,BD的长为4或. 【点评】(1)此题主要考查了几何变换综合题,考查了分析推理能力,考查了分类讨论思想的应用,考查了数形结合思想的应用,要熟练掌握. (2)此题还考查了相似三角形、全等三角形的判定和性质的应用,要熟练掌握. (3)此题还考查了线段长度的求法,以及矩形的判定和性质的应用,要熟练掌握. 2.(2015•济南)如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,∠EAC=90°,点M为射线AE上任意一点(不与A重合),连接CM,将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN,直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D. (1)直接写出∠NDE的度数; (2)如图2、图3,当∠EAC为锐角或钝角时,其他条件不变,(1)中的结论是否发生变化?如果不变,选取其中一种情况加以证明;如果变化,请说明理由; (3)如图4,若∠EAC=15°,∠ACM=60°,直线CM与AB交于G,BD=,其他条件不变,求线段AM的长. 【考点】几何变换综合题. 【专题】压轴题. 【分析】(1)根据题意证明△MAC≌△NBC即可; (2)与(1)的证明方法相似,证明△MAC≌△NBC即可; (3)作GK⊥BC于K,证明AM=AG,根据△MAC≌△NBC,得到∠BDA=90°,根据直角三角形的性质和已知条件求出AG的长,得到答案. 【解答】解:(1)∵∠ACB=90°,∠MCN=90°, ∴∠ACM=∠BCN, 在△MAC和△NBC中, , ∴△MAC≌△NBC, ∴∠NBC=∠MAC=90°, 又∵∠ACB=90°,∠EAC=90°, ∴∠NDE=90°; (2)不变, 在△MAC≌△NBC中, , ∴△MAC≌△NBC, ∴∠N=∠AMC, 又∵∠MFD=∠NFC, ∠MDF=∠FCN=90°,即∠NDE=90°; (3)作GK⊥BC于K, ∵∠EAC=15°, ∴∠BAD=30°, ∵∠ACM=60°, ∴∠GCB=30°, ∴∠AGC=∠ABC+∠GCB=75°, ∠AMG=75°, ∴AM=AG, ∵△MAC≌△NBC, ∴∠MAC=∠NBC, ∴∠BDA=∠BCA=90°, ∵BD=, ∴AB=+, AC=BC=+1, 设BK=a,则GK=a,CK=a, ∴a+a=+1, ∴a=1, ∴KB=KG=1,BG=, AG=, ∴AM=. 【点评】本题考查的是矩形的判定和性质以及三角形全等的判定和性质,正确作出辅助线、利用方程的思想是解题的关键,注意旋转的性质的灵活运用. 3.(2015•岳阳)已知直线m∥n,点C是直线m上一点,点D是直线n上一点,CD与直线m、n不垂直,点P为线段CD的中点. (1)操作发现:直线l⊥m,l⊥n,垂足分别为A、B,当点A与点C重合时(如图①所示),连接PB,请直接写出线段PA与PB的数量关系: PA=PB . (2)猜想证明:在图①的情况下,把直线l向上平移到如图②的位置,试问(1)中的PA与PB的关系式是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由. (3)延伸探究:在图②的情况下,把直线l绕点A旋转,使得∠APB=90°(如图③所示),若两平行线m、n之间的距离为2k.求证:PA•PB=k•AB. 【考点】几何变换综合题. 【专题】压轴题. 【分析】(1)根据三角形CBD是直角三角形,而且点P为线段CD的中点,应用直角三角形的性质,可得PA=PB,据此解答即可. (2)首先过C作CE⊥n于点E,连接PE,然后分别判断出PC=PE、∠PCA=∠PEB、AC=BE;然后根据全等三角形判定的方法,判断出△PAC∽△PBE,即可判断出PA=PB仍然成立. (3)首先延长AP交直线n于点F,作AE⊥BD于点E,然后根据相似三角形判定的方法,判断出△AEF∽△BPF,即可判断出AF•BP=AE•BF,再个AF=2PA,AE=2k,BF=AB,可得2PA•PB=2k.AB,所以PA•PB=k•AB,据此解答即可. 【解答】解:(1)∵l⊥n, ∴BC⊥BD, ∴三角形CBD是直角三角形, 又∵点P为线段CD的中点, ∴PA=PB. (2)把直线l向上平移到如图②的位置,PA=PB仍然成立,理由如下: 如图②,过C作CE⊥n于点E,连接PE, , ∵三角形CED是直角三角形,点P为线段CD的中点, ∴PD=PE, 又∵点P为线段CD的中点, ∴PC=PD, ∴PC=PE; ∵PD=PE, ∴∠CDE=∠PEB, ∵直线m∥n, ∴∠CDE=∠PCA, ∴∠PCA=∠PEB, 又∵直线l⊥m,l⊥n,CE⊥m,CE⊥n, ∴l∥CE, ∴AC=BE, 在△PAC和△PBE中, ∴△PAC≌△PBE, ∴PA=PB. (3)如图③,延长AP交直线n于点F,作AE⊥BD于点E,, ∵直线m∥n, ∴, ∴AP=PF, ∵∠APB=90°, ∴BP⊥AF, 又∵AP=PF, ∴BF=AB; 在△AEF和△BPF中, ∴△AEF∽△BPF, ∴, ∴AF•BP=AE•BF, ∵AF=2PA,AE=2k,BF=AB, ∴2PA•PB=2k.AB, ∴PA•PB=k•AB. 【点评】(1)此题主要考查了几何变换综合题,考查了分析推理能力,考查了分类讨论思想的应用,考查了数形结合思想的应用,考查了从图象中获取信息,并能利用获取的信息解答相应的问题的能力. (2)此题还考查了直角三角形的性质和应用,要熟练掌握. (3)此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用,以及相似三角形的判定和性质的应用,要熟练掌握. 4.(2015•重庆)在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,点D是线段BC的中点,∠EDF=120°,DE与线段AB相交于点E.DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F. (1)如图1,若DF⊥AC,垂足为F,AB=4,求BE的长; (2)如图2,将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度,DF仍与线段AC相交于点F.求证:BE+CF=AB; (3)如图3,将(2)中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度,使DF与线段AC的延长线相交于点F,作DN⊥AC于点N,若DN⊥AC于点N,若DN=FN,求证:BE+CF=(BE﹣CF). 【考点】几何变换综合题;全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义. 【专题】压轴题. 【分析】(1)如图1,易求得∠B=60°,∠BED=90°,BD=2,然后运用三角函数的定义就可求出BE的值; (2)过点D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N,如图2,易证△MBD≌△NCD,则有BM=CN,DM=DN,进而可证到△EMD≌△FND,则有EM=FN,就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=BC=AB; (3)过点D作DM⊥AB于M,如图3.同(1)可得:∠B=∠ACD=60°,同(2)可得:BM=CN,DM=DN,EM=FN.由DN=FN可得DM=DN=FN=EM,从而可得BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM,BE﹣CF=BM+EM﹣CF=BM+NF﹣CF=BM+NC=2BM.然后在Rt△BMD中,运用三角函数就可得到DM=BM,即BE+CF=(BE﹣CF). 【解答】解:(1)如图1, ∵AB=AC,∠A=60°, ∴△ABC是等边三角形, ∴∠B=∠C=60°,BC=AC=AB=4. ∵点D是线段BC的中点, ∴BD=DC=BC=2. ∵DF⊥AC,即∠AFD=90°, ∴∠AED=360°﹣60°﹣90°﹣120°=90°, ∴∠BED=90°, ∴BE=BD×cos∠B=2×cos60°=2×=1; (2)过点D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N,如图2, 则有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°. ∵∠A=60°,∴∠MDN=360°﹣60°﹣90°﹣90°=120°. ∵∠EDF=120°,∴∠MDE=∠NDF. 在△MBD和△NCD中, , ∴△MBD≌△NCD, ∴BM=CN,DM=DN. 在△EMD和△FND中, , ∴△EMD≌△FND, ∴EM=FN, ∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN =2BM=2BD×cos60°=BD=BC=AB; (3)过点D作DM⊥AB于M,如图3. 同(1)可得:∠B=∠ACD=60°. 同(2)可得:BM=CN,DM=DN,EM=FN. ∵DN=FN,∴DM=DN=FN=EM, ∴BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM, BE﹣CF=BM+EM﹣CF=BM+NF﹣CF=BM+NC=2BM. 在Rt△BMD中,DM=BM•tanB=BM, ∴BE+CF=(BE﹣CF). 【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值等知识,通过证明三角形全等得到BM=CN,DM=DN,EM=FN是解决本题的关键. 5.(2015•烟台)【问题提出】 如图①,已知△ABC是等腰三角形,点E在线段AB上,点D在直线BC上,且ED=EC,将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF 试证明:AB=DB+AF 【类比探究】 (1)如图②,如果点E在线段AB的延长线上,其他条件不变,线段AB,DB,AF之间又有怎样的数量关系?请说明理由 (2)如果点E在线段BA的延长线上,其他条件不变,请在图③的基础上将图形补充完整,并写出AB,DB,AF之间的数量关系,不必说明理由. 【考点】几何变换综合题. 【专题】压轴题. 【分析】首先判断出△CEF是等边三角形,即可判断出EF=EC,再根据ED=EC,可得ED=EF,∠CAF=∠BAC=60°,所以∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°,∠DBE=120°,∠EAF=∠DBE;然后根据全等三角形判定的方法,判断出△EDB≌△FEA,即可判断出BD=AE,AB=AE+BF,所以AB=DB+AF. (1)首先判断出△CEF是等边三角形,即可判断出EF=EC,再根据ED=EC,可得ED=EF,∠CAF=∠BAC=60°,所以∠EFC=∠FGC+∠FCG,∠BAC=∠FGC+∠FEA,∠FCG=∠FEA,再根据∠FCG=∠EAD,∠D=∠EAD,可得∠D=∠FEA;然后根据全等三角形判定的方法,判断出△EDB≌△FEA,即可判断出BD=AE,EB=AF,进而判断出AB=BD﹣AF即可. (2)首先根据点E在线段BA的延长线上,在图③的基础上将图形补充完整,然后判断出△CEF是等边三角形,即可判断出EF=EC,再根据ED=EC,可得ED=EF,∠CAF=∠BAC=60°,再判断出∠DBE=∠EAF,∠BDE=∠AEF;最后根据全等三角形判定的方法,判断出△EDB≌△FEA,即可判断出BD=AE,EB=AF,进而判断出AF=AB+BD即可. 【解答】证明:ED=EC=CF, ∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF, ∴∠ECF=60°,∠BCA=60°,BE=AF,EC=CF, ∴△CEF是等边三角形, ∴EF=EC,∠CEF=60°, 又∵ED=EC, ∴ED=EF, ∵△ABC是等腰三角形,∠BCA=60°, ∴△ABC是等边三角形, ∴∠CAF=∠CBA=60°, ∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°,∠DBE=120°,∠EAF=∠DBE, ∵∠CAF=∠CEF=60°, ∴A、E、C、F四点共圆, ∴∠AEF=∠ACF, 又∵ED=EC, ∴∠D=∠BCE,∠BCE=∠ACF, ∴∠D=∠AEF, 在△EDB和△FEA中, (AAS) ∴△EDB≌△FEA, ∴DB=AE,BE=AF, ∵AB=AE+BE, ∴AB=DB+AF. (1)AB=BD+AF; 延长EF、CA交于点G, ∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF, ∴∠ECF=60°,BE=AF,EC=CF, ∴△CEF是等边三角形, ∴EF=EC, 又∵ED=EC, ∴ED=EF,∠EFC=∠BAC=60°, ∵∠EFC=∠FGC+∠FCG,∠BAC=∠FGC+∠FEA, ∴∠FCG=∠FEA, 又∵∠FCG=∠ECD,∠D=∠ECD, ∴∠D=∠FEA, 由旋转的性质,可得 ∠CBE=∠CAF=120°, ∴∠DBE=∠FAE=60°, 在△EDB和△FEA中, (AAS) ∴△EDB≌△FEA, ∴BD=AE,EB=AF, ∴BD=FA+AB, 即AB=BD﹣AF. (2)如图③,, ED=EC=CF, ∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF, ∴∠ECF=60°,BE=AF,EC=CF,BC=AC, ∴△CEF是等边三角形, ∴EF=EC, 又∵ED=EC, ∴ED=EF, ∵AB=AC,BC=AC, ∴△ABC是等边三角形, ∴∠ABC=60°, 又∵∠CBE=∠CAF, ∴∠CAF=60°, ∴∠EAF=180°﹣∠CAF﹣∠BAC =180°
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