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特殊的平行四边形知识点与专题练习

矩形
菱形
正方形
定义
有一角是直角的平行四边形叫做矩形
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
性
质
边
对边平行且相等
对边平行，四边相等
对边平行，四边相等
角
四个角都是直角
对角相等
四个角都是直角
对角线
互相平分且相等
互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角
互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角
判定
·有三个角是直角;
·是平行四边形且有一个角是直角;
·是平行四边形且两条对角线相等.
·四边相等的四边形；
·是平行四边形且有一组邻边相等；
·是平行四边形且两条对角线互相垂直。
·是矩形，且有一组邻边相等；
·是菱形，且有一个角是直角。
(矩形+菱形〕
对称性
(条数〕
既是轴对称图形，又是中心对称图形

面积

知识点归纳
附： 平行四边形的定义：
1. 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
2. 平行四边形的性质
〔1〕边：平行四边形的对边平行且相等．〔2〕角：平行四边形的对角相等．
〔3〕对角线：平行四边形的对角线互相平分．
〔4〕对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心．
3. 平行四边形的判定方法
〔1〕定义识别：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
〔2〕用平行四边形的判定定理识别：
判定定理①：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
判定定理②：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
判定定理③：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
4. 三角形中位线
〔1〕定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．每个三角形都有三条中位线．
〔2〕三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．
5. 直角三角形特殊性质
〔1〕斜边上的中线等于斜边的一半。〔2)300所对的直角边等于斜边的一半。
（3） 射影定理，勾股定理，面积不变定理
6.有关矩形面积的计算：:①面积公式:矩形面积=长宽
②矩形的两条对角线相交于,那么
7.有关菱形的面积计算
由于菱形的对角线互相垂直平分,
也可以用平行四边形的面积计算公式=底高
8.梯形定义:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形
梯形的底:梯形中平行的两边叫做梯形的底,通常把较短的底叫做上底,较长的底叫做下底
梯形的腰:梯形中不平行的两边叫做梯形的腰
梯形的高:梯形两底之间的距离叫做梯形的高
等腰梯形:两腰相等的梯形； 直角梯形:一腰垂直于底的梯形
9.梯形的判定：①判定四边形一组对边平行,另一组对边不平行
②一组对边平行但不相等的四边形是梯形
10.等腰梯形的性质：①两底平行,两腰相等；②等腰梯形在同一底上的两个角相等
③等腰梯形的两条对角线相等；
④等腰梯形是轴对称图形,只有一条对称轴,一底的垂直平分线是它的对称轴
11.等腰梯形的判定：①两腰相等的梯形是等腰梯形
②在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
(以前出现,但是在新课标中没有出现的判定方法:对角线相等的梯形是等腰梯形)
12.梯形的面积：面积=〔上底+下底〕×高÷2
〔图1〕
C
A
B
D
E
F
经典例题讲解
例1：如图1，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F.
求证：∠BAE =∠DCF.
O
A
B
C
D
E
F
〔图2〕
例2如图2，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F.
求证：BE = CF.
A

B

C

D

图3

E

F

例3：如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC，点E、F分别在AB、
CD上，且BE = 2EA，CF = 2FD. 求证：∠BEC =∠CFB.
A
D
B
C
E
F
(图6)
M
N
例4如图6，E、F分别是 ABCD的AD、BC边上的点，且AE = CF.
〔1〕求证：△ABE≌△CDF；
〔2〕假设M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论.
图7

A

B

C

D

E

F

O

例5如图7， ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.
求证：四边形AFCE是菱形.
图8

B

C

D

A

E

F

例6如图8，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点.
（1） 如果 ，那么△DEC≌△BFA〔请你填上一个能使结论成立
的一个条件〕；〔2〕证明你的结论.
特殊的平行四边形专题练习
2. 平行四边形ABCD的周长32, 5AB=3BC,那么AC的取值范围为( )
A. 6<AC<10； B. 6<AC<16； C. 10<AC<16； D. 4<AC<16
4．延长平形四边形ABCD的一边AB到E，使BE＝BD，连结DE交BC于F，假设∠DAB＝120°，
∠CFE＝135°，AB＝1，那么AC 的长为〔 〕
〔A〕1　　　〔B〕　　　　　〔C〕　　　　　　〔D〕
5．假设菱形ABCD中，AE垂直平分BC于E，AE＝1cm，那么BD的长是〔 〕
〔A〕1cm　　　　〔B〕2cm　　　〔C〕3cm　　　〔D〕4cm
7. 如图，等腰△ABC中，D是BC边上的一点，DE∥AC，DF∥AB，AB=5
那么四边形AFDE的周长是 〔 〕
〔A〕5 〔B〕10 〔C〕15 〔D〕20
8. 如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，
点A落在点F处，折痕为MN，那么线段CN的长是〔 〕．
〔A〕3cm 〔B〕4cm 〔C〕5cm 〔D〕6cm
9. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AC将梯形分成两
个三角形，其中△ACD是周长为18 cm的等边三角形，那么该梯形的
中位线的长是( )．
(A)9 cm (B)12cm (c)cm (D)18 cm
10.如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，
那么△ABE的周长为〔　　〕
(A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm
A
B
C
D
E
F
图 2
11. 如图2，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使
点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．假设CD＝6，
那么AF等于 〔　　〕
〔A〕　〔B〕　　〔C〕 〔D〕８　　
R
P
D
C
B
A
E
F
第12题图
12.如图，四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是
AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么以下结论
成立的是 〔 )
A、线段EF的长逐渐增大 B、线段EF的长逐渐减小
C、线段EF的长不变 D、线段EF的长与点P
13. 在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC⊥BD，且，BD=12c m，
那么梯形中位线的长等于〔 〕
A. 7.5cm B. 7cm C. 6.5cm D. 6cm
〔二〕细心填一填
4.：平行四边形ABCD的周长是30cm，对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的
周长长5cm ，那么这个平行四边形的各边长为＿＿＿＿＿。
5. ：平行四边形ABCD中， AE⊥BC交CB的延长线于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F，AB＋BC＋CD＋DA＝32cm，BC＝AB，∠EAF＝2∠C，那么BE长为＿＿＿，那么∠C＿＿＿.
7.：如图8，正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E、F分别是边AB、BC上的点，假设
AE＝4cm，DF＝3cm，且OE⊥OF，那么EF的长为 。
8． 如图10(1)是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图10(2)所示的一个菱形．对于图10(1)中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论： ．
C
F
D
B
E
A
P
〔第9题〕
第10题图

D
A
B
C
P
M
N
9．如图，在四边形中，是对角线的中点，分别是的中点，，那么的度数是 ．
〔1〕
〔2〕
图10

10．如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6与8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N
分别是边AB、BC的中点，那么PM+PN的最小值是_____________．
11. 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是 。
12. 矩形ABCD，分别为AD与CD为一边向矩形外作正三角形ADE与正
三角形CDF，连接BE与BF，那么的值等于 。
13. 如下图，O为矩形ABCD的对角线交点，DF平分∠ADC交AC于E，BC于F，
∠BDF=15°，那么∠COF=______．

14. 如图，矩形的对角线与相交于点，过点的直线分别交与于点E、F，，那么图中阴影局部的面积为　　　　　．
1.如图，在四边形ABCD中，∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=2,CD=3,求AB的长。
2.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD=2,∠BAD=120°,
对角线AC平分∠BCD，求等腰梯形ABCD的周长。
4．：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD相交于点E，
∠ADB=60°，BD=10，BE∶ED=4∶1，求梯形ABCD的腰长.
5. 如图，菱形ABCD，E，F分别是BC，CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，
∠BAE＝18°求∠CEF的度数。
A
B
C
D
M
N
E
(第6题)
6.：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
CE⊥AN，垂足为点E，
（1） 求证：四边形ADCE为矩形；
〔2〕当△ABC满足什么条件时，四边形
ADCE是一个正方形？并给出证明．
7. 如图，四边形ABCD中，一组对边AB=DC=4，另一组对边AD≠BC，对角线BD与边DC互相
垂直，M、N、H分别是AD、BC、BD的中点，且∠ABD=30°求：〔1〕MH的长〔2〕MN的长。
10.如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，
PE⊥BC，垂足为E， PF⊥CD，垂足为F，
求证：EF＝AP
11. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E,交BC于点F。
假设PE=PF,且AP+AE=CP+CF
〔1〕求证：PA=PC;
〔2〕假设AD=12,AB=15,∠DAB=60°,求四边形ABCD的面积.
12. 如图，在矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm，点A处有一动点E以1cm∕s的速度由点A向点B
运动，同时点C处也有一动点F以2cm∕s的速度由点C向点D运动，设运动的时间为x〔s〕，
四边形EBFD的面积为y〔cm2〕，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围。
13.如图在直角梯形ABCD中, AD∥BC, ∠B=90°AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P从A开场沿AD边向D以1cm/s的速度运动,动点Q从C开场沿CB向B以3cm/s的速度运动,P,Q分别从点A,C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停顿运动,设运动的时间t,t分别为何值时,四边形PQCD为平行四边形,等腰梯形
A
B
Q
C
D
P

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