傅里叶变换和拉普拉斯变换的性质及应用.docx

1.前言
1.1背景
利用变换可简化运算，比如对数变换，极坐标变换等。类似的，变换也存在于工程，技术领域，它就是积分变换。积分变换的使用，可以使求解微分方程的过程得到简化，比如乘积可以转化为卷积。什么是积分变换呢？即为利用含参变量积分，把一个属于A函数类的函数转化属于B函数类的一个函数。傅里叶变换和拉普拉斯变换是两种重要积分变换。傅里叶变换能够分析信号的成分，可以当做信号的成分的波形有很多，例如锯傅立叶变换是利用正弦波来作为信号的成分。（拉普拉斯）（1749-1827）在他的与概率论相关科学研究中引入，在他的一些基本的关于拉普拉斯变换的结果写在他的著名作品《概率分析理论》之中。即使在19世纪初，拉普拉斯变换已经发现，但是关于拉普拉斯变换的相关研究却一直没什么太大进展，直至一个英国数学家，物理学家，同时也是一位电气工程师的Oliver Heaviside奥利弗·亥维赛（1850-1925）在电学相关问题之中引入了算子运算，而且得到了不少方法与结果，对于解决现实问题很有好处，这才引起了数学家对算子理论的严格化的兴趣。之后才创立了现代算子理论。算子理论最初的理论依据就是拉普拉斯变换的相关理论，拉普拉斯变换相关理论的继续发展也是得益于算理理论的更进一步发展。这篇文章就是针对傅里叶变换和拉普拉斯变换的相关定义，相关性质，以及相关应用做一下简要讨论，并且分析傅里叶变换和拉普拉斯变换的区别与联系。

1.2预备知识
定理1.2.1（傅里叶积分定理）
若在（-∞，+∞）上，函数ft满足一下条件：
（1）在任意一个有限闭区间上面ft满足狄利克雷条件；
（2）-∞+∞ftdt<+∞，即ft在（-∞，+∞）上绝对可积；
则ft的傅里叶积分公式收敛，在它的连续点t处
12π-∞+∞-∞+∞f(τ)e-iωτdτeiωτdω=ft
在它的间断点t处
12π-∞+∞-∞+∞f(τ)e-iωτdτeiωτdω=ft+0+ft-02
定义1.2.1（傅里叶变换）
设函数ft满足定理1.2.1中的条件，则称-∞+∞e-iωtftdt 为ft的傅里叶变换，记作Fω＝-∞+∞e-iωtftdt。
定义1.2.2（傅里叶级数）
设函数ft的周期为T，则它的傅里叶级数为：
fTt=a02+n=1+∞ (ancosωt+bnsinωt)
上式中，
ω=2πT a0=-T2T2fTtdt
an=2T+-T2T2fTtcosnωtdt (n=1,2,3,⋯)
bn=2T+-T2T2fTtsinnωtdt (n=1,2,3,⋯)
定义1.2.3（傅里叶逆变换）
ft=12π-∞+∞e-iωtFωdω
定义1.2.4（拉普拉斯变换）
若函数ft满足0+∞e-stf(t)dt积分收敛，那么该积分记作
Ls=Lft=0+∞e-stftdt
式中s为复数，e-st为积分核，上式称为拉普拉斯变换.
定义1.2.5（拉普拉斯逆变换）
ft称为F(s)的拉普拉斯逆变换
ft＝L-1ft
定义1.2.6（卷积）
假如ƒ1(t)和ƒ2(t)是（-∞，+∞）上面有定义的函数，则
-∞+∞ ƒ1(τ) ƒ2(t-τ)dτ
称为ƒ1(t)和 ƒ2(t)的卷积，记为ƒ1(t)*ƒ2(t)
ƒ1(t)*ƒ2(t)＝-∞+∞ ƒ1(τ) ƒ2(t-τ)dτ

2.傅里叶变换的性质及应用
2.1傅里叶变换的性质
性质2.1.1（线性性质）
设α，β为常数，F1ω=F[ƒ1(t)]，F2ω=F[ƒ2(t)]则：
FαF1t+βF2t=αF1ω+βF2(ω)
F-1αF1ω+βF2ω=αF1t+βF2(t)
性质2.1.2（位移性质）
设F[ft]＝F(ω)，则
F[f(t±t0)]=e±jωt0F[f(t)]
F-1[f(ω∓ω0)]=e±jω0tF[f(t)]
性质2.1.3（微分性质）
设F(ω)＝F[ft]，ft在(﹣∞,﹢∞)连续或可去间断点仅有有限个，且lim|t|→+∞f(t)=0，则：
F[f't]=iωFω。
F[fnt]=iωnFω。
证明
由傅里叶变换的定义有
Ff't=-∞+∞f'te-iωtdt=-∞+∞e-iωtdf(t)=fte-iωt|+∞-∞+iω-∞+∞f(t)e-iωtdt=iωFω
性质2.1.4（积分性质）
设Fft=F(ω)，若，
limt→+∞-∞tf(t)dt=0
则：
F-∞tf(t)dt=F(ω)iω
证明
因为
-∞tf(t)dt'=ft，
故由微分性质得
Fω=jωF-∞tftdt，
即
F-∞tf(t)dt=F(ω)iω
定理2.1.1（卷积定理）
如果F1ω=Ff1t，F2ω=Ff2t，则有：
Ff1t*f2t=F1(ω)F2(ω)
F-1F1ω*F2(ω)=2πf1tf2t
证明
Ff1t*f2t=-∞+∞f1t*f2te-iωtdt=-∞+∞-∞+∞f1τf2t-τdτe-iωtdt=-∞+∞f1τdτ-∞+∞f2t-τe-iωtdt=-∞+∞f1τe-iωτ-∞+∞f2t-τe-iωt-τd(t-τ)dτ
=-∞+∞F2ωf1τe-iωtdτ=F1(ω)F2(ω)
性质2.1.6（Parseval恒等式）
如果有F(ω)＝Fft，则有
-∞+∞|ft|2dt=12π-∞+∞F(ω)2dω
这个式子又叫做Parseval等式。

2.2δ函数及其傅里叶变换
定义2.2.1（δ函数）
满足：
（1）δt=0， t≠0，∞，t=0，
（2）-∞+∞δtdt=1
的函数是δ函数。
定义2.2.2（δt-t0函数）
满足：
（1）δt-t0=0， t≠t0，∞，t=t0，
（2）-∞+∞δt-t0dt=1
的函数是δt-t0函数。
定义2.2.3（δ函数的数学语言表述）
δτt=1τ， 0≪t≪τ，0， 其他，
τ→0时，δτt的极限叫做δ函数，记作δt＝limτ→0δτt
定义2.2.4（δt-t0函数的数学语言表述）
δτt-t0=1τ， t0≪t≪t0+τ，0， 其他，
τ→0时，δτt-t0的极限叫做δt-t0函数，
记作δt-t0＝limτ→0δτt-t0
性质2.2.1（δ函数的筛选性质）
对任意连续函数ft，有
-∞+∞δtftdt=f0
-∞+∞δt-t0ftdt=ft0
性质2.2.2（δ函数的相似性质）
设a为实常数，则：
δat=1aδt （a≠0）
定义2.2.5（单位阶跃函数）
δ函数是单位阶跃函数在t≠0时的导数
δt=u'(t)
这里
u(t)=10 t≫0t<0
称为单位阶跃函数。
性质2.2.3（δ函数的傅里叶变换）
因为
Fδt=-∞+∞δte-iωtdt=e-iωt|t=0=1
Fδt-t0=-∞+∞δt-t0e-iωtdt=e-iωt|t=t0=e-iωt0
所以
δt F F-1 , 1， δt-t0 F F-1 , e-iωt0
即δt和1，δt-t0和e-iωt0分别构成了傅里叶变换对。
2.3傅里叶变换的应用
2.3.1求微分积分方程
依据傅里叶变换的性质2.1.1,2.1.3，对需要求解的微分方程的两边取傅里叶变换，把它转换成像函数的代数方程，根据这个方程求解得到像函数，接着继续取傅里叶逆变换即可以得到原方程的解，下图是此种解法的步骤，是解这种类型的微分方程的主要方法。

例2.3.1
求积分方程
0+∞gωsinωtdω=f(t)
的解g(ω)，其中
ft=π2sint， 0<t≤π 0， t>π
解 该积分方程可改写为
π20+∞gωsinωtdω=π2f(t)
π2f(t)为的傅里叶正弦逆变换，故有：
gω=0+∞π2gωsinωtdω=0πsintsinωtdt
=120πcos1-ωt-cos1+ωtdt=sinωπ1-ω2
例2.3.2
求积分方程
gt=ht+-∞+∞fτgt-τdτ，
其中ft，ht是已知函数，而且ft，gt，ht的傅里叶变换存在。
解 设Fgt=G(ω)，Fht=H(ω)。由定义1.2.6（卷积）可
知，方程右端第二项=ft*gt。故 对方程两边取傅里叶变换，
根据卷积定理可得：
Gω=Hω+Fω·Gω，
所以
Gω=Hω1-Fω。
求出原方程的解：
gt=12π-∞+∞Gωe-jωtdω=12π-∞+∞Hω1-Fωe-jωtdω
例2.3.3
求微分积分方程
ax't+bxt+c-∞txtdt=h(t)
的解，其中-∞<t<+∞，a，b，c均为常数， h(t)为已知函数
解 根据傅里叶变换的性质2.1.1（线性性质），性质2.1.3（微分性
质），性质2.1.4（积分性质），且记
Fxt=Xω，Fht=H(ω)
对原方程两边取傅里叶变换：
ajωXω+bXω+cjωXω=H(ω),
Xω=H(ω)b+jaω-cω.
而上式的傅里叶逆变换为
xt=12π-∞+∞Xωejωtdω=12π-∞+∞Hωb+jaω-cωejωtdω
2.3.2解偏微分方程
例2.3.4（一维波动方程的初值问题）
用傅里叶变换求定解问题：
∂2u∂t2=∂2u∂x2， -∞<x<+∞，t>0u|t=0=cosx， ∂u∂t|t=0=sinx，
解 由于未知函数u(x,t)中x的变化范围为(-∞，+∞)，
故对方程和初值条件关于x取傅里叶变换，记
Fux，t=Uω，t，
F∂2u∂x2=(jω)2Uω，t=-ω2Uω，t，
F∂2u∂t2=∂2∂t2Fux，t=d2dt2Uω，t，
Fcosx=π[δω+1+δω-1]，
Fsinx=πj[δω+1-δω-1]。
定解问题已经改变为求含参变量ω的初值问题：
d2Udt2=-ω2U，U|t=0=π[δω+1+δω-1]，dUdt|t=0=πj[δω+1-δω-1]。
Uω，t是一个关于t：
Uω，t=c1sinωt+c2cosωt。
由初值条件可知：
c1=πωjδω+1-δω-1，c2=π[δω+1+δω-1]。
因此初值问题的解为：
Uω，t=πωjδω+1-δω-1sinωt+πδω+1+δω-1cosωt=πcosωt+πωjsinωtδω+1+πcosωt-πωjsinωtδω-1。
对上面的解取傅里叶逆变换，根据性质2.2.4（δ函数的筛选性质）
原定解问题的解为：
ux,t= F-1Uω，t=12π-∞+∞πcosωt+πωjsinωtδω+1+πcosωt-πωjsinωtδω-1e-jωtdω=sintejx-e-jx2j+costejx+e-jx2=sintsinx+costcosx=cos⁡(t-x)

3.拉普拉斯变换的性质及应用
3.1拉普拉斯变换的性质
性质3.1.1（存在性）
假如在0,+∞)这个区间上f*(t)可以满足如下的条件：
(1)在任意的一个有限的区间上面f*(t)分段连续；
(2)∃M>0，M是常数，c0>0，使得
f*(t)<Mec0t，
则在半平面Re(s)>c0上，
0+∞f*(t)e-st
存在，由这个积分确定的Fs解析。
性质3.1.2（线性性质）
设k1，k2是常数，L[f1t]=F1s，L[f2t]=F2s，则：
L[k1f1t+k2f2t]=k1F1s+k2F2s.
L[k1F1s+k2F2s]=k1f1t+k2f2t.
性质3.1.3（微分性质）
若L[ft]=Fs，且f(n)(t)连续，则：
Ldftdt=sFs-f0 (Re s＞c).
更一般的，∀n∈Z+，有：
Lfnt=snFs-sn-1f0-sn-2f'0-…-fn-10 (Re s＞c)
更一般的，∀n∈Z+，有：
Lfnt=snFs-sn-1f0--sn-2f'0--…-fn-10-
证明
由拉普拉斯变换的定义，分部积分法得：
Ldftdt=0+∞dftdte-stdt
=fte-st|+∞0+s0+∞fte-stdt
=limt→+∞fte-st-f0+sFs
=sFs-f0
性质3.1.4（积分性质）
若L[ft]=Fs，则：
L[0tftdt]=Fss。
证明
令ht=0tftdt，则ht=ft，h0=0，则：
Lh't=sLht-h0=sLht，
L0tftdt=1sLft=Fss。
性质3.1.5（延迟性质）
若L[ft]=Fs，t＜0时ft=0，则∀τ＞0，τ为常数，有：
Lft-τ=e-sτFs
定理3.1.1（卷积定理）
如果F1s=L[f1t]，F2s=L[f2t]，那么
Lf1t*f2t=F1sF2s
或者
L-1F1sF2s=f1t*f2t
证明
由定义有：
Lf1t*f2t=0+∞f1t*f2te-stdt
=0+∞0tf1τf2t-τdτe-stdt
由于二重积分绝对可积，可交换积分次序：
Lf1t*f2t=0+∞f1ττ+∞f2t-τe-stdtdτ
令t-τ=u：
τ+∞f2t-τe-stdt=0+∞f2ue-su+tdu
=e-sτF2s
故：
Lf1t*f2t=0+∞f1τe-sτF2sdτ
=F2s0+∞f1τe-sτdτ
=F1sF2s

3.2应用
3.2.1解线性微分方程（组）

例3.2.1（线性微分方程）
求y'+y=ut-b (b>0)满足初始条件y0=y0 的特解
解对方程两端取拉普拉斯变换，得像方程
sYs-y0+Ys=1se-bs
于是
Ys=e-bss(s+1)+y0s+1
取逆变换，得
yt=[1-e-(t-b)]ut-b+y0e-t
=y0e-t， 0≪t<b1+y0-ebe-t， &t≥b
例3.2.2（常系数线性微分方程组）
求
x'+y+z'=1x+y'+z=0y+4z'=0
满足x0=y0=z0=0的解
解 设Lxt=X(s)，Lyt=Y(s)，Lzt=Z(s)。
对每个方程两侧取拉普拉斯变换，得像方程组：
sXs+Ys+sZs=1sXs+sYs+Zs=0Ys+4sZs=0
解得：
Xs=4s2-14s2(s2-1)，Ys=-1Ss2-1，
Xs=14s2(s2-1)。
对每个像函数取逆变换：
xt=L-14s2-14s2(s2-1)=14L-13s2-1+1s2
=14(3sh t+t)
yt=L-1-1s(s2-1)=L-11s-ss2-1
=1-ch t
zt=L-114s2(s2-1)=14L-11s2-1-1s2
=14(sh t-t)
例3.2.3（变系数线性微分方程组）
求
tx''+1-nx'+x=0 (t>0，n≥0)
满足x0=x'0=0的解
解 由性质3.1.3（微分性质）可知
Ltx''=-ddsLx''
=-ddss2Xs-sx0-x'0
=-2sXs-s2X's
对原方程两边做拉普拉斯变换得：
s2X's+1+ns-1Xs=0
解这个分离变量方程：
Xs=csn+1e-1s
将Xs展开为收敛的幂级数，而后逐项取拉普拉斯变换：
xt=ctn2Jn(2t)

4.傅里叶变换和拉普拉斯变换的关系
对于函数，设时，f(t)≡0,当β足够大时，函数即
Ffte-βt=-∞+∞fte-βte-iωtdt=0+∞fte-(β+iω)tdt
再根据傅立叶逆变换可得
fte-βt=12π-∞+∞F[fte-βt]e-iωtdω
记s=β+iω，F(s)=F[fte-βt]，注意到ds=idω，于是可得
Fs=0+∞fte-stdt，ft=12πiβ-i∞β+i∞F(s)estds
当Res=0，实际上就是的傅里叶变换，所以在一些时候把傅引入β的缘故是：不一而fte-βt在β足够大时能够符合傅里叶变换的条件。的拉普拉斯变换的本质是fte-βt的傅里叶变换，对于来说，数（原函数乘以指数衰减函数项），分因子（ds=idω），这种变换就是的拉普拉斯变换。注意这时s=β+iω，ω，而是一个复数(包含频率ω)的s。
斯变换的特例，里叶变换要宽，

总结

本文先介绍了一些傅里叶变换的基础知识，先后介绍了两种不变换的性质，对重要的性质或定理进行了证明，并且介绍了两种变换的应用，列举了一些立体加以说明，最后总结了一下两种变换的关系。
这两种变换都具有线性性质，微分性质，积分性质，卷积定理，等。都可以可用于解微分，积分方程。应用十分广泛，可以简化有些计算。两种变换的相关理论应用是一个广泛的领域，将来可能会有更多精彩的应用，希望大家通过这篇论文，对进一步研究这两种变换产生兴趣，将它们运用到更多地方。

参考文献
[1]苏变萍，陈东立.2010.复变函数与积分变换.2版.背景：高等教育出版社
[2]蔺小林，白云霄，王晓琴，岳宗敏，胡明昊.2016.复变函数与积分变换.1版.北京：科学出版社
[3]河北科技大学理学院数学系.2014.复变函数与积分变换.1版.北京：清华大学出版社
[4]Hansen, Eric W. (Eric William).2015.Fourier transforms: principles and applications, with an introduction to complex analysis.Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons Inc