第21讲三角函数的定义教案.doc

第21讲 三角函数的定义、图像和性质
本专题涉及到任意角的三角函数定义、同角三角函数关系、诱导公式；三角函数的图像及其变换和三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等性质，三角函数的定义是三角函数系列知识的源头．
A类例题
例１ 角的终边分别是和，过点，且，和关于直线对称，则角的集合是( )
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
(2001年第12届“希望杯”全国数学邀请赛)
分析 根据角的终边所在的象限确定选项．
解 由知位于第二象限，从而点关于直线的对称点在第四象限，即角是第四象限角．故选()．
例2 若是周期为的奇函数，则可以是( )
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
(1999年全国高考卷)
分析 采用分析验证和用定义求解的方法．
解法一(分析验证) 因为是奇函数且不恒为零，所以必须是偶函数，由此排除项，进而验证知选项满足题意．故选()．
解法二(定义求解) 依题意函数满足
，由的任意性得
，
所以，即函数是周期为的偶函数，只能选
说明 作为选择题解法一直接简明，而解法二揭示了问题的本质，在此基础上可以构造出无数个满足题意的．
例３ 示波器荧屏上有一正弦波，一个最高点在，和相邻的最低点，则这个正弦波对应的函数是 ．(2003年第14届“希望杯”全国数学邀请赛)
分析　设出其解析式，利用正弦函数图像的性质求解．
解 设，由正弦函数图像的性质可得振幅，周期，频率，，将坐标代入，得初相，故所求表达式为
．
说明 在本题中函数的表达式不唯一．
情景再现
1．方程在区间上解的个数是( )

２． 当，求函数的最大值和最小值．
３．函数的图象和直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是．

B类例题
例４　方程的实根有多少个?
分析 仅仅判断根的个数，基本方法是利用函数的图像数形结合求解．
解 原方程实根的个数即为两个函数和图像的交点的个数．
由于，所以只需考虑．
(1)当时，由于函数的最小正周期是，所以在其范围内函数的图像出现两次，在轴下方有四个交点;
(2)当时，其范围的长度是周期的倍，由于时所以有个交点;
(3) 时两个函数也有一个交点．
综上所述原方程共有个实根．
说明 利用函数的图像来确定某些特殊的非常规方程的实根个数是一条十分重要的途径．在“数形结合”时，特别强调“以数定形”，如方程的解只有一个（当时，）．
例５　在平面直角坐标系中，函数在一个最小正周期长的区间上的图像和函数的图像所围成的封闭图形的面积是 ．(2004年全国高中数学联赛)
分析 利用正弦函数图像的对称性补形转化求解．
解　，它的最小正周期为，振幅为．由的图像和的图像围成的封闭形的对称性，可将该图形割补成长为，宽为的长方形，故它的面积为．
例６ 若，则的最大值是　　 ．(2003年全国数学联赛)
分析 化弦后利用单调性求解．
解
，由于函数的每一部分在给定区间上都是增函数，所以当时取最大值为．
例７ 已知函数是R上的偶函数，其图像关于点对称，且在区间是单调函数，求和的值．
分析 运用三角函数对称的特征求解，也可用偶函数和关于点对称的定义求解．
解法一　 由偶函数关于轴对称，知当时函数取最大值或最小值，所以又所以;另一方面函数的图像关于点对称，此点是函数图像和轴的一个交点，所以当，，即，，．
当时，在上是减函数;
当时，在上是减函数;
当时，在上不是减函数．
综上所述或．
解法二　由是偶函数，得
即，所以对任意都成立，只能是，又，所以．
由的图像关于点对称，得，令得，以下同解法一．
例８．已知R，且
，则 ．
分析 构造函数用单调性求解，或利用函数的奇偶性和函数图像特征求解．
解法一 由已知得，
现构造函数，由此得，而函数在上是增函数，所以有，即．
解法二 记，，于是，又分别是R上的增函数，所以它们的图像和轴只有一个交点，而
，
即，
所以函数和的图像关于原点对称，那么它们的交点也关于原点对称．
记的根分别是，则，
所以．
情景再现
４．函数的最小正周期是 ．
５．已知R，则函数
的最大值和最小值的和是 ．
６．若函数在区间上至少出现次最大值，则的最小值是 ．

C类例题

例９． 两个周期函数的最小正周期分别为，且，其中．如果函数的最小正周期为，那么下列种情形：①，　②，　③，　④，　　⑤．可能出现的情形是　　　　　　　　．（填写序号）
分析 周期是三角函数的重要性质，构造三角函数回答．
解　由题意知是的周期，所以，情形④不可能出现；由知如果，那么也是的最小正周期，矛盾，所以情形②不可能出现；其它三种情形都有可能出现．下面的例子说明其它三种情形是可能的：取，则其最小正周期是．令，此时；令，此时；令，此时．
所以可能出现的情形是①③⑤

例1０． 函数，当
时的最大值和参数有关，问取什么值时为最小?证明你的结论(1983年全国数学联赛)
分析 在是最大值的前提下通过特殊值构造不等关系， 并结合函数图像直观分析．
解法一(数形结合分析)（1）若，则当时，的最大值M为．
（2）若，，此时
（3）若，，若时，
>，此时；若时，，此时也有．
（4）若如图，直线必有一部分在第一或第四象限，和射线中至少一条相交，交点处两函数和函数值同号，其和的绝对值必小于，因此也有．
说明 问题的关键就是考察三个函数值的值，从而得：
解法二　由，将这三个函数值综合起来考虑．
当时同上，当A≠0时讨论如下：
（1）若<0，则；
（2）若≥0，和至少有一个大于0，即或至少有一个成立，因此总有．
从而当且仅当时，，其他情况下均有．
情景再现
７．已知当时，不等式恒成立，试求的取值范围．（1999年全国高中数学联赛题）
习题
１． 若角是第四象限的角，则是( )
Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限
２．关于函数　，有下列命题：
①是以为最小正周期的函数；
②的表达式可以改写为；
③的图像关于点对称；
④的图像关于直线对称．
其中正确的命题的序号是．（注：把你认为正确的命题的序号都填上．）
３．若是锐角的两个内角，则点在第　　　　　象限．
４．设是定义域为R，最小正周期为的函数，若
，则的值是　　　　　．
５．设关于的方程，其中，则该方程实根的最大值是　　　　　　，实根的最小值是　　　　　．
６．关于角的函数，当时恒大于，则实数的取值范围是　　　　　　　．
７．已知函数满足
．
若，则和的大小关系是
　　　　　　　　　　　．
８．已知函数，在下列条件中分别求实数的值．
(1)函数图像关于原点对称;
(2)函数图像关于直线对称．
９．设分别是方程和在区间上的解，确定的大小关系．
１０．三个数，且满足，，，按从小到大的顺序排列这三个数．（16届全苏竞赛题）
１１．已知集合是满足下列性质的函数的全体;
存在非零常数，对任意，有成立．若函数,求实数k的取值范围．
１２．已知：定义在R上的函数为奇函数，且在上是增函数．
若不等式对任意恒成立．求实数的取值范围．
本节“情景再现”解答：
1．解 本题实质是函数周期性的应用．函数的最小正周期，而区间长度是，是周期的倍，而正切函数在每个周期内是单调的，故解的个数为．选．
２．解 化成一个角的一个三角函数形式，用函数的单调性求解．
，，由及正弦函数的单调性知其最大值为，最小值为．
３．解，作出其图像，可知有两个交点时的的范围为．
４．解
．
所以函数的最小正周期为．
５．解 注意到
，显然的最大值为，可以通过作出和的图像得到的最小值是，在时取得，而此时的值为，所以的最小值是，从而最大值和最小值的和是．
６．解 函数在一个周期内只能取得一个最大值，其图像从原点开始并注意到可在端点处取到最大值，所以在区间内至少有周期再加个周期，由得，即的最小值是．
７．解设， 则由时恒成立，有，， ，当时，，令，则，，故，即，且，所求范围是：
反之，当时，有，且，于是只要，必有恒成立．

“习题”解答：
１．解 利用诱导公式推导的方法确定选项．
角和角的终边关于轴对称，所以角的终边在第一象限，又角和角的终边关于原点对称，所以角的终边在第三象限．
故选()．
２．解　作出函数的图像，由其直观性可知正确命题的序号是②③
３．解　由正弦函数的单调性和诱导公式求解．因为是锐角三角形，所以，即，所以，
，点应在第二象限．
４．解　由周期性和诱导公式求解．
．
５．解　数形结合求解．设两实根分别为，则
，于是，又由知．
于是满足条件且的点在如图所示的弧或上．
由此可知实根的最大值为，实根的最小值是
６．解　可以转化为二次函数求最小值，由最小值大于求出的范围．现用分离变量的方法求解．
由，
得，而，由基本不等式得其最大值是，故．
７．解　发现函数的周期性，运用周期变换求解．
由得，两式相加得，即得，从而可知是以为周期的函数，所以
，即和的大小关系是．
８．解　，其中，
(1)关于原点对称则有，所以;
(2)关于直线对称则有，即，所以．
９．解　构造函数，运用其单调性求解．
记，因为，[
，所以在上有根，又在上单调递减，所以在上的根是唯一的．
同样记，由及在上单调递减，所以在上的根存在且是唯一的．
由两边取得　[
由于的解是唯一的，所以，
故．
１０．解　运用单调性结合分类讨论求解．
（1）若，则，但由，故有矛盾，即a≠b．
（2）若，则由单调性可知，又由及题意可得，而，因此又可得，从而产生矛盾．
因此．
类似地，若，则由题意可得，从而可得和矛盾；若，则，即，，即矛盾．
综上可得：．
１１．解　运用等式恒成立的条件求解．
当时，显然；
当时，因为所以存在非零常数
对任意，有
成立，即对恒成立．
即，
恒成立，由等式恒成立知只能有
，且，从而，进而求得．
本题也可用特殊值求解．
１２．解　先证明函数在上是增函数，运用单调性去掉后转化为不等式恒成立求解．
设，且，则，且．
∵在上是增函数，∴
又为奇函数∴．∴在上也是增函数．
即函数在和上是增函数，且在R上是奇函数，所以在上是增函数．
∵，
∴，，
，，
。
∵当时，的最大值为，
∴当时，不等式恒成立．