江苏省盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学试题-Word版含答案.doc

盐城市2018届高三年级第三次模拟考试
数 学 试 题
(总分160分，考试时间120分钟)
注意事项：
　　1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷．
　　2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
　　3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
参考公式：
锥体体积公式：，其中为底面积,为高.
圆锥侧面积公式：，其中为底面半径,为母线长.
样本数据的方差，其中.
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．已知，，若，则实数的取值范围为 ▲ ．
2．设复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为 ▲ ．
3．设数据的方差为1，则数据的方差为 ▲ ．
开始
k←0
S←0
S＜20
k←k＋2
S←S＋2k
Y
N
输出S
结束
第6题图
4．一个袋子中装有2个红球和2个白球（除颜色外其余均相同），
现从中随机摸出2个球，则摸出的2个球中至少有1个是红球
的概率为 ▲ ．
5．“”是“”成立的 ▲
条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既
不充分又不必要”）．
6．运行如图所示的算法流程图，则输出S的值为 ▲ ．
7．若双曲线的两条渐近线与抛
物线交于三点，且直线经过抛物
线的焦点，则该双曲线的离心率为 ▲ ．
8．函数的定义域为 ▲ ．
9．若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为 ▲ ．
10．已知函数为偶函数，且其图象的两条相邻对称轴间的距离为，则的值为 ▲ ．
第12题图
A
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
11．设数列的前项和为，若，
则数列的通项公式为 ▲ ．
12．如图，在中，已知，，
，点分别为边的7等
分点，则当时，的最大值
为 ▲ ．
13．定义：点到直线的有向距离为．已知点,，直线过点，若圆上存在一点，使得三点到直线的有向距离之和为0，则直线的斜率的取值范围为 ▲ ．
14．设的面积为2，若所对的边分别为，则的最小值
为 ▲ ．

二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．(本小题满分14分)
A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
M
N
第15题图
在直四棱柱中，已知底面是菱形，分别是棱的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面平面．

16．(本小题满分14分)
在中，角的对边分别为，为边上的中线．
（1）若，，，求边的长；
（2）若，求角的大小．

17．(本小题满分14分)
如图，是一个扇形花园，已知该扇形的半径长为400米，，且半径平分．现拟在上选取一点，修建三条路,,供游人行走观赏，设．
（1）将三条路,,的总长表示为的函数，并写出此函数的定义域；
A
O
B
C
P
α
第17题图
（2）试确定的值，使得最小．

18．(本小题满分16分)
如图，已知分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，且轴．
（1）求椭圆的方程；
（2）设圆．
①设圆与线段交于两点，若，且，求的值；
O
P
F1
F2
y
x
第18题图
②设，过点作圆的两条切线分别交椭圆于两点（异于点）．试问：是否存在这样的正数，使得两点恰好关于坐标原点对称？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

19．(本小题满分16分)
若对任意实数都有函数的图象与直线相切，则称函数为“恒切函数”．设函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）已知函数为“恒切函数”．
①求实数的取值范围；
②当取最大值时，若函数也为“恒切函数”，求证：．
（参考数据：）

20．(本小题满分16分)
在数列中，已知，满足是等差数列（其中），且当为奇数时，公差为；当为偶数时，公差为．
（1）当，时，求的值；
（2）当时，求证：数列是等比数列；
（3）当时，记满足的所有构成的一个单调递增数列为，试求数列的通项公式．
盐城市2018届高三年级第三次模拟考试
数学附加题部分
（本部分满分40分，考试时间30分钟）
21．[选做题]（在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）
A.（选修4-1：几何证明选讲）
如图，已知半圆的半径为5，为半圆的直径，是延长线上一点，过点作半圆的切线，切点为，于．若，求的长．

A
B
P
C
D
O
·
第21（A）图

B.（选修4-2：矩阵与变换）
已知矩阵的属于特征值1的一个特征向量为，求矩阵的另一个特征值和对应的一个特征向量．

C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系（单位长度相同），设曲线的极坐标方程为，求直线被曲线截得的弦长．

D．(选修4-5：不等式选讲）
已知正数满足，求的最小值．

[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）
22．（本小题满分10分）
某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是．
（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；
（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的概率分布和数学期望．

23．（本小题满分10分）
（1）已知，比较与的大小，试将其推广至一般性结论并证明；
（2）求证：．
盐城市2018届高三年级第三次模拟考试
数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1． 2． 3．4 4． 5．充分不必要 6．21 7．
8． 9． 10． 11． 12． 13． 14．
二、解答题：本大题共90小题.
15．（1）证明：连接，在四棱柱中，因为，，
所以，所以为平行四边形，所以． ……2分
又分别是棱的中点，所以，所以． ……4分
A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
M
N
又平面，平面，
所以∥平面． ……6分
（2）证明：因为四棱柱是直四棱柱，
所以平面，而平面，
所以． ……8分
又因为棱柱的底面是菱形，所以底面也是菱形，
所以，而，所以．……10分
又，平面，且，
所以平面． ……12分
而平面，所以平面平面． ……14分
16．解：（1）在中，因为，所以由余弦定理，
得． ……3分
故在中，由余弦定理，得，
所以． ……6分
（2）因为为边上的中线，所以，所以
，得． ……10分
则，得，所以． ……14分
17．解：（1）在中，由正弦定理，得，
即，从而，． ……4分
所以＝，
故所求函数为，． ……6分
（2）记，
因为
， ……10分
由，得，又，所以． ……12分
列表如下：

－
0
＋

递减
极小
递增
所以，当时，取得最小值．
答：当时，最小． ……14分
18．解：（1）因点是椭圆上一点，且轴，所以椭圆的半焦距，
由，得，所以， ……2分
化简得，解得，所以，
所以椭圆的方程为． ……4分
（2）①因，所以，即，
所以线段与线段的中点重合（记为点），由（1）知， ……6分
因圆与线段交于两点，所以，
所以，解得， ……8分
所以，故. ……10分
② 由两点恰好关于原点对称，设，则，不妨设，
因，，所以两条切线的斜率均存在，
设过点与圆相切的直线斜率为，则切线方程为，
即，由该直线与圆M相切，得，即，……12分
所以两条切线的斜率互为相反数，即，
所以，化简得，即，代入，
化简得，解得（舍），，所以， ……14分
所以，，所以，
所以.
故存在满足条件的，且． ……16分
19．解：（1）， ……2分
当时，恒成立，函数在上单调递减；
当时，由得，由得，由得，
得函数在上单调递，在上单调递增． ……4分
（2）①若函数为“恒切函数”，则函数的图像与直线相切，
设切点为，则且，即，.
因为函数为“恒切函数”，所以存在，使得，，
即， 得，，设， ……6分
则，，得，，得，
故在上单调递增，在上单调递减，从而，
故实数的取值范围为． ……8分
②当取最大值时，，，，，
，因为函数也为“恒切函数”，
故存在，使得，，
由得，，设， ……10分
则，得，得，
故在上单调递减，在上单调递增，
1°在单调递增区间上，，故，由，得；…12分
2°在单调递减区间上，，
，又的图像在上不间断，
故在区间上存在唯一的，使得，故，
此时由，得
，
函数在上递增，，，故．
综上1°2°所述，． ……16分
20．解：（1）由，，所以，为等差数列且公差为，所以，
又为等差数列且公差为，所以． ……2分
（2）当时，是等差数列且公差为，
所以，同理可得， ……4分
两式相加，得；
当时，同理可得， ……6分
所以．又因为，所以，
所以数列是以2为公比的等比数列． ……8分
（3）因为，所以，由（2）知，
所以，
依次下推，得，
所以， ……10分
当时，，
由，得，所以，
所以（为奇数）； ……12分
由（2）知，
依次下推，得，
所以， ……14分
当时，，
由，得，所以．
所以（为偶数）．
综上所述，． ……16分
方法二：由题意知，， ……10分
当为奇数时，的公差为，的公差为，
所以，，
则由，得，即．
同理，当为偶数时，也有．故恒有． ……12分
①当为奇数时，由，，相减，得，
所以
．……14分
②当为偶数时，同理可得．
综上所述，． ……16分

附加题答案
A
B
P
C
D
O
·
21．（A）解：连，因为半圆的切线，
所以．又，
所以∽，所以，
即． ……5分
因为半圆的直径，所以，
因半圆的半径为5，所以，所以，
由射影定理，得，解得，所以． ……10分
（B）解：由题意得，解得，所以． ……2分
矩阵的特征多项式为，
由，得，所以矩阵的另一个特征值为2． ……6分
此时，对应方程组为，所以，
所以另一个特征值2对应的一个特征向量为． ……10分
（C）解：直线的普通方程为；由，
得曲线的普通方程为， ………………………5分
所以，所以直线被曲线截得的弦长为． ……10分
（D）解：根据柯西不等式，有，
因，所以， ……5分
当且仅当时等号成立，解得，
即当时，取最小值． ……10分
22．解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为． ……4分
（2）因为每人可被录用的概率为，所以，
，，．
故的概率分布表为：

0
1
2
3

…………8分
所以，的数学期望． ……10分
23．解：（1），
因为，，所以，则，
所以，即．
所以，当且仅当，即时等号成立． ……2分
推广：已知,()，则．
……………………………4分
证明：①当时命题显然成立；
当时，由上述过程可知命题成立；
②假设时命题成立，
即已知,()时，
有成立，
则时，，
由，可知，
故，
故时命题也成立．
综合①②，由数学归纳法原理可知，命题对一切恒成立． ……6分
（注：推广命题中未包含的不扣分）
（2）证明：由（1）中所得的推广命题知
①， …8分
记，
则，
两式相加，得，
，故 ②，
又 ③，
将②③代入①，得，
所以，，证毕． ……10分

15