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数学（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.定义：.已知复数，则在复平面内，复数所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.在菱形中，，分别是的中点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
4.已知正六边形中，分别是边的中点，则向正六边形内投掷一点，该点落在内的概率为（ ）
A． B． C. D．
5.割圆术是公元三世纪我国古代数学家刘徽创造的一种求圆的周长和面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.刘徽就是大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法求出了圆周率.某同学利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个计算圆周率的近似值的程序框图如图，则输出的值为（ ）
（参考数据：）
A． B． C. D．
6.已知，则的值为（ ）
A． B． C. D．
7.已知函数的部分图象如图所示，其中，，点是最高点，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．若点的横坐标为，则其纵坐标为
C.函数在上单调递增
D．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象
8.已知函数，函数为偶函数，且时，，现有如下命题：
①，；②，.
则上述两个命题（ ）
A．①真②假 B．①假②真 C.①、②都假 D．①、②都真
9.已知数列的前项和为，且是的等差中项，且，则的值为（ ）
A．129 B． C.83 D．
10.如图，在四面体中，，点是点在平面上的投影，且，则四面体的外接球的体积为（ ）
A． B． C. D．
11.已知双曲线的左、右顶点分别为，过左顶点且斜率为1的直线与双曲线交于，两点，过右顶点且与直线平行的直线与双曲线交于两点，其中分别在第一象限、第三象限.若四边形的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C. D．
12.设是定义在区间上的函数，满足，则（ ）
A． B．
C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.的展开式中，常数项为 ．
14.已知抛物线上的第四象限的点到焦点的距离为，则点到直线的距离为 ．
15.已知实数满足，则的取值范围为 ．
16.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，是该四棱锥的体积为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
已知等差数列的公差为，若，且成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，数列的通项公式为，求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）
如图所示，在中，分别是上的点，若.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）记的面积为，四边形的面积为.若，求的最大值.
19.（本小题满分12分）
已知三棱柱中，底面三角形是直角三角形，四边形和四边形均为正方形，分别是的中点，.
（Ⅰ）若，证明：；
（Ⅱ）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
20.（本小题满分12分）
为了解居民对某公司网上超市的“商品评价”与“服务评价”是否相关，某研究人员随机抽取了200名消费者做调查，得到的数据如下表所示：
对服务满意
对服务不满意
合计
对商品满意
80
对商品不满意
10
合计
50
200
（Ⅰ）完成上述联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过的前提下，认为“商品评价”与“服务评价”有关；
（Ⅱ）将频率视为概率，某人在该公司网上超市进行了4次购物，设其对商品和服务全满意的次数为随机变量，求的分布列和数学期望.
21.（本小题满分12分）
如图，为坐标原点，椭圆的离心率为，以椭圆的长轴长、短轴长分别为两邻边长的矩形的面积为8.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若是椭圆上的点，且圆与直线相切，，求圆的半径.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）求证：.
天一大联考
2016-2017学年高中毕业班阶段性测试（三）
数学（理科）·答案 A卷
一、选择题
1.【答案】A
【命题意图】 本题考查不等式的解法、集合的基本运算，着重考查学生的基本运算能力以及逻辑推理能力.
【解析】 依题意，，，故，故选A.
2.【答案】A
【命题意图】 本题考查复数的除法运算、复数的几何意义，着重考查学生的基本运算能力.
【解析】 依题意.故在复平面内，复数所对应的点为，位于第一象限，故选A.
3.【答案】D
【命题意图】 本题考查平面向量的加减运算和数量积，考查运算求解能力和数形结合思想.
【解析】） 依题意，
，故选D.
4.【答案】B
【命题意图】 本题考查几何概型，考查应用意识以及运算求解能力.
【解析】 依题意，设正六边形的边长为1，则是边长为的正三角形，可得的面积，正六边形的面积，故所求概率，故选B.
5.【答案】C
【命题意图】 本题考查算法循环结构，考查数学文化、阅读理解、数形结合能力.
【解析】 模拟执行程序，可得，不满足条件，，不满足条件；，不满足条件；，，满足条件，退出循环，输出的值为，故答案为C.
6.【答案】C
【命题意图】 本题考查诱导公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系，着重考查运算求解能力.
【解析】） 依题意，，故.
，
故，故选C.
7.【答案】C
【命题意图】 本题考查三角函数的图象与性质，着重考查运算求解能力以及数形结合思想.
【解析】 依题意，，故，将代入
中，因为，故，故A正确；此时，则，故B正确；函数在上单调递减，故C错误；因为，故D正确，综上所述，故选C.
8.【答案】B
【命题意图】 本题考查函数的性质，着重考查化归与转化思想.
【解析】 依题意，函数为奇函数，且在上为减函数，故，，故①错误；依题意，，当时，，即，故②正确，综上所述，故选B.
9.【答案】D
【命题意图】 本题考查等比数列的定义、求和公式、等差中项，着重考查化归与转化思想以及基本运算能力.
【解析】 依题意，，即，故，即，故该数列从第二项起成等比数列，由，可解得，故，故选D.
10.【答案】A
【命题意图】 本题考查球的体积公式，考查空间想象能力与运算求解能力.
【解析】 因为，故，，故 ，，易知四面体的外接球的球心在线段上，故，故，
解得，故四面体的外接球的体积为，故选A.
11.【答案】B
【命题意图】 本题考查双曲线的方程与性质，着重考查学生的数形结合能力以及化归转化思想卡萨布兰卡
【解析】 如图所示，设直线与双曲线的交点的坐标为，因为，结合双曲线的对称性可知，四边形为平行四边形，故，故，代入中，解得，将代入双曲线的方程中，有，解得，故，故选B.
12.【答案】D
【命题意图】 本题考查导数的应用和构造函数，着重考查创新意识和转化与化归思想.
【解析】 由得，由可得
，则在区间上单调递增，从而
，即，由可得，则在区间上单调递减，从而
，即，综上，故选D.
二、填空题
13.【答案】
【命题意图】本题考查二项式定理，着重考查运算求解能力和应用意识.
【解析】依题意，展开式中的常数项为.
14.【答案】
【命题意图】本题考查抛物线的定义与方程、点到直线的距离公式，着重考查运算求解能力.
【解析】依题意，，解得到直线折距离为.
15.【答案】
【命题意图】本题考查线性规划，着重考查应用意识和数形结合思想.
【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示，表示点与平面区域内的点的连线的距离的平方，比较可知，点到直线的距离最小，为，点到的距离最大，为，故的取值范围为.
16.【答案】
【命题意图】本题考查三视图，锥体的体积公式，着重考查学生的运算求解能力以及空间想象能力.
【解析】作出该四棱锥的直观图，如图中所示，观察可知，该四棱锥的体积.
三、解答题
17.【命题意图】本题考查等差数列的基本公式，等比中项，错位相减法，着重考查学生的基本运算能力以及化归与转化思想.
故，
，……………………………………6分
∴
，………………………………9分
∴.………………………………10分
18.【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式、基本不等式，着重考查运算求解能力和转化与化归思想.
【解析】（Ⅰ）依题意，，解得，………………3分
由，解得.…………………………5分
（Ⅱ）依题意，，因为，故.………………7分
设，，
又，故，……………………9分
故，即，
故，故，故，……………………11分
当且仅当时等号成立，故的最大值为36.…………12分
19.【命题意图】本题考查空间位置关系的判断与证明，求二面角，着重考查学生的空间想象能力以及化归与转化思想.
【解析】（Ⅰ）方法一：取的中点，连接，，故，且，
又，且，故且，故四边形为平行四边形，故且.………………………………3分
下面证明：
依题意，又是直角三角形，所以，又，，故，故.
因为，故，故，故.
因为，故，
因为，故.…………………………6分
方法二：因为四边形和四边形均为正方形，故，因为三角形是直角三角形，故.…………………………2分
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，，，，，.
故，，，即，……………………4分
又，故，即，
因为，故.…………………………6分
（Ⅱ）易知平面的一个法向量，设面的法向量为，
∵，∴点的坐标为.………………8分
∵，，，∴，
即，令，则，…………………………11分
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.…………12分
20.【命题意图】本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列以及期望，着重考查数据处理能力及应用意识.
【解析】（Ⅰ）所求列联表如下：
对服务满意
对服务不满意
合计
对商品满意
80
40
120
对商品不满意
70
10
80
合计
150
50
200
………………………………………………2分
的观测值，………………………………5分
所以可以在犯错误概率不超过的前提下，认为商品评价与服务评价有关.………………6分
（Ⅱ）每次购物时，对商品和服务都满意的概率为，且的取值可以是0，1，2，3，4.…………7分
其中；；
；；
.……………………………………10分
的分布列为：
0
1
2
3
4
由于，所以.…………………………12分
21.【命题意图】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的综合性问题，着重考查运算求解能力及数形结合思想.
【解析】（Ⅰ）依题意可知，………… ……………………2分
解得.…………………………………………4分
∴椭圆的方程为.…………………………6分
（Ⅱ）设，由条件可得直线的方程为，由直线与圆相切，可得，由此可得，………………………………7分
同理可得，所以是方程的两个不相等实根，……………………………………9分
由根与系数的关系得，…………………………10分
又，由此得，即，结合得，.……12分
22.【命题意图】本题考查导数的几何意义，导数的应用，着重考查运算求解能力，函数与方程思想以及转化与化归思想.
【解析】（Ⅰ）依题意，故，…………………………2分
又，故曲线在点处的切线方程为.……………………4分
（Ⅱ），
令，于是问题转化为在上恒成立，…………5分
易知，设，则①，
令，则，由，得，
当时，，当时，，
∴函数在上递减，在上递增，
∴当时，，当时，，
∴都有，即②.………………………… 8分
由①②知当时，，
∴函数在上递增，
∴当时，，当时，，
∴函数在上递减，在上递增，
∴当时，③，当时，④，…………11分
由③④知，都有⑤，当且仅当时，不等式⑤取等号，
∴.…………………………………………12分
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