北京市西城区2016届高三二模考试数学文试题含答案.doc

北京市西城区2016年高三二模试卷
数 学（文科） 2016.5
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 设全集，集合，，则集合（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
2. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
3. 设，满足约束条件 则的最大值是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
4．执行如图所示的程序框图，如果输出的，那么判断框内应填入的条件是（ ）
否
输出
是

开始

结束
（A）
（B）
（C）
（D）
5. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若，，，则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
6. “”是“曲线为焦点在x轴上的椭圆”的（ ）
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
7.某市家庭煤气的使用量x（m3）与煤气费(元) 满足关系 已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表：
月份
用气量
煤气费
一月份
4 m3
4 元
二月份
25 m3
14 元
三月份
35 m3
19 元
若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为（ ）
（A）11.5元
（B）11元
（C）10.5元
（D）10元
8. 设直线：，圆，若在直线上存在一点M，使得过M的圆C的切线，（为切点）满足，则的取值范围是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9. 已知复数，则在复平面内，z对应点的坐标为_____.
10. 设平面向量满足，，则向量夹角的余弦值为_____.
11. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为_____.
2
正（主）视图
侧（左）视图
俯视图
1
1
2

12．设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为，则其离心率为____；若点在C上，则双曲线C的方程为____.
13. 设函数 那么____；若函数有且只有两个零点，则实数的取值范围是_____.
14. 在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”与“专家评分”两个角度来进行评优. 若A电影的“点播量”与“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影. 已知共有5部微电影参展，如果某部电影不亚于其他4部，就称此部电影为优秀影片. 那么在这5部微电影中，最多可能有____部优秀影片.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知函数.
（Ⅰ）求函数的定义域与最小正周期；
（Ⅱ）当时，求函数的值域.
16．（本小题满分13分）
已知数列的前n项与满足，其中.
（Ⅰ）求证：数列为等比数列；
（Ⅱ）设，求数列的前n项与.
17．（本小题满分14分）
如图，在周长为8的矩形中，分别为的中点. 将矩形沿着线段折起，使得. 设为上一点，且满足平面.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：为线段的中点；
（Ⅲ）求线段长度的最小值.
D C C

F E
G
A B
D C C

F E

A B

18．（本小题满分13分）
某中学有初中学生1800人，高中学生1200人. 为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”与“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：，，，，，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
O
时间(小时)

10 20 30 40 50
0.005
0.025
0.030

0.035
高中生组
O
时间(小时)

10 20 30 40 50
0.005
a

初中生组
0.020
0.040

（Ⅰ）写出的值；
（Ⅱ）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；
（Ⅲ）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，求至少抽到1名高中生的概率.
19．（本小题满分13分）
已知函数．
（Ⅰ）若，求a的值；
（Ⅱ）设，若对于定义域内的任意，总存在使得，求a的取值范围.
20．（本小题满分14分）
已知抛物线：，过点的动直线l与相交于两点，抛物线在点A与点B处的切线相交于点Q，直线与x轴分别相交于点.
（Ⅰ）写出抛物线的焦点坐标与准线方程；
（Ⅱ）求证：点Q在直线上；
（Ⅲ）判断是否存在点P，使得四边形为矩形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
北京市西城区2016年高三二模试卷参考答案及评分标准
高三数学（文科） 2016.5
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．B 2．C 3．B 4．C
5．B 6．D 7．A 8．C
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9． 10．
11．3 12．
13． 14．5
注：第12，13题第一问2分，第二问3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：函数的定义域为，且. ……………… 2分
又因为
……………… 3分
……………… 7分
， ……………… 9分
所以的最小正周期为.（验证知其定义域与之相符） …………… 10分
（Ⅱ）解：由，得， ……………… 11分
所以，
所以当时，，
即函数在区间的值域为. ……………… 13分
16．（本小题满分13分）
（Ⅰ）证明：因为，
所以当时，，解得； ………………… 2分
当时，， …………………3 分
由—，得，
所以，
由，得，
所以，其中.
故是首项为2，公比为4的等比数列. …………………6 分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得. ………………… 8分
所以 .
则的前n项与
……………… 10分
. ………………13分
17．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为在折起前的矩形中，分别为的中点，
所以，，
又因为，
所以平面. ………………2分
又因为平面，
所以. ………………4分
（Ⅱ）证明：因为在折起前的矩形中，分别为的中点，
所以在立体图中，.
即在立体图中，四边形为平行四边形.
连接，设，则. ………………6分
又因为平面，平面，平面平面，
所以，
所以在中，为中位线，
即为线段的中点. ………………9分
（Ⅲ）解：因为为线段的中点，
所以为等边三角形，且，
又因为，，
所以平面.
设的中点为，连接，
易得四边形为平行四边形，
所以平面，
所以. ………………11分
设，由题意得，，
所以， ………………13分
所以当时，.
所以线段长度的最小值为. ………………14分
18．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：. ………………3分
（Ⅱ）解：由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名. ………………4分
因为初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为，
所以所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有人，
………………6分
同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为，学生人数约有人.
所以该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有人.
………………8分
（Ⅲ）解：记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，至少抽到1名高中生”为事件， ………………9分
初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为，样本人数为人.
高中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为，样本人数为人. ………………10分
记这3名初中生为，这2名高中生为，
则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，所有可能结果有10种，即：，，，，，，，，，，
而事件的结果有7种，它们是，，，，，，，
所以. ………………13分
19．（本小题满分13分）
（Ⅰ）证明：函数的定义域，
由题意，有意义，所以.
求导，得. ………………3分
所以，
解得. ………………5分
（Ⅱ）解：“对于定义域内的任意，总存在使得”等价于“不存在最小值”． ………………6分
① 当时，
由，得无最小值，符合题意． ………………8分
② 当时，
令，得 或 . ………………9分
随着x的变化时，与的变化情况如下表：

0

不存在

↘
极小
↗
不存在
↘
………………11分
所以函数的单调递减区间为，，单调递增区间为．
因为当时，，当时，，
所以．
所以当时，不存在使得．
综上所述，a的取值范围为. ………………13分
20．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：焦点坐标为，准线方程为. ………………2分
（Ⅱ）证明：由题意，知直线l的斜率存在，故设l的方程为.
由方程组 得，
由题意，得.
设，，则，， ………………4分
由抛物线方程，得，所以，
所以抛物线在点处的切线方程为，
化简，得 ，
同理，抛物线在点处的切线方程为. ………………6分
联立方程，得，
即，
因为，所以，
代入，得，
所以点，即.
所以点Q在直线上. ………………8分
（Ⅲ）解：假设存在点P，使得四边形为矩形，
由四边形为矩形，得，即，
所以，即.
由（Ⅱ），得，
解得.
所以. ………………10分
以下只要验证此时的四边形为平行四边形即可.
在中，令，得.
同理得.
所以直线的斜率为，
直线的斜率， ………………12分
所以 ，即.
同理.
所以四边形为平行四边形.
综上所述，存在点，使得四边形为矩形. ………………14分
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