广东省各地市2011年高考数学联考试题分类汇编第7部分立体几何.doc

广东省各地市2011年高考数学最新联考试题分类汇编
第7部分:立体几何
一、选择题:
6、（广东省深圳市2011年3月高三第一次调研理科）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A、 B、 C、 D、

6.C【解析】有三视图可以判断该几何体是四棱锥，底面是边长为的正方形，高为，所以
2. (广东省珠海一中2011年2月高三第二学期第一次调研理科)在四面体ABCD中，设AB＝1，CD＝，直线AB与CD的距离为2，夹角为，则四面体ABCD的体积等于( B )
A． B． C． D．
6．(广东省珠海一中2011年2月高三第二学期第一次调研文科)如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ（0≤λ≤1）则点G到平面D1EF的距离为（ D ）
A． B．
C． D．

俯视图
正视图
侧视图
3. (广东省珠海一中2011年2月高三第二学期第一次调研文科)一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图是一个边长为的正三角形，俯视图是一正方形，那么该几何体的侧视图的面积为( C )
A．1 B． C． D．

俯视图
正视图
侧视图
图1
⒌(广东省江门市2011年高考一模文科)某型号儿童蛋糕上半部分是半球，下半部分是圆锥，
三视图如图，则该型号蛋糕的表面积( A )
A． B．
C． D．

俯视图
正视图
侧视图
图1
⒌(广东省江门市2011年高考一模理科)一个底部水平放置的几何体，下半部分是圆柱，
上半部分是正四棱锥，其三视图如图1所示，
则这个几何体的体积( D )
A． B．
C． D．

7. (广东省广雅金山佛一中2011年2月高三联考理科)已知某一几何体的正视图与侧视图如图，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有（ D ）

A．①②③⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D． ①②③④
6. (广东省东莞市2011年高三一模理科)一空间几何体的三视图如图2所示, 该几何体的体积为，则正视图中的值为( C )
A. 5 B. 4
C. 3 D. 2

8．(广东省东莞市2011年高三一模文科)一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于( A )
A． B． C． D．

3．(广东执信中学2011年2月高三考试文科)已知为不重合的两个平面，直线那么“”是“”的（ A ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．(广东执信中学2011年2月高三考试文科)已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的体积是 （ B ）
A． B．
C． D．

二、填空题:
直观图
正视图
1
1
12．（广东省深圳市2011年3月高三第一次调研文科）已知正三棱柱（侧棱与底面垂直，底面是正三角形）
的高与底面边长均为2，其直观图和正(主)视图如下，则
它的左(侧)视图的面积是 ．
12. 【解析】画出左(侧)视图如图,其面积为

14. (广东省珠海一中2011年2月高三第二学期第一次调研理科)在的二面角内，放一个半径为10cm的球切两半平面于A,B两点，那么这两切点在球面上的最短距离是___________
11．(广东省广雅金山佛一中2011年2月高三联考文科)已知空间四边形ABCD中，AB⊥BC，BC⊥CD， CD⊥AB，且AB＝2，BC＝，
CD＝，则AD＝ 4 。
9．（广东省揭阳一中2011年高三一模理科）一几何体的三视图（单位：cm）如右图所示，
则此几何体的体积是 6 cm3。

12．(广东省遂溪县2011年高考第一次模拟数学文科)对于平面 和直线 ，试用 “ ⊥ ” 和 “ ”构造条件___________使之能推出 ⊥

6．(广东省遂溪县2011年高考第一次模拟数学文科)已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( C )
A． B．
C． D．
三、解答题[来源:21世纪教育网
18、（广东省深圳市2011年3月高三第一次调研理科）（本小题满分14分）
如图，是圆的直径，点在圆上，，交于点，
平面，，．
（1）证明：；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
A
B
C
E
F
M
O
·

18、【解析】（法一）（1）平面平面，
．…1分
又，
A
B
C
E
F
M
O
·
平面
而平面
． …………………………3分
是圆的直径，．
又，
．
平面，，
平面．
与都是等腰直角三角形．
．
，即（也可由勾股定理证得）．……………………5分
， 平面．
而平面，
． …………………………………………………6分
（2）延长交于，连，过作，连结．
由（1）知平面，平面，
H
G
A
B
C
E
F
M
O
·
．
而，平面．
平面，
，
为平面与平面所成的
二面角的平面角． ……………………8分
在中，，，
．21世纪教育网
由，得．[来源:21世纪教育网
．
又，
，则． ………………………11分
是等腰直角三角形，．
平面与平面所成的锐状*元*Z*y*y*100………………12分
（法二）（1）同法一，得． ………………3分
如图，以为坐标原点，垂直于、、所在的直线为轴建立空间直角坐标系．
x
y
z
A
B
C
E
F
M
O
·
由已知条件得，
． ………4分
由，
得， ． ……………6分
（2）由（1）知．
设平面的法向量为，21世纪教育网
由 得，
令得，， …………………9分
由已知平面，所以取面的法向量为，
设平面与平面所成的锐二面角为，
则， …………………11分
平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． ………………12分

M
S
D
C
B
A
【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，考查应用向量知识解决数学问题的能力，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．
17．（广东省深圳市2011年3月高三第一次调研文科）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，，，
，平面平面，是线段
上一点，，，．
（1）证明：平面；
（2）设三棱锥与四棱锥的体积
分别为与，求的值．
17．【命题意图】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.
M
S
D
C
B
A
【解析】（1） 平面平面,平面平面,
平面，
平面,…………………1分
平面
…………………2分
四边形是直角梯形，,
都是等腰直角三角形,
………………4分
平面，平面，,
平面…………………………………………6分
（2）三棱锥与三棱锥的体积相等,
由( 1 ) 知平面,
得,……………………………………………9分
设由,
得
从而 ……………………………12分
16．(广东省珠海一中2011年2月高三第二学期第一次调研理科)（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD是正方形，PB^平面ABCD，MA∥PB，PB＝AB＝2MA．
（Ⅰ）证明：AC∥平面PMD；
（Ⅱ）求直线BD与平面PCD所成的角的大小；
P
（Ⅲ）求平面PMD与平面ABCD所成的二面角（锐角）的正切值．

M

B
A

D
C

16.
（Ⅰ）证明：如图，取PD的中点E，连EO，EM．
∵EO∥PB，EO＝PB，MA∥PB，MA＝PB，∴EO∥MA，且EO＝MA．
∴四边形MAOE是平行四边形．∴ME∥AC．
又∵AC平面PMD，MEÌ平面PMD， ∴AC∥平面PMD． …………3分

（Ⅲ）解：如图，分别延长PM，BA，设PM∩BA＝G，连DG，
则平面PMD∩平面ABCD＝DG．
不妨设AB＝2，∵MA∥PB，PB＝2MA，∴GA＝AB＝2．
过A作AN^DG于N，连MN． ∵PB^平面ABCD，
A
B
C
D
P
M
G
N
图3
∴MA^平面ABCD，∴MN^DG．∴ÐMNA是平面PMD与平面ABCD
所成的二面角的平面角（锐角）．在Rt△MAN中，
tanÐMNA＝＝．
∴平面PMD与平面ABCD所成的二面角的正切值是

16．(广东省珠海一中2011年2月高三第二学期第一次调研文科)（本小题满分12分）
在边长为的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥．
（1）判别MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；
（2）求多面体E-AFMN的体积．

16.（1）因翻折后B、C、D重合（如图），
所以MN应是的一条中位线，………………3分
则．………6分
（2）因为平面BEF，……………8分
且，
∴，………………………………………10分
又　∴．…………………………………12分
图5
⒙(广东省江门市2011年高考一模文科)（本小题满分14分）如图5，是四棱柱，底面是菱形， 底面，，，是的中点．
⑴求证：平面平面；
⑵若四面体的体积，
求棱柱的高．
⒙⑴设平面，连接，则与的对应边互相平行……1分，且，所以……2分，是的中点……3分，连接、，因为底面，所以，……4分，是菱形，，且，所以面……5分，因为、分别是、 的中点，所以是矩形，，所以平面……6分，平面（即平面），所以，面面……7分．
⑵因为底面，所以是棱柱的高……8分，平面，平面底面……9分，在底面上作，垂足为，面面，所以面……10分，所以……11分，其中，……12分，所以……13分，解得，即棱柱的高为……14分．
图6
⒙(广东省江门市2011年高考一模理科)（本小题满分14分）如图6，是棱长为的正方体，、分别是棱、上的动点，且．
⑴求证：；
⑵当、、、共面时，求：
①到直线的距离；
②面与面所成二面角的余弦值．

⒙⑴以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系……1分，则、，设，则，……2分，从而、……3分，直接计算知，所以……5分．
⑵①当、、、共面时，因为底面，所以……6分，所以，从而、分别是、的中点……7分，设到直线的距离为，在中，，，解得……9分．
②由①得，、 ，设平面的一个法向量为，依题意……10分，所以……11分，同理平面的一个法向量为……13分，由图知，面与面所成二面角的余弦值（即）……14分．
19．(广东省广雅金山佛一中2011年2月高三联考文科)（本小题满分14分）
如图，已知三棱锥A—BPC中，AP⊥PC， AC⊥BC，
M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形。
（Ⅰ）求证：DM∥平面APC；
（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面APC；
（Ⅲ）若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D—BCM的体积．

19．解：（Ⅰ）由已知得，是ABP的中位线
……………2分

……………4分
（Ⅱ）为正三角形，D为PB的中点，
， …………………5分
…………………6分
又 ……………………7分

又 ………………9分
平面ABC⊥平面APC ………………10分
（Ⅲ）∵，是三棱锥M—DBC的高，且MD＝…11分
又在直角三角形PCB中，由PB＝10，BC＝4，可得PC＝ ………12分
于是＝， ………………………………………………13分
＝ …………………………14分
17. (广东省广雅金山佛一中2011年2月高三联考理科)（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，底面ABC,，
AP=AC, 点，分别在棱上，且BC//平面ADE
（Ⅰ）求证：DE⊥平面；
（Ⅱ）当二面角为直二面角时，求多面体ABCED与PAED的体积比。
17解：（Ⅰ）BC//平面ADE, BC平面PBC, 平面PBC平面ADE=DE
BC//ED …………2分
∵PA⊥底面ABC，BC底面ABC ∴PA⊥BC. ………3分
又，∴AC⊥BC.
∵PAAC=A, ∴BC⊥平面PAC. …………5分
∴DE⊥平面. …………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， DE⊥平面PAC，
又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP为二面角的平面角， …………8分
∴，即AE⊥PC， …………9分
∵AP=AC, ∴E是PC的中点，ED是PBC的中位线。………10分
………12分
18．(广东省东莞市2011年高三一模理科)（本小题满分l4分）
如图3中，三棱锥中，是边长为4的正三角形，，,
、分别为、的中点．
（1）求证：平面⊥平面；
（2）求二面角的一个三角函数值；
（3）求点到平面的距离．

18．（本小题满分l4分）
解：（1）取中点，
连结,则,,…..…1分.
，,………………..…..2分
∵,∴,∴,………………..3分
又，∴平面,…………………………….4分
∵平面,∴平面平面……………….5分
（2）如图所示建立空间直角坐标系．
则，，，
,,．…………..6分
∵=（3，，0），=（-1，0，）．……..7分
设为平面的一个法向量，则
·，
·，
取，∴=（，-，1），……………………8分
又=（0，0，2）为平面的一个法向量，…………………..……9分
∴==．……………………10分
由图知的夹角即为二面角的大小，其余弦值为………….11分
（3）由（2）得=（-1，，0），=（，-，1）为平面的一个法向量，
∴点到平面的距离即为上射影的绝对值=……..14分

图5
直观图
俯视图
18．(广东省东莞市2011年高三一模文科) (本小题满分14分)如图，四棱锥，≌，在它的俯视图中，，，．
⑴求证：是直角三角形；
⑵求四棱锥的体积．

18.解:⑴由已知，点在底面上的投影是点，所以 2分
因为、，所以， 3分
因为≌，所以， 5分
因为，所以平面， 6分
所以，是直角三角形 7分
⑵连接，因为，，所以是等边三角形 8分
在中，根据多边形内角和定理计算得 9分
又因为，所以
所以，， 11分
所以 12分
又，
所以，四棱锥的体积 14分
_
N
_
E
_
D
_
C
_
B
_
A
_
P
18．(广东执信中学2011年2月高三考试文科)（本小题满分14分）右图为一简单组合体，21世纪教育网
其底面ABCD为正方形，平面，，
且，
（1）求证：//平面；
（2）若N为线段的中点，求证：平面；

18.解：（1）证明：∵，平面，平面
∴EC//平面,
同理可得BC//平面∵EC平面EBC,BC平面EBC且
∴平面//平面
又∵BE平面EBC ∴BE//平面PDA---------------6分
（2）证法1：连结AC与BD交于点F, 连结NF，
∵F为BD的中点，
∴且,
又且
∴且
∴四边形NFCE为平行四边形21世纪教育网
∴
∵,平面,
面 ∴，
又
∴面 ∴面----------------------14分
Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｅ
Ｆ
19．(广东省遂溪县2011年高考第一次模拟数学文科)（本小题满分14分）
如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD
是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且
BF⊥平面ACE ．
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）求二面角B—AC—E的正弦值；
（3）求三棱锥的体积 ．
19．解：（1）∵BF⊥平面ACE。 ∴BF⊥AF
∵二面角D—AB—E为直二面角。且CB⊥AB。
∴CB⊥平面ABE ∴CB⊥AE ∴AE⊥平面BCE ……………4分
（2）连结BD交AC交于G，连结FG
∵ 正方形ABCD边长为2。∴ BG⊥AC，BG=
∵ BF⊥平面ACE。 由三垂线定理的逆定理得
FG⊥AC。 ∴∠BGF是二面B—AC—E的平面角 …7分
由（1）和AE⊥平面BCE
又 ∵AE=EB∴ 在等腰直角三角形AEB中，BE=
又 ∵ Rt△BCE中，

∴ Rt△BFG中
∴ 二面角B—AC—E的正弦值等于 ………10分
（3）过点E作EO⊥AB交AB于点O， OE=1
∵ 二面角D—AB—E为直二面角，∴ EO⊥平面ABCD
∴ ………………14分

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