代数复习教案.doc

课 题
代数部分复习
教学目的
、巩固整式乘除、因式分解、分式的重点知识；
、进一步提高代数知识综合与应用能力。
教学内容
一、整式乘除
【基础知识】
1、 幂的三条运算法则
同底数幂的乘法：（都是正整数）
（同底数幂的除法：（≠，，都是正整数））
幂的乘方：（都是正整数）
积的乘方：（都是正整数）
2、 乘法法则
单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
多项式与多项式相乘，其基本原理是运用乘法对加法的分配律转化为单项式与多项式相乘，继而转化为单项式与单项式相乘。
3、 乘法公式
平方差公式：
完全平方公式：

【例题讲解】
例1、 （） （） （）

例2、 计算：
（）（为正整数）
（）

例3、 （）已知，求的值
（）已知－，求的值

例4、 （）化简
（）当等于的倍与的差时，求的值

例5、 若与的和是单项式，求

例、（）设，求的值
（）已知,求的值.

例6、 （） （）
（） （）

例7、 计算（）
（）
（）

例8、 （） （）

例、若，求，的值

例、观察例题，然后回答： 例：，则 .
解：由，得（），即所以：
通过你的观察你来计算：当时，求①； ②（ ）

二、因式分解

基础知识梳理：
.定义：把一个多项式分成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。
即：一个多项式→几个整式的积
互逆

因式分解 整式的乘法

2. 因式分解的方法
（1） 提取公因式法：
①系数为各项系数的 ；
②字母取各项相同字母的

（2） 公式法：
①平方差公式：
②完全平方公式：
▲运用平方差公式分解的多项式是二项式，这两项必须是平方式，且这两项的符号相反。

▲运用完全平方公式分解的多项式是三项式，且符合首平方，尾平方，首尾两倍中间放的特点，其中首尾两项的符号必须相同，中间项的符号正负均可。

. 提取公因式的常见思维误区：()漏项；()变错符号；()分解不彻底；()混淆因式分解与整式乘法的意义。

典型例题：
.用公式法对下列各式进行因式分解

.已知 ， 求的值

.，求值。

.是△的三边，且，那么△的形状是（ ）
、直角三角形 、等腰三角形 、等腰直角三角形 、等边三角形

．解方程：．

.如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当，时的绿化面积．

因式分解补充方法：十字相乘法
（） 对于某些首项系数是的二次三项式【】的因式分解：
一般地，∵，∴．
这就是说，对于二次三项式，若能找到两个数、，使
则就有．
（掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数，通常要借助画十字交叉线的办法来确定，故称十字相乘法。）
如对于二次三项式，其中，，能找到两个数、，使 故有．
() – –；
解： – （ – ）
（ ）
– * ；*（–）* –
∴ – – （ – ）（ ）毛
例：因式分解
() － －；
解： － （ － ）
（ ）
－ × ；×（－）× －
∴ － － （ － ）（ ）毛
() ；
解： （ ）
（ ）
×；××
∴ （ ）（ ）

说明：用十字相乖法分解二次三项式，式中的、通常是整数，要找的、两数也通常是在整数中去找．由于把拆成两个整数之和可以有无数种情形，而把分解成两个整数之积只有有限几种可能，故应先把分解成两个整数之积，然后检验哪两个整数之和得．
练习题（因式分解）：
（） . （）

（） （）

　提问：请观察以上练习中的各题，你能发现把分解成两个整数、之积时的符号规律吗？
⑴若＞，则、同号．当＞时、同为正，当＜时、同为负．
⑵若＜，则、异号．当＞时、中的正数绝对值较大，当＜时、中的负数绝对值较大．
（） 对于二次三项【】（、、都是整数，且）的因式分解：
一般地，∵，
∴．
这就是说，对于二次三项式，若能找到四个整数，使
则就有，通常要借助画多个十字交叉线的办法来确定。
例　分解因式：（）； （）

（）解：

∴
（）解：所有可能的十字形式：

∴
说明：⑴二次项系数为正时，只考虑分解成两个正因数之积；
⑵在二次项系数为正时，常数项的分解，符号规律同上节、的符号规律；
⑶分解二项项系数、常数项有多种可能，即使对于同一种分解，十字图也有不同的写法，为了避免重或漏，故二次项系数的因数一经排定就不变，而用常数项的因数作调整；
⑷用十字相乘法分解因式时，一般要经过多次尝试才能确定能否分解或怎样分解．
练习题（因式分解）：
（） ＋＋ （） －＋

（） ＋－ （） －－

三、分式

（一）、分式的概念
、正确理解分式的概念：
【例】有理式（）； （）； （）； （） （）
（）中，属于整式的有： ；属于分式的有： 。.
、判断分式有无意义关键是看分母是否为零.
() 例如，当为 时，分式有意义．
错解：时原分式有意义．
() 不要随意用“或”与“且”
例如 当时，分式有意义？
错解：由分母，得
、注意分式的值为零必受分母不为零的限制．
【例】当 时，分式有意义．
当 时，分式无意义．
当 时，分式值为．
（二）、分式的基本性质：
、分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
分式的基本性质是分式恒等变形的依据，它是分式的约分、通分、化简和解分式方程基础，因此，我们要正确理解分式的基本性质，并能熟练的运用它．理解分式的基本性质时，必须注意：
①分式的基本性质中的、、表示的都是整式．
②在分式的基本性质中，≠．
③分子、分母必须“同时”乘以(≠)，不要只乘分子（或分母）．
④性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分式的值是相等的。但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的．
()注意：
①根据分式的基本性质有：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．
②分式的基本性质是一切分式运算的基础,分子与分母只能同乘以(或除以)同一个不等于零的整式,而不能同时加上(或减去)同一个整式
【例】下列变形正确的是（ ）．
．; ．
． ．
【例】 如果把分式中的都扩大倍,那么分式的值一定( ) ．
.扩大倍 .扩大倍 . 扩大倍 .不变
、约分
约分是约去分式的分子与分母的最大公约式,约分过程实际是作除法,目的在于把分式化为最简分式或整式,根据是分式的基本性质.
【例】约分＝

、通分
通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是确定最简公分母.最简公分母由下面的方法确定：
（）最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；
（）最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积;
（三）、分式的运算
、分式运算时注意：
（）注意运算顺序．例如，计算，应按照同一级运算从左到存依次计算的法则进行．错解：原式
（）通分时不能丢掉分母．例如，计算，出现了这样的解题错误：原式．分式通分是等值变形，不能去分母,不要同解方程的去分母相混淆；
（）忽视“分数线具有括号的作用”:分式相减时，若分子是多项式，其括号不能省略．
（）最后的运算结果应化为最简分式．
、分式的乘除
注意分式的乘除法应用关键是理解其法则.
(）先把除法变为乘法；
(）接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；
(）再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；
(）最后还应检查相乘后的分式是否化为最简分式．
、加减的加减
)同分母分式加减法则
)异分母分式加减法则：
运算步骤：①先确定最简公分母；
②对每项通分,化为分母相同；
③按同分母分式运算法则进行；
④注意结果可否化简．
、分式的混合运算
注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算.
【例】计算：（）；
（）；
（）．

（四）、分式方程
、解分式方程的基本思路：将分式方程转化成已学过的整式方程，进而求解．
、解分式方程的一般步骤：
（）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
（）解这个整式方程.
（） 把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.
（）写出原方程的根.
、注意解分式方程不能忘记验根．
【例】 ；

【例】（）如果分式方程：有增根，则增根是．

（五）、列分式方程解应用题
、列分式方程解应用题的一般步骤：
、列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题的方法与步骤基本相同，不同点是，解分式方程必须要验根．一方面要看原方程是否有增根，另一方面还要看解出的根是否符合题意．原方程的增根和不符合题意的根都应舍去．

【例】在年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电.该地供电局组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地千米.抢修车装载着所需材料先从供电局出发，分钟后，电工乘吉昔车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的倍，求这两种车的速度.

【课后作业】
1、 已知，求方程组的解

2、 已知。
（1） 化简 （）当与互为负倒数时，求的值

3、 把展开后得，则

、分解因式
（） （）

（） （）

、解方程
（） （）(－)(－)

、求证：无论、为何值，的值恒为正。

、已知是△的三边的长，且满足，试判断此三角形的形状。

、若的值.

、用十字相乘法把下列各式分解因式：
（） （）(＋) ＋(＋)－

（） （） ＋－

、计算：

.当时，求 的值。