正方形培优试题及复习资料.doc

武汉重点中学八年级数学下学期正方形专题培优训练
1.已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C160°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是（　　）

A．

B．

C．

D．

2．如图，边长为a的正方形绕点A逆时针旋转30°得到正方形A′B′C′D′，图中阴影部分的面积为（　　）

A．
a2
B．
a2
C．
（1﹣）a2
D．
（1﹣）a2

3.正方形，正方形和正方形的位置如图所示，点G在线段上，且G为的三等分点，R为中点，正方形的边长为4，则△的面积为（　　）

A．
10
B．
12
C．
14
D．
16
4.将n个边长都为1的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（　　）

A．
2
B．
2
C．
2
D．
2
5．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果10，20，那么阴影部分的面积是　 　．
6.已知，如图，在正方形中，O是对角线、的交点，过O作⊥，分别交、于点E、F，若4，3，则四边形的面积为　 　．

7.如图，分别以△的三边为边在的同侧作三个等边三角形，即△，△，△．请回答下列问题：
（1）说明四边形是什么四边形？
（2）当△满足什么条件时，四边形是矩形？
（3）当△满足什么条件时，四边形是菱形？
（4）当△满足什么条件时，四边形是正方形？
（5）当△满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在？
（第（2）（3）（4）（5）题不必说明理由）

8.在平面直角坐标系中，为正方形，点F的坐标为（1，1）．将一个最短边长大于的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线上．
（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点F重合，一条直角边落在直线上时，这个三角形纸片与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为　 　；
（2）若三角形纸片的直角顶点不与点O，F重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不写求解过程），并画出此时的图形．

9.（1）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且．求证：；
（2）如图2，在正方形中，E是上一点，G是上一点，如果∠45°，请你利用（1）的结论证明：．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形中，∥（＞），∠90°，，E是上一点，且∠45°，4，10，求直角梯形的面积．

10.如图，四边形是正方形，△是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转60°得到，连接、、．
（1）求证：△≌△；
（2）①当M点在何处时，的值最小；
②当M点在何处时，的值最小，并说明理由；
（3）当的最小值为时，求正方形的边长．

11.以四边形的边、、、为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形．
（1）如图1，当四边形为正方形时，我们发现四边形是正方形；如图2，当四边形为矩形时，请判断：四边形的形状（不要求证明）；
（2）如图3，当四边形为一般平行四边形时，设∠α（0°＜α＜90°），
①试用含α的代数式表示∠；②求证：；
③四边形是什么四边形？并说明理由．

12.如图①所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接、，分别以、为边向△外作正方形和正方形，过点D作1⊥l于点D1，过点E作1⊥l于点E1．
（1）如图②，当点E恰好在直线l上时（此时E1与E重合），试说明1；
（2）在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段1、1、之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段1、1、之间的数量关系．（不需要证明）

13.（1）如图①，在正方形中，△的顶点E，F分别在，边上，高与正方形的边长相等，求∠的度数．
（2）如图②，在△中，∠90°，，点M，N是边上的任意两点，且∠45°，将△绕点A逆时针旋转90°至△位置，连接，试判断，，之间的数量关系，并说明理由．
（3）在图①中，连接分别交，于点M，N，若4，6，3，求，的长．

14.正方形中，点O是对角线的中点，P是对角线上一动点，过点P作⊥于点F．如图1，当点P与点O重合时，显然有．
（1）如图2，若点P在线段上（不与点A、O重合），⊥且交于点E．
①求证：；
②写出线段、、之间的一个等量关系，并证明你的结论；
（2）若点P在线段上（不与点O、C重合），⊥且交直线于点E．请完成图3并判断（1）中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论．（所写结论均不必证明）

武汉重点中学八年级下学期正方形培优试题答案
1.已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C160°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是（　　）

A．

B．

C．

D．

解：过小正方形的一个顶点W作⊥x轴于点Q，过点A3F⊥于点F，
∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C160°，B1C1∥B2C2∥B3C3，
∴∠B3C3 E4=60°，∠D1C1E1=30°，∠E2B2C2=30°，
∴D1E11C1=，∴D1E12E2=，∴30°，
解得：B2C2=，∴B3E4=，30°=，解得：B3C3=，则3=，
根据题意得出：∠3 30°，∠C3 60°，∠A3 30°，
∴×=，3•30°=×=，
则点A3到x轴的距离是：，故选：D．

2.如图，边长为a的正方形绕点A逆时针旋转30°得到正方形A′B′C′D′，图中阴影部分的面积为（　　）

A．
a2
B．
a2
C．
（1﹣）a2
D．
（1﹣）a2

解：设B′C′与交于点E，连接．
在△′E与△中，∠′∠90°，
，
∴△′E≌△（），∴∠B′∠．
∵∠′=30°，∠90°，
∴∠B′∠30°，∴•∠．∴S四边形′2S△2××a×2．
∴阴影部分的面积正方形﹣S四边形′（1﹣）a 2．故选：D．
3.正方形，正方形和正方形的位置如图所示，点G在线段上，且G为的三等分点，R为中点，正方形的边长为4，则△的面积为（　　）

A．
10
B．
12
C．
14
D．
16

解：连，，，则∥∥，
在梯形中，S△△（同底等高），
∴S△﹣公共三角形△﹣公共三角形，即∴S△△，S△△，
同理S△△．∴S阴影△△△△正方形42=16
故选D．

4.将n个边长都为1的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（　　）

A．
2
B．
2
C．
2
D．
2

解：连接正方形的中心和其余两个顶点可证得含45°的两个三角形全等，进而求得阴影部分面积等于正方形面积的，即是．
5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n﹣1）2．故选C．
5.如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果10，20，那么阴影部分的面积是　20　．

解：根据题意可得，阴影部分面积为两个正方形面积和减去空白面积，
即（a22）﹣﹣=（a22﹣）=（a22+2﹣3）=[（）2﹣3]；
代入10，20可得
阴影面积为（10×10﹣20×3）÷2=20；故答案为20．

6.已知，如图，在正方形中，O是对角线、的交点，过O作⊥，分别交、于点E、F，若4，3，则四边形的面积为　　．

解答：
解：∵四边形是正方形∴，∠∠45°
又∵∠∠90°，∠∠90°
∴∠∠，∴△≌△∴∴
∴3+4=7∴× ∴S四边形△×× 故答案为．
7.如图，分别以△的三边为边在的同侧作三个等边三角形，即△，△，△．请回答下列问题：
（1）说明四边形是什么四边形？
（2）当△满足什么条件时，四边形是矩形？
（3）当△满足什么条件时，四边形是菱形？
（4）当△满足什么条件时，四边形是正方形？
（5）当△满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在？
（第（2）（3）（4）（5）题不必说明理由）

解：（1）四边形是平行四边形．（1分）∵等边三角形和等边三角形，
∴，．又∵∠60°﹣∠，∠60°﹣∠，
∴∠∠．在△和△中，∴△≌△．（2分）
∴．∵在等边三角形中，，∴．同理．
∴四边形是平行四边形．（4分）
（2）当∠150°时，四边形是矩形．（5分）
（3）当，或∠∠15°时，四边形是菱形．（6分）

（4）当∠150°且，或∠∠15°时，四边形是正方形．（7分）

（5）当∠60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．（8分）

8.在平面直角坐标系中，为正方形，点F的坐标为（1，1）．将一个最短边长大于的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线上．
（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点F重合，一条直角边落在直线上时，这个三角形纸片与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为　　；
（2）若三角形纸片的直角顶点不与点O，F重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时的图形．

解：（1）•；

（2）如图，正方形的面积为1，当重合的面积为正方形的面积的一半时，有两种情况：
①四边形的面积为时，易证得四边形为正方形，△≌△，有四边形的面积与正方形的面积相等，故有即点C的坐标为（，）．
②四边形的面积为时，易证得四边形为正方形，△≌△，有四边形的面积与正方形的面积相等，故有即点C的坐标为（1﹣，1﹣）．

9.（1）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且．求证：；
（2）如图2，在正方形中，E是上一点，G是上一点，如果∠45°，请你利用（1）的结论证明：．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形中，∥（＞），∠90°，，E是上一点，
且∠45°，4，10，求直角梯形的面积．

（1）证明：∵四边形是正方形，∴，∠∠90°，
∵，∴△≌△（）．∴． …（2分）
（2）证明：如图2，延长至F，使，连接．
由（1）知△≌△，∴∠∠．∴∠∠∠∠，
即∠∠90°，又∠45°，∴∠∠45°．∵，，
∴△≌△．…（5分）∴，∴． …（6分）
（3）解：如图3，过C作⊥，交延长线于G．在直角梯形中，
∵∥，∴∠∠90°，又∵∠90°，，∴四边形为正方形．
∴．…（7分）∵∠45°，根据（1）（2）可知，．…（8分）
∴10=4，即6．设，则﹣4，﹣6，
在△中，∵222，即102=（x﹣6）2+（x﹣4）2．
解这个方程，得：12或﹣2（舍去）．…（9分）∴12．
∴S梯形（）•×（6+12）×12=108．即梯形的面积为108．…（10分）

10.如图，四边形是正方形，△是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转60°得到，连接、、．
（1）求证：△≌△；
（2）①当M点在何处时，的值最小；
②当M点在何处时，的值最小，并说明理由；
（3）当的最小值为时，求正方形的边长．

（1）证明：∵△是等边三角形，∴，∠60°．
∵∠60°，∴∠﹣∠∠﹣∠．
即∠∠．又∵，∴△≌△（）．（5分）
（2）解：①当M点落在的中点时，A、M、C三点共线，的值最小．（7分）
②如图，连接，当M点位于与的交点处时，
的值最小．（9分）理由如下：连接，由（1）知，△≌△，
∴，∵∠60°，，∴△是等边三角形．∴．
∴．（10分）
根据“两点之间线段最短”，得最短
∴当M点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长．（11分）

（3）解：过E点作⊥交的延长线于F，
∴∠∠﹣∠90°﹣60°=30°．设正方形的边长为x，则，．
在△中，∵222，∴（）2+（）2=．（12分）
解得，x1=，x2=﹣（舍去负值）．∴正方形的边长为．（13分）

11.以四边形的边、、、为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形．
（1）如图1，当四边形为正方形时，我们发现四边形是正方形；如图2，当四边形为矩形时，请判断：四边形的形状（不要求证明）；
（2）如图3，当四边形为一般平行四边形时，设∠α（0°＜α＜90°），
①试用含α的代数式表示∠；
②求证：；
③四边形是什么四边形？并说明理由．

（1）解：四边形的形状是正方形．
（2）解：①∠90°，在平行四边形中∥，
∴∠180°﹣∠180°﹣a，∵△和△是等腰直角三角形，
∴∠∠45°，
∴∠360°﹣∠﹣∠﹣∠360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣a）=90°，
答：用含α的代数式表示∠是90°．
②证明：∵△和△是等腰直角三角形，∴，，
在平行四边形中，，∴，∵△和△是等腰直角三角形，
∴∠∠45°，
∴∠∠∠∠90°∠，∵△是等腰直角三角形，
∴，∴△≌△，∴．

③答：四边形是正方形，
理由是：由②同理可得：，，
∵，∴，∴四边形是菱形，
∵△≌△，∴∠∠，
∵∠∠∠90°，∴∠∠∠90°，
∴四边形是正方形．

12.如图①所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接、，分别以、为边向△外作正方形和正方形，过点D作1⊥l于点D1，过点E作1⊥l于点E1．

（1）如图②，当点E恰好在直线l上时（此时E1与E重合），试说明1；
（2）在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段1、1、之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段1、1、之间的数量关系．（不需要证明）

解答：
（1）证明：∵四边形、是正方形，∴，∠∠90°，
∴∠1+∠90°，∵1⊥，∴∠1∠90°，∴∠1+∠1=90°，
∴∠1=∠，在△1和△中，
，∴△1≌△（），∴1；

（2）解：11．
证明：过点C作⊥于H，∵1⊥，∴∠1∠90°，
∴∠1+∠1=90°，∵四边形是正方形，∴，∠90°，
∴∠1+∠90°，∴∠1=∠，在△1和△中，
，∴△1≌△（），∴1；同理：1，
∴11；
（3）解：1﹣1．证明：过点C作⊥于H，∵1⊥，
∴∠1∠90°，
∴∠1+∠1=90°，∵四边形是正方形，∴，∠90°，
∴∠1+∠90°，∴∠1=∠，在△1和△中，
，∴△1≌△（），∴1；同理：1，
∴﹣1﹣1．

13．（1）如图①，在正方形中，△的顶点E，F分别在，边上，高与正方形的边长相等，求∠的度数．
（2）如图②，在△中，∠90°，，点M，N是边上的任意两点，且∠45°，将△绕点A逆时针旋转90°至△位置，连接，试判断，，之间的数量关系，并说明理由．
（3）在图①中，连接分别交，于点M，N，若4，6，3，求，的长．

解：（1）在△和△中，，，
∴△≌△（）．∴∠∠．
同理，∠∠．∴
（2）222．（3分）
∵∠∠，∠∠45°，
∴∠∠∠45°．∴∠∠．
又∵，，∴△≌△．∴．（5分）
∵∠90°，，∴∠∠45°．
∴∠∠∠90°．∴222．∴222．（6分）
（3）由（1）知，，．
设，则﹣4，﹣6．
在△中，
∵222，
∴（x﹣4）2+（x﹣6）2=102．
解这个方程，得x1=12，x2=﹣2（舍去负根）．
即12．（8分）在△中，
∴．在（2）中，222，，
∴222．（9分）设，则．
即a 2=（9﹣a） 2+（3） 2，
∴．即．（10分）

14.正方形中，点O是对角线的中点，P是对角线上一动点，过点P作⊥于点F．如图1，当点P与点O重合时，显然有．
（1）如图2，若点P在线段上（不与点A、O重合），⊥且交于点E．
①求证：；②写出线段、、之间的一个等量关系，并证明你的结论；
（2）若点P在线段上（不与点O、C重合），⊥且交直线于点E．请完成图3并判断（1）中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论．（所写结论均不必证明）

解：（1）如图2，延长交于点Q，
①∵是正方形对角线，∴∠∠45°，∴，
∵，∴，∵⊥，∴∠∠90°，∵∠∠90°，
∴∠∠，∵∠∠90°，∴△≌△，∴，
∵，∴；
②如图2，过点P作⊥．∵⊥，∠∠45°，
∴△和△均为等腰直角三角形，∵四边形为矩形，
∴，，∵，，∴，
∴（），
即、、满足关系为：；
2）结论①仍成立；结论②不成立，此时②中三条线段的数量关系是﹣．
如图3：①∵⊥，⊥，∴B、P、C、E四点共圆，∴∠∠，
在△和△中有：（已知），∠∠45°（已证），边公共边，
∴△≌△（），∴∠∠，∴∠∠，∵⊥，∴；
②同理：，，
∴（）
即、、满足关系为：﹣．