解直角三角形知识点及典型例题.doc

解直角三角形
锐角三角函数

1锐角三角函数的定义

⑴、正弦；
⑵、余弦；
⑶、正切。

2、30°、45°、60°特殊角的三角函数值。

3、各锐角三角函数间关系

⑴、定义；
⑵、直角三角形的依据

⑶、解直角三角形的应用。
①、三边间关系；
②、锐角间关系；
③、边角间关系。

本章知识构造梳理

一、锐角三角函数
1、梯子越陡——倾斜角＿＿＿＿＿
倾斜角越大——铅直高度与梯子的比＿＿＿＿＿
倾斜角越大——水平宽度与梯子的比＿＿＿＿＿
倾斜角越大——铅直高度与水平宽度的比＿＿＿＿

2、直角三角形AB1C1和直角三角形ABC有什么关系 边之间的关系呢？

3、三角函数定义：
注意：sinA，cosA，tanA都是一个完整的符号，单独的sin，cos，tan是没有意义的，其中A前面的“∠〞一般省略不写

例1、把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′，则锐角A，A′的余弦值的关系为〔 〕
A．cosA=cosA′ B．cosA=3cosA′ C．3cosA=cosA′ D．不能确定
例2、在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则以下各项中正确的选项是〔 〕
A．a=c·sinB B．a=c·cosB C．a=c·tanB D．以上均不正确
例3、在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB等于〔 〕
A． B． C． D．
例4、：α是锐角，tanα=，则sinα=_____，cosα=_______．

4、取值范围：0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0
例5、锐角A满足关系式2sinA2-7sinA+3=0，则sinA的值为〔　　〕
A. B. 3 C
5、三角函数之间的关系
互余关系：如果∠A+∠B=90°，则sinA= cosB，cosA= sinB，tanA·tanB=1
同角关系：sin2A+ cos2A=1

二、特殊角的三角函数值
α
sinα
cosα
tanα
30°

45°

1
60°

三、解直角三角形
解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如在测量高度、距离、角度，确定方案时常用到解直角三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，常通过作辅助线构造直角三角形来解决。

坡度〔坡比〕 方向角度 俯角仰角
例6、如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB的值．

例7、如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB=BD，根据此图求tan15°的值．

例8、如图，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x轴上，另一边经过点P〔2，2〕，求角α的三个三角函数值．

A
C
D
B
例9、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC=45°，DC=6,sinB=3/5,试求tan∠BAD.

例10、如图，圆O是△ABC的外接圆，连接OA、OC。
圆O的半径为2，sinB= 求弦AC的长？

10米
B
A
O

例11、孩子们都喜欢荡秋千，如图，是一秋千示意图，当拉绳荡起偏离竖直位置30°角时，秋千低端的位置比原来升高了多少？(准确到0.1米〕

D
C
B
A
例12、如图，为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测的建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进12m，到达D处，在D处测的建筑物顶点A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于多少？

例13、一艘渔船以6海里/时的速度自东向西航行，小岛周围　　　海里内有暗礁，渔船在A处测得小岛D在北偏西60°方向上，航行2小时后在B处测得小岛D在北偏西30°方向上。
60°
B
A
C
D
C
B
A
〔1〕、如果不改变航向有没有触礁危险？
〔2〕、在上面的问题中假设有触礁危险，则至少向西南方偏多少度才平安？

例14、如图，水坝的横断面是梯形，迎水坡BC的坡角∠B=30°，背水坡AD的坡度为1：，坝顶DC宽25米，坝高CE是45米，求：坝底AB的长？迎风坡BC的长？以及BC的坡度。〔答案可以带上根号〕

例15、如下图，学校在楼顶平台上安装地面接收设备，为了防雷击，在离接收设备3米远的地方安装避雷针，接收设备必须在避雷针顶点45°夹角范围内，才能有效防止雷击〔α≤45°〕，接收设备高80厘米，则避雷针至少应安装多高？

例16、如下图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算答复：小敏身高，她乘电梯会有碰头危险吗？姚明身高，他乘电梯会有碰头危险吗？〔可能用到的参考数值：sin27°=0.45，cos27°=0.89，tan27°=0.51〕

例17、一辆客车位于休息站A南偏西60°方向，且与A相距80千米的B处，它从B处沿北偏东α的方向行驶，同时一辆三轮车以每小时40千米的速度从A处出发，沿正北方向行驶，行驶2小时，两车恰好相遇．
(1)求客车的速度；
(2)求sin的值．