全等三角形动点问题.doc

全等三角形动点问题
一）、知识回顾
动态几何题，是指以几何知识和几何图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题；而通过对几何图形运动变化，使同学们经历由观察、想象、推理等发现、探索的过程，是中考数学试题中，考查创新意识、创新能力的重要题型；解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动．

热身练习：
1、如图，在等腰△中，＝＝5，＝8，D为底边上一动点
（不与点A，B重合），⊥，⊥，垂足分别为E，F，则＋＝ ．
二） 、例题辨析
例1、 如图，在等腰△中，∠90°，，8，F是边上的中点，点D、E分别在、边上运动，且始终保持，连接、、.
（1） 、求证：△≌△.
（2） 、试证明△是等腰直角三角形.
（3） 、在此运动变化的过程中，四边形的面积是否保持不变？试说明理由．
（4）、求△面积的最大值．

例2如图，△的边在直线 上，⊥，且＝，△的边也在直线 上，边与边重合，且＝。 

（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系； 
（2）将△沿直线 向左平移到图2的位置时，交于点Q，连结、。猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想。

练习：1、 如图，在等腰△中，∠90°，8，F是边上的中点，点D、E分别在、边上运动，且保持．连接、、．在此运动变化的过程中，下列结论：①△是等腰直角三角形；②长度的最小值为4；③四边形的面积保持不变；④△面积的最大值为8．其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①③ C．①③④ D．②③④
2、（2011湖北随州，18，7分）在等腰三角形中，∠90°，D为边上中点，过D点作⊥，交于E，交于F，若4，3，求长．

例2：在中，，交的延长线于点．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为，一条直角边与边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点．
（1）在图1中请你通过观察、测量与的长度，猜想并写出与满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（2）当三角尺沿方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与边在同一直线上，另一条直角边交边于点，过点作于点．此时请你通过观察、测量、与的长度，猜想并写出与之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（3）当三角尺在⑵的基础上沿方向继续平移到图3所示的位置(点在线段上，且点与点不重合)时，⑵中的猜想是否仍然成立？(不用说明理由)
A
B
C
F
G
图1
A
B
C
E
F
G
图2
D
A
B
C
D
E
F
G
图3

例3、如图，在等边△中，9，点P从点C出发沿边向点B点以2的速度移动，点Q点从B点出发沿边向A点以5速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．
（1）你能用t表示和的长度吗？请你表示出来．
（2）请问几秒钟后，△为等边三角形？
（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△的哪条边上相遇？

三）、归纳总结
动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路。动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论。
四）、拓展延伸
例1、 在△中，，∠90°，D为边的中点，∠90°，∠绕D点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于E、F.
1、当∠绕D点旋转到⊥于E时（如图1），易证
2、当∠绕D点旋转到和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△、S△、S△又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

例2、（2014•德州，第23题10分）问题背景：
如图1：在四边形中，，∠120°，∠∠90°．E，F分别是，上的点．且∠60°．探究图中线段，，之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长到点G．使．连结，先证明△≌△，再证明△≌△，可得出结论，他的结论应是　　；

探索延伸：
如图2，若在四边形中，，∠∠180°．E，F分别是，上的点，且∠∠，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．

例3、如图1，一等腰直角三角尺（∠90°,∠∠45°）的两条直角边与正方形的两条边分别重合在一起．现正方形保持不动，将三角尺绕斜边的中点O（点O也是中点）按顺时针方向旋转．
（1）如图2，当与相交于点M，与相交于点N时，通过观察或测量，的长度，猜想，相等吗？并说明理由；
（2）若三角尺旋转到如图3所示的位置时，线段的延长线与的延长线相交于点M，线段的延长线与的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由．

例4、在平面内，旋转变换是指某一图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一定的角度而得到新位置图形的一种变换． 活动一：如图1，在△中，D为斜边 上的一点，2，1，且四边形 是正方形，求阴影部分的面积．

小明运用图形旋转的方法，将△绕点D逆时针旋转90°，得到△（如图2所示），一眼就看出这题的答案，请你写出阴影部分的面积： ．
活动二：如图3，在四边形中，，∠∠90°，5，3，过点A作⊥，垂足为点E，求的长．
小明仍运用图形旋转的方法，将△绕点A逆时针旋转90°，得到△（如图4所示），则①四边形是怎样的特殊四边形？答： ．②的长是 ．
活动三：如图5，在四边形中，⊥，⊥，将按逆时针方向绕点B旋转90°得到线段，连接．若2，4，求△的面积．

例5、已知，在中，为锐角，是射线上一动点(与不重合)，以为一边向右侧作等边(与不重合)，连接．
⑴ 若为等边三角形，当点在线段上时(如图1所示)，则直线与直线所夹锐角为 度；
⑵ 若为等边三角形，当点在线段的延长线上时(如图2所示)，你在⑴中得到的结论是否仍然成立？请说明理由；
⑶ 若不是等边三角形，且(如图3所示)．试探究当点在线段上时，你在⑴中得到的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请指出当满足什么条件时，能使⑴中的结论成立，并说明理由．

问题（1）中结论不成立，当∠60°时，能使直线与直线所夹锐角为60°，
证明：①当＜时，在上截取一点G，使得，连接（如图所示），
∵∠60°，
∴△是等边三角形，
∴，∠∠60°，
∵△是等边三角形，
∴，∠60°，
∴∠∠∠∠，
从而∠∠，
∴△≌△（），
∴∠∠60°，
∴∠180°-（∠∠）=60°，
此时直线与直线所夹锐角为60°，
②当时，点C与点E重合，不符合题意．
③当＞时，延长到H，在上截取一点G，使得，连接（如图所示）．
同（1）可证△≌△．
∴∠∠180°-∠120°，
∴∠∠120°-∠60°，
此时直线与直线所夹锐角为60°．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据已知进行分类讨论当＜时，当时，当＞时得出答案是解题关键．   
例6、在等边的两边，所在直线上分别有两点为外一点，且，，，探究：当点分别爱直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系．

⑴如图①，当点在边上，且时，之间的数量关系式；此时
⑵如图②，当点在边上，且时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
⑶如图③，当点分别在边的延长线上时，若，则(用表示)

五） 、课后作业
1、如图，在等边的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1各单位的速度油A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到处，请问（1）在爬行过程中，和始终相等吗？

（2）若蜗牛沿着和的延长线爬行，与交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中 的大小条件不变，求证：

（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着的延长线爬行，连接交于F”，其他条件不变，则爬行过程中，始终等于是否正确

2、如图（1）△为等边三角形，动点D在边上，动点P边上，若这两点分别从C、B点同时出发，以相同的速度由C向A和由B向C运动，连接，交于点Q，两点运动过程中成立吗？请证明你的结论；
（2）如果把原题中“动点D在边上，动点P边上，”改为“动点D，P在射线和射线上运动”，其他条件不变，如图（2）所示，两点运动过程中∠的大小保持不变．请你利用图（2）的情形，求证：∠60°；
（3）如果把原题中“动点P在边上”改为“动点P在的延长线上运动，连接交于E”，其他条件不变，如图（3），则动点D，P在运动过程中，始终等于吗？写出证明过程．

（图1） （图2） （图3）

3．如图①，点A，E，F，C在一条直线上，＝．过点E，F分别作⊥，⊥，连接B，D交于点G，若＝．
（1）试说明平分．
（2）若将△的边沿方向移动到如图②所示位置时，其余条件不变，上述结论是否成立？试说明理由．

4. 如图（1），中，，，垂足为D。平分，交于点E，交于点F。

（1）求证：。
（2）将图（1）中的沿向右平移到的位置，使点落在边上，其它条件不变，如图（2）所示。试猜想：与有怎样的数量关系？请证明你的结论。

5. 如图，在等边中，点D在直线上，连接，作，直线交射线于点E，过点C作交直线于点F。

（1）当点D在线段上，为锐角时，如图①，求证：。（提示：过点F作交射线于点M。）（2分）
（2）当点D在线段的延长线上，为锐角时，如图②；当点D在线段的延长线上，为钝角时，如图③，请分别写出线段，，之间的数量关系，不需要证明。（3分）