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电磁感应大题欣赏

20.(2016·全国卷Ⅰ，24，14分)(难度★★★)如图，两固定的绝缘斜面倾角均为θ，上沿相连。两细金属棒ab(仅标出a端)和cd(仅标出c端)长度均为L，质量分别为2m和m；用两根不可伸长的柔软轻导线将它们连成闭合回路abdca，并通过固定在斜面上沿的两光滑绝缘小定滑轮跨放在斜面上，使两金属棒水平。右斜面上存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于斜面向上，已知两根导线刚好不在磁场中，回路电阻为R，两金属棒与斜面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度大小为g，已知金属棒ab匀速下滑。求

(1)作用在金属棒ab上的安培力的大小；
(2)金属棒运动速度的大小。

21．(2016·全国卷Ⅱ，24，12分)(难度★★★)如图，水平面(纸面)内间距为l的平行金属导轨间接一电阻，质量为m、长度为l的金属杆置于导轨上，t＝0时，金属杆在水平向右、大小为F的恒定拉力作用下由静止开始运动，t0时刻，金属杆进入磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，且在磁场中恰好能保持匀速运动。杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为μ。重力加速度大小为g。求

(1)金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小；
(2)电阻的阻值。

22．(2016·全国卷Ⅲ，25，20分)(难度★★★★)如图，两条相距l的光滑平行金属导轨位于同一水平面(纸面)内，其左端接一阻值为R的电阻；一与导轨垂直的金属棒置于两导轨上；在电阻、导轨和金属棒中间有一面积为S的区域，区域中存在垂直于纸面向里的均匀磁场，磁感应强度大小B1随时间t的变化关系为B1＝kt，式中k为常量；在金属棒右侧还有一匀强磁场区域，区域左边界MN(虚线)与导轨垂直，磁场的磁感应强度大小为B0，方向也垂直于纸面向里。某时刻，金属棒在一外加水平恒力的作用下从静止开始向右运动，在t0时刻恰好以速度v0越过MN，此后向右做匀速运动。金属棒与导轨始终相互垂直并接触良好，它们的电阻均忽略不计。求：

(1)在t＝0到t＝t0时间间隔内，流过电阻的电荷量的绝对值；
(2)在时刻t(t>t0)穿过回路的总磁通量和金属棒所受外加水平恒力的大小。

23.(2016·四川理综，7，6分)(难度★★★)(多选)如图所示，电阻不计、间距为l的光滑平行金属导轨水平放置于磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中，导轨左端接一定值电阻R。质量为m、电阻为r的金属棒MN置于导轨上，受到垂直于金属棒的水平外力F的作用由静止开始运动，外力F与金属棒速度v的关系是F＝F0＋kv(F、k是常量)，金属棒与导轨始终垂直且接触良好。金属棒中感应电流为i，受到的安培力大小为FA，电阻R两端的电压为UR，感应电流的功率为P，它们随时间t变化图象可能正确的有(　　)

24．(2016·天津理综，12，20分)(难度★★★★)电磁缓速器是应用于车辆上以提高运行安全性的辅助制动装置，其工作原理是利用电磁阻尼作用减缓车辆的速度。电磁阻尼作用可以借助如下模型讨论：如图所示，将形状相同的两根平行且足够长的铝条固定在光滑斜面上，斜面与水平方向夹角为θ。一质量为m的条形磁铁滑入两铝条间，恰好匀速穿过，穿过时磁铁两端面与两铝条的间距始终保持恒定，其引起电磁感应的效果与磁铁不动，铝条相对磁铁运动相同。磁铁端面是边长为d的正方形，由于磁铁距离铝条很近，磁铁端面正对两铝条区域的磁场均可视为匀强磁场，磁感应强度为B，铝条的高度大于d，电阻率为ρ，为研究问题方便，铝条中只考虑与磁铁正对部分的电阻和磁场，其他部分电阻和磁场可忽略不计，假设磁铁进入铝条间以后，减少的机械能完全转化为铝条的内能，重力加速度为g。

(1)求铝条中与磁铁正对部分的电流I；
(2)若两铝条的宽度均为b，推导磁铁匀速穿过铝条间时速度v的表达式；
(3)在其他条件不变的情况下，仅将两铝条更换为宽度b′>b的铝条，磁铁仍以速度v进入铝条间，试简要分析说明磁铁在铝条间运动时的加速度和速度如何变化。

25．(2015·广东理综，35，18分)(难度★★★)如图(a)所示，平行长直金属导轨水平放置，间距L＝0.4 m，导轨右端接有阻值R＝1 Ω的电阻，导体棒垂直放置在导轨上，且接触良好，导体棒及导轨的电阻均不计，导轨间正方形区域abcd内有方向竖直向下的匀强磁场，bd连线与导轨垂直，长度也为L，从0时刻开始，磁感应强度B的大小随时间t变化，规律如图(b)所示；同一时刻，棒从导轨左端开始向右匀速运动，1 s后刚好进入磁场，若使棒在导轨上始终以速度v＝1 m/s做直线运动，求：

(1)棒进入磁场前，回路中的电动势E；
(2)棒在运动过程中受到的最大安培力F，以及棒通过三角形abd区域时电流 i与时间t的关系式．

26．(2015·江苏单科，13，15分)(难度★★★)做磁共振(MRI)检查时，对人体施加的磁场发生变化时会在肌肉组织中产生感应电流．某同学为了估算该感应电流对肌肉组织的影响，将包裹在骨骼上的一圈肌肉组织等效成单匝线圈，线圈的半径r＝5.0 cm，线圈导线的截面积A＝0.80 cm2，电阻率ρ＝1.5 Ω·m.如图所示,匀强磁场方向与线圈平面垂直，若磁感应强度B在0.3 s内从1.5 T 均匀地减为零，求：(计算结果保留一位有效数字)

(1)该圈肌肉组织的电阻R；
(2)该圈肌肉组织中的感应电动势E；
(3)0.3 s内该圈肌肉组织中产生的热量Q.

27．(2015·海南单科,13，10分)(难度★★★)如图，两平行金属导轨位于同一水平面上，相距l,左端与一电阻R相连；整个系统置于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向竖直向下．一质量为m的导体棒置于导轨上，在水平外力作用下沿导轨以速率v匀速向右滑动，滑动过程中始终保持与导轨垂直并接触良好.已知导体棒与导轨间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，导轨和导体棒的电阻均可忽略．求

(1)电阻R消耗的功率；
(2)水平外力的大小．

28．(2015·天津理综，11，18分)(难度★★★★)如图所示，“凸”字形硬质金属线框质量为m，相邻各边互相垂直，且处于同一竖直平面内，ab边长为l，cd边长为2l，ab与cd平行，间距为2l.匀强磁场区域的上下边界均水平，磁场方向垂直于线框所在平面．开始时，cd边到磁场上边界的距离为2l，线框由静止释放,从cd边进入磁场直到ef、pq边进入磁场前，线框做匀速运动，在ef、pq边离开磁场后，ab边离开磁场之前，线框又做匀速运动．线框完全穿过磁场过程中产生的热量为Q.线框在下落过程中始终处于原竖直平面内，且ab、cd边保持水平，重力加速度为g.求：

(1)线框ab边将离开磁场时做匀速运动的速度大小是cd边刚进入磁场时的几 倍；
(2)磁场上下边界间的距离H.
29．(2015·四川理综,11，19分)(难度★★★★★)如图所示，金属导轨MNC和PQD，MN与PQ平行且间距为L，所在平面与水平面夹角为α，N、Q连线与MN垂直,M、P间接有阻值为R的电阻；光滑直导轨NC和QD在同一水平面内，与NQ的夹角都为锐角θ.均匀金属棒ab和ef质量均为m,长均为L，ab棒初始位置在水平导轨上与NQ重合；ef棒垂直放在倾斜导轨上，与导轨间的动摩擦因数为μ(μ较小)，由导轨上的小立柱1和2阻挡而静止．空间有方向竖直的匀强磁场(图中未画出)．两金属棒与导轨保持良好接触.不计所有导轨和ab棒的电阻，ef棒的阻值为R，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，忽略感应电流产生的磁场，重力加速度为g.

(1)若磁感应强度大小为B，给ab棒一个垂直于NQ、水平向右的速度v1，在水平导轨上沿运动方向滑行一段距离后停止,ef棒始终静止，求此过程ef棒上产生的热量；
(2)在(1)问过程中，ab棒滑行距离为d，求通过ab棒某横截面的电量；
(3)若ab棒以垂直于NQ的速度v2在水平导轨上向右匀速运动,并在NQ位置时取走小立柱1和2，且运动过程中ef棒始终静止．求此状态下最强磁场的 磁感应强度及此磁场下ab棒运动的最大距离．

30. (2014·天津理综，11,18分)(难度★★★★)如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，导轨电阻不计，间距L＝0.4 m．导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ,两区域的边界与斜面的交线为MN，Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为B＝0.5 T.在区域Ⅰ中，将质量m1＝0.1 kg，电阻R1＝0.1 Ω的金属条ab放在导轨上，ab刚好不下滑．然后，在区域Ⅱ中将质量m2＝0.4 kg，电阻R2＝0.1 Ω的光滑导体棒cd置于导轨上,由静止开始下滑．cd在滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中，ab、cd始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取g＝10 m/s2.问

(1)cd下滑的过程中，ab中的电流方向；
(2)ab刚要向上滑动时，cd的速度v多大；
(3)从cd开始下滑到ab刚要向上滑动的过程中，cd滑动的距离x＝3.8 m，此 过程中ab上产生的热量Q是多少．

31．(2014·江苏单科，13，15分)(难度★★★★)如图所示，在匀强磁场中有一倾斜的平行金属导轨，导轨间距为L，长为3d，导轨平面与水平面的夹角为θ，在导轨的中部刷有一段长为d的薄绝缘涂层.匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向与导轨平面垂直．质量为m的导体棒从导轨的顶端由静止释放，在滑上涂层之前已经做匀速运动，并一直匀速滑到导轨底端．导体棒始终与导轨垂直，且仅与涂层间有摩擦，接在两导轨间的电阻为R，其他部分的电阻均不计，重力加速度为g.求：

(1)导体棒与涂层间的动摩擦因数μ；
(2)导体棒匀速运动的速度大小v；
(3)整个运动过程中，电阻产生的焦耳热Q.
32．(2014·新课标全国Ⅱ,25，19分)(难度★★★★)半径分别为r和2r的同心圆形导轨固定在同一水平面内，一长为r、质量为m且质量分布均匀的直导体 捧AB置于圆导轨上面，BA的延长线通过圆导轨中心O，装置的俯视图如图所示．整个装置位于一匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，方向竖直向下．在内圆导轨的C点和外圆导轨的D点之间接有一阻值为R的电阻(图中未画出)．直导体棒在水平外力作用下以角速度ω绕O逆时针匀速转动，在转动 过程中始终与导轨保持良好接触．设导体棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，导体棒和导轨的电阻均可忽略．重力加速度大小为g.求

(1)通过电阻R的感应电流的方向和大小；
(2)外力的功率．

33．(2014·浙江理综，24，20分)(难度★★★)某同学设计一个发电测速装置，工作原理如图所示．一个半径为R＝0.1 m的圆形金属导轨固定在竖直平面上，一根长为R的金属棒OA, A端与导轨接触良好，O端固定在圆心处的转轴 上．转轴的左端有一个半径为r＝R/3的圆盘，圆盘和金属棒能随转轴一起转动．圆盘上绕有不可伸长的细线，下端挂着一个质量为m＝0.5 kg的铝块．在金属导轨区域内存在垂直于导轨平面向右的匀强磁场,磁感应强度B＝0.5 T.a点与导轨相连,b点通过电刷与O端相连．测量a、b两点间的电势差U可算得铝块速度．铝块由静止释放，下落h＝0.3 m时，测得U＝0.15 V．(细线与圆盘间没有相对滑动，金属棒、导轨、导线及电刷的电阻均不计，重力加速度g＝10 m/s2)

(1)测U时，与a点相接的是电压表的“正极”还是“负极”？
(2)求此时铝块的速度大小；
(3)求此下落过程中铝块机械能的损失．

34．(2014·安徽理综,23，16分)(难度★★★★)如图1所示，匀强磁场的磁感应强 度B为0.5 T，其方向垂直于倾角θ为30°的斜面向上．绝缘斜面上固定有“∧”形状的光滑金属导轨MPN(电阻忽略不计)，MP和NP长度均为2.5 m，MN连线水平，长为3 m．以MN中点O为原点、OP为x轴建立一维坐标系 Ox.一根粗细均匀的金属杆CD,长度d为3 m、质量m为1 kg、电阻R为0.3Ω，在拉力F的作用下，从MN处以恒定速度v＝1 m/s在导轨上沿x轴正向运动(金属杆与导轨接触良好)．g取10 m/s2.

(1)求金属杆CD运动过程中产生的感应电动势E及运动到x＝0.8 m处电势差UCD；
(2)推导金属杆CD从MN处运动到P点过程中拉力F与位置坐标x的关系式，并在图2中画出F－x关系图象；
(3)求金属杆CD从MN处运动到P点的全过程产生的焦耳热．

20. 解析　(1)由ab、cd棒被平行于斜面的导线相连，故ab、cd速度总是相等，cd也做匀速直线运动。设导线的张力的大小为T，右斜面对ab棒的支持力的大小为FN1，作用在ab棒上的安培力的大小为F，左斜面对cd棒的支持力大小为FN2，对于ab棒，受力分析如图甲所示，由力的平衡条件得

甲　　　　　　　乙
2mgsin θ＝μFN1＋T＋F①
FN1＝2mgcos θ②
对于cd棒，受力分析如图乙所示，由力的平衡条件得
mgsin θ＋μFN2＝T③
FN2＝mgcos θ④
联立①②③④式得：F＝mg(sin θ－3μcos θ)
(2)设金属棒运动速度大小为v，ab棒上的感应电动势为
E＝BLv⑤
回路中电流I＝⑥
安培力F＝BIL⑦
联立⑤⑥⑦得：
v＝(sin θ－3μcos θ)
答案　(1)mg(sin θ－3μcos θ)
(2)(sin θ－3μcos θ)
21．解析　(1)设金属杆进入磁场前的加速度大小为a，由牛顿第二定律得
F－μmg＝ma①
设金属杆到达磁场左边界时的速度为v，由运动学公式有
v＝at0②
当金属杆以速度v在磁场中运动时，由法拉第电磁感应定律知产生的电动势为
E＝Blv③
联立①②③式可得
E＝Blt0(－μg)④
(2)设金属杆在磁场区域中匀速运动时，金属杆中的电流为I，根据欧姆定律
I＝⑤
式中R为电阻的阻值。金属杆所受的安培力为
F安＝BlI⑥
因金属杆做匀速运动，有
F－μmg－F安＝0⑦
联立④⑤⑥⑦式得
R＝⑧
答案　(1)Blt0(－μg)　(2)
22．解析　(1)在金属棒未越过MN之前，穿过回路的磁通量的变化量为
ΔΦ＝ΔBS＝kΔtS①
由法拉第电磁感应定律有
E＝②
由欧姆定律得
I＝③
由电流的定义得
I＝④
联立①②③④式得
|Δq|＝Δt⑤
由⑤式得，在t＝0到t＝t0的时间间隔内即Δt＝t0，流过电阻R的电荷量q的绝对值为
|q|＝⑥
(2)当t>t0时，金属棒已越过MN。由于金属棒在MN右侧做匀速运动，有
F＝F安⑦
式中，F是外加水平恒力，F安是金属棒受到的安培力。设此时回路中的电流为I，
F安＝B0lI⑧
此时金属棒与MN之间的距离为s＝v0(t－t0)⑨
匀强磁场穿过回路的磁通量为
Φ′＝B0ls⑩
回路的总磁通量为
Φt＝Φ＋Φ′⑪
其中Φ＝B1S＝ktS⑫
由⑨⑩⑪⑫式得，在时刻t(t>t0)，穿过回路的总磁通量为Φt＝B0lv0(t－t0)＋kSt⑬
在t到t＋Δt的时间间隔内，总磁通量的改变ΔΦt为
ΔΦt＝(B0lv0＋kS)Δt⑭
由法拉第电磁感应定律得，回路感应电动势的大小为
Et＝⑮
由欧姆定律得
I＝⑯
联立⑦⑧⑭⑮⑯式得
F＝(B0lv0＋kS)⑯
答案　(1)
(2)B0lv0(t－t0)＋kSt　(B0lv0＋kS)
23.解析　设金属棒在某一时刻速度为v，由题意可知，感应电动势E＝BLv，回路电流I＝＝v，即I∝v；安培力FA＝BIL＝v，方向水平向左，即FA∝v；R两端电压UR＝IR＝v，即UR∝v；感应电流功率P＝EI＝v2，即P∝v2。
分析金属棒运动情况，由牛顿运动第二定律可得F0＋kv－v＝ma，即F0＋(k－)v＝ma。因为金属棒从静止出发，所以F0>0 。
(1)若k＝，金属棒水平向右做匀加速直线运动。所以在此情况下没有选项符合；
(2)若k>，F合随v增大而增大，即a随v增大而增大，说明金属棒在做加速度增大的加速运动，根据四个物理量与速度的关系可知B选项符合；
(3)若k<，F合随v增大而减小，即a随v增大而减小，说明金属棒在做加速度减小的加速运动，直到加速度减小为0后金属棒做匀速直线运动，根据四个物理量与速度关系可知C选项符合。
综上所述，选项B、C符合题意。
答案　BC
24．解析　(1)磁铁在铝条间运动时，两根铝条受到的安培力大小相等均为F安，有
F安＝IdB①
磁铁受到沿斜面向上的作用力为F，其大小有
F＝2F安②
磁铁匀速运动时受力平衡，则有
F－mgsin θ＝0③
联立①②③式可得I＝④
(2)磁铁穿过铝条时，在铝条中产生的感应电动势为E，有E＝Bdv⑤
铝条与磁铁正对部分的电阻为R，由电阻定律有
R＝ρ⑥
由欧姆定律有
I＝⑦
联立④⑤⑥⑦式可得
v＝⑧
(3)磁铁以速度v进入铝条间，恰好做匀速运动时，磁铁受到沿斜面向上的作用力F，联立①②⑤⑥⑦式可得
F＝⑨
当铝条的宽度b′>b时，磁铁以速度v进入铝条间时，磁铁受到的作用力变为F′，有
F′＝⑩
可见，F′>F＝mgsin θ，磁铁所受到的合力方向沿斜面向上，获得与运动方向相反的加速度，磁铁将减速下滑，此时加速度最大，之后，随着运动速度减小，F′也随着减小，磁铁所受的合力也减小，由于磁铁加速度与所受到的合力成正比，磁铁的加速度逐渐减小。综上所述，磁铁做加速度逐渐减小的减速运动。直到F′＝mgsin θ时，磁铁重新达到平衡状态，将再次以较小的速度匀速下滑。
答案　(1)　(2)v＝　(3)见解析
25．解析　(1)棒进入磁场前
E＝＝S·①
由几何关系得
S＝L2②
由题图知＝0.5 T/S③
联立①②③解得E＝0.04 V④
(2)棒在bd位置时E最大
Em＝BLv⑤
Im＝⑥
F安＝BImL⑦
代入得F安＝＝0.04 N，方向向左⑧
在abd区域，t时刻有效长度
L′＝v×(t－1)×2＝2v(t－1)⑨
E′＝BL′v⑩
i＝＝＝(t－1)A　(1 s＜t＜1.2 s) ⑪
答案　(1)0.04 V　(2)0.04 N，　方向向左
i＝(t－1)A　(1 s＜t＜1.2 s)
26．解析　(1)由电阻定律R＝ρ，代入数据解得
R＝6×103 Ω
(2)感应电动势E＝πr2，代入数据解得E＝4×10－2 V
(3)由焦耳定律得Q＝Δt，代入数据解得Q＝8×10－8 J
答案　(1)6×103 Ω　(2)4×10－2 V　(3)8×10－8 J
27．解析　(1)导体切割磁感线运动产生的电动势为E＝Blv,根据欧姆定律，闭合回路中的感应电流为I＝
电阻R消耗的功率为P＝I2R，联立可得P＝
(2)对导体棒受力分析，受到向左的安培力和向左的摩擦力，向右的外力，三力平衡，故有F安＋μmg＝F，F安＝BIl＝B··l，故F＝＋μmg
答案　(1)　(2)＋μmg
28．解析　(1)设磁场的磁感应强度大小为B，cd边刚进入磁场时，线框做匀速运动的速度为v1，cd边上的感应电动势为E1，由法拉第电磁感应定律，有E1＝2Blv1①
设线框总电阻为R，此时线框中电流为I1，由闭合电路欧姆定律，有I1＝②
设此时线框所受安培力为F1，有F1＝2I1lB③
由于线框做匀速运动，其受力平衡，有mg＝F1④
由①②③④式得v1＝⑤
设ab边离开磁场之前，线框做匀速运动的速度为v2，同理可得
v2＝⑥
由⑤⑥式得v2＝4v1⑦
(2)线框自释放直到cd边进入磁场前，由机械能守恒定律，有
2mgl＝mv⑧
线框完全穿过磁场的过程中，由能量守恒定律，有
mg(2l＋H)＝mv－mv＋Q⑨
由⑦⑧⑨式得H＝＋28l⑩
答案　(1)4倍　(2)＋28l
29．解析　(1)设ab棒的初动能为E1，ef棒和电阻R在此过程产生的热量分别为W和W1，有W＋W1＝Ek①
且W＝W1②
由题有Ek＝mv③
得W＝mv④
(2)设在题设过程中，ab棒滑行时间为Δt，扫过的导轨间的面积为ΔS，通过ΔS的磁通量为ΔΦ，ab棒产生的电动势为E，ab棒中的电流为I，通过ab 棒某横截面的电量为q，则E＝⑤
且ΔΦ＝BΔS⑥
I＝⑦
又有I＝⑧
由图所示ΔS＝d(L－dcot θ)⑨

联立⑤～⑨，解得q＝⑩
(3)ab棒滑行距离为x时，ab棒在导轨间的棒长为Lx为Lx＝L－2xcotθ⑪
此时，ab棒产生电动势Ex为Ex＝Bv2Lx⑫
流过ef棒的电流Ix为Ix＝⑬
ef棒所受安培力Fx为Fx＝BIxL⑭
联立⑪～⑭，解得Fx＝(L－2xcotθ) ⑮

由⑮式可得，Fx在x＝0和B为最大值Bm时有最大值F1.
由题知，ab棒所受安培力方向必水平向左，ef棒所受安培力方向必水平向右，使F1为最大值的受力分析如图所示，图中fm为最大静摩擦力，有
F1cos α＝mgsin α＋μ(mgcos α＋F1sin α) ⑯
联立⑮⑯，得Bm＝⑰

⑰式就是题目所求最强磁场的磁感应强度大小，该磁场方向可竖直向上，也可竖直向下．
由⑮式可知，B为Bm时，Fx随x增大而减小，x为最大xm时，Fx为最小值F2，如图可知
F2cos α＋μ(mgcos α＋F2sin α)＝mgsin α⑱
联立⑮⑰⑱得xm＝⑲
答案　(1)mv　(2)
(3)
30.解析　(1)由右手定则可知此时ab中电流方向由a流向b.
(2)开始放置ab刚好不下滑时，ab所受摩擦力为最大静摩擦力，设其为Fmax，有Fmax＝m1gsin θ①
设ab刚好要上滑时，cd棒的感应电动势为E，由法拉第电磁感应定律有
E＝BLv②
设电路中的感应电流为I，由闭合电路欧姆定律有
I＝③
设ab所受安培力为F安，有
F安＝ILB④
此时ab受到的最大静摩擦力方向沿斜面向下，由平衡条件有F安＝m1gsinθ＋Fmax⑤
综合①②③④⑤式，代入数据解得
v＝5 m/s⑥
(3)设cd棒的运动过程中电路中产生的总热量为Q总，由能量守恒有
m2gxsin θ＝Q总＋m2v2⑦
又Q＝Q总⑧
解得Q＝1.3 J⑨
答案　(1)由a流向b　(2)5 m/s　(3)1.3 J
31．解析　(1)在绝缘涂层上
受力平衡mgsin θ＝μmgcos θ
解得μ＝tan θ.
(2)在光滑导轨上
感应电动势E＝BLv
感应电流I＝
安培力F安＝BIL
受力平衡F安＝mgsin θ
解得v＝.
(3)摩擦生热Q摩＝μmgdcos θ
由能量守恒定律得3mgdsin θ＝Q＋Q摩＋mv2
解得Q＝2mgdsin θ－.
答案　(1)tan θ　(2)　(3)2mgdsin θ－
32．解析　(1)解法一　在Δt时间内，导体棒扫过的面积为
ΔS＝ωΔt[(2r)2－r2]①
根据法拉第电磁感应定律，导体棒上感应电动势的大小为
E＝②
根据右手定则，感应电流的方向是从B端流向A端．因此，通过电阻R的感应电流的方向是从C端流向D端.由欧姆定律可知，通过电阻R的感应电流的大小I满足
I＝③
联立①②③式得
I＝④
解法二　E＝Brv＝Br＝Br2ω
I＝＝
由右手定则判得通过R的感应电流从C→D
解法三　取Δt＝T
E＝＝＝Br2ω
I＝＝
由右手定则判得通过R的感应电流从C→D
(2)解法一　在竖直方向有
mg－2FN＝0⑤
式中，由于质量分布均匀，内、外圆导轨对导体棒的支持力大小相等，其值为FN.两导轨对运行的导体棒的滑动摩擦力均为
Ff＝μFN⑥
在Δt时间内，导体棒在内、外圆导轨上扫过的弧长分别为
l1＝rωΔt⑦
和l2＝2rωΔt⑧
克服摩擦力做的总功为
WFf＝Ff(l1＋l2)⑨
在Δt时间内，消耗在电阻R上的功为
WR＝I2RΔt⑩
根据能量转化和守恒定律知，外力在Δt时间内做的功为
W＝WFf＋WR⑪
外力的功率为
P＝⑫
由④至⑫式得
P＝μmgωr＋⑬
解法二　由能量守恒
P＝PR＋PFf
在竖直方向2FN＝mg，则FN＝mg，得
Ff＝μFN＝μmg
PFf＝μmgωr＋μmg·ω·2r＝μmgωr
PR＝I2R＝
所以P＝μmgωr＋.
答案　(1)　方向：由C端到D端
(2)μmgωr＋
33．解析　(1)由右手定则知，金属棒产生的感应电动势的方向由O→A，故A端电势高于O端电势，与a点相接的是电压表的“正极”．
(2)由电磁感应定律得
U＝E＝①
ΔΦ＝BR2Δθ②
又Δθ＝ωΔt③
由①②③得：U＝BωR2
又v＝rω＝ωR
所以v＝＝2 m/s
(3)ΔE＝mgh－mv2
ΔE＝0.5 J
答案　(1)正极　(2)2 m/s　(3)0.5 J
34．解析　(1)金属杆CD在匀速运动中产生的感应电动势
E＝Blv(l＝d)，解得E＝1.5 V(D点电势高)
当x＝0.8 m时，金属杆在导轨间的电势差为零．设此时杆在导轨外的长度为l外，则
l外＝d－d，OP＝，得l外＝1.2 m
由楞次定律判断D点电势高，故C、D两端电势差
UCD＝－Bl外v，即UCD＝－0.6 V.
(2)杆在导轨间的长度l与位置x关系是l＝d＝3－x
对应的电阻Rl为Rl＝R，电流I＝
杆受的安培力F安＝BIl＝7.5－3.75x
根据平衡条件得F＝F安＋mgsin θ
F＝12.5－3.75x(0≤x≤2)
画出的F-x图象如图所示

(3)外力F所做的功WF等于F-x图线下所围的面积，即
WF＝×2 J＝17.5 J
而杆的重力势能增加量ΔEp＝mgOPsin θ＝10 J
故全过程产生的焦耳热Q＝WF－ΔEp＝7.5 J
答案　见解析