高三数学常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题.doc

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

【典型例题】
[例1] 型。
（1）时，是等差数列，
（2）时，设 ∴
比较系数： ∴
∴ 是等比数列，公比为，首项为
∴ ∴
[例2] 型。
（1）时，，若可求和，则可用累加消项的方法。
例：已知满足，求的通项公式。
解：
∵
∴
……

对这（）个式子求和得： ∴
（2）时，当则可设
∴
∴ 解得：，
∴ 是以为首项，为公比的等比数列
∴
∴ 将A、B代入即可
（3）（0，1）
等式两边同时除以得
令 则 ∴ 可归为型
[例3] 型。
（1）若是常数时，可归为等比数列。
（2）若可求积，可用累积约项的方法化简求通项。
例：已知：，（）求数列的通项。
解：
∴
[例4] 型。
考虑函数倒数关系有 ∴
令 则可归为型。
练习：
1. 已知满足，求通项公式。
解：
设 ∴
∴ 是以4为首项，2为公比为等比数列
∴ ∴
2. 已知的首项，（）求通项公式。
解：

……

∴
3. 已知中，且求数列通项公式。
解：

∴ ∴
4. 数列中，，，求的通项。
解：
∴
设 ∴ ∴
∴

……

∴ ∴
5. 已知：，时，，求的通项公式。
解：
设

∴ 解得： ∴
∴ 是以3为首项，为公比的等比数列
∴ ∴

【模拟试题】
1. 已知中，，，求。
2. 已知中，，（）求。
3. 已知中，，（）求。
4. 已知中，，（）求。
5. 已知中，，其前项和与满足（）
（1）求证：为等差数列 （2）求的通项公式
6. 已知在正整数数列中，前项和满足
（1）求证：是等差数列 （2）若，求的前n项和的最小值

【试题答案】
1. 解：
由，得
∴
……

∴ ∴
2. 解：
由得：
∴ 即是等比数列
∴
3. 解：
由得
∴ 成等差数列， ∴
4. 解：
∴ （）
∴ （）设
即
∴ 是等差数列 ∴
5. 解：
（1） ∴
∴ 是首项为1，公差为2的等差数列
∴
（2） ∴
又 ∵ ∴
6. 解：
（1） ∴
时，
整理得：
∵ 是正整数数列 ∴ ∴
∴ 是首项为2，公差为4的等差数列 ∴
（2）
∴ 为等差数列 ∴
∴ 当时，的最小值为