河北省衡水市启智金题2015届高考数学五模试卷(文科).doc

河北省衡水市启智金题2015届高考数学五模试卷（文科）

一、选择题：（本卷共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．R表示实数集，集合M={x|0≤x≤2}，N={x|x2﹣3x﹣4＞0}，则下列结论正确的是( )
A．M⊆N B．（∁RM）⊆N C．M⊆（∁RN） D．（∁RM）⊆（∁RN）

2．已知i是虚数单位，若复数z满足（z﹣i）（3﹣i）=10，则复数z所对应的点位于复平面的( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知命题p：“若直线ax+y+1=0与直线ax﹣y+2=0垂直，则a=1”；命题q：“＜”是“a＜b”的充要条件，则( )
A．p真，q假 B．“p∧q”真 C．“p∨q”真 D．“p∨q”假

4．下列双曲线中，有一个焦点在抛物线y2=2x准线上的是( )
A．6y2﹣12x2=1 B．12x2﹣6y2=1 C．2x2﹣2y2=1 D．4x2﹣4y2=1

5．顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品．工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客．两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：
工序时间原料 粗加工 精加工
原料A 9 15
原料B 6 21
则最短交货期为( )个工作日．
A．36 B．42 C．45 D．51

6．如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )

A．8+2π B．16+2π C．8+π D．16+π

7．已知函数f（x）=2sinx（cosx﹣sinx）+1，若y=f（x﹣φ）为奇函数，则φ的一个值为( )
A． B． C． D．

8．若x，y满足且z=ax+2y仅在点（3，4）处取得最小值，则a的取值范围是( )
A．[﹣4，+∞） B．（﹣4，+∞） C．（﹣∞，﹣4] D．（﹣∞，﹣4）

9．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣3x，则函数g（x）=f（x）+x﹣3的零点的集合为( )
A．{﹣1，3} B．{﹣2﹣，1}
C．{﹣2+，﹣1，3，﹣2﹣} D．{﹣2﹣，3}

10．已知函数f（x）=ex﹣mx+1的图象为曲线C，若曲线C不存在与直线y=x垂直的切线，则实数m的取值范围是( )
A．m＞2 B．m＞﹣ C．m≤2 D．m≤﹣

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在答题卡上相应位置.
11．已知平面向量=（2，﹣1），向量=（1，1），向量=（﹣5，1）．若（+k）∥，则实数k的值为__________．

12．若函数y=logax（a＞0，a≠1）的图象过点（2，﹣1），且函数y=f（x）的图象与函数y=logax（a＞0，a≠1）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=__________．

13．已知⊙P的半径是6，圆心是抛物线y2=8x的焦点，经过点M（1，﹣2）的直线l与⊙P相交于A、B两点，且M为线段AB的中点，则直线l的方程为__________．

14．设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最小值是__________．

15．在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则∠BAC=__________．

三．解答题：本题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为：，直线l与曲线C分别交于M，N．

（1）写出曲线C和直线L的普通方程；
（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．

17．设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤．

18．已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），…，f（an）…是首项为4，公差为2的等差数列．
（I）设a为常数，求证：{an}成等比数列；
（II）设bn=anf（an），数列{bn}前n项和是Sn，当时，求Sn．

19．地震、海啸、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险常识越来越引起人们的重视．某校为了了解学生对紧急避险常识的了解情况，从2014-2015学年高一年级和2014-2015学年高二年级各选取100名同学进行紧急避险常识知识竞赛．下图1和图2分别是对2014-2015学年高一年级和2014-2015学年高二年级参加竞赛的学生成绩按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，得到的频率分布直方图．

（Ⅰ）分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩；
（Ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”？
成绩小于60分人数 成绩不小于60分人数 合计
2014-2015学年高一年级 __________ __________ __________
2014-2015学年高二年级 __________ __________ __________
合计 __________ __________ __________
附：．
临界值表：
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.010
k0 2.706 3.841 6.635

20．如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．

21．已知P（x，y）为函数y=1+lnx图象上一点，O为坐标原点，记直线OP的斜率k=f（x）．
（Ⅰ）若函数f（x）在区间（m，m+）（m＞0）上存在极值，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）设g（x）=[xf（x）﹣1]，若对任意x∈（0，1）恒有g（x）＜﹣2，求实数a的取值范围．

河北省衡水市启智金题2015届高考数学五模试卷（文科）

一、选择题：（本卷共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．R表示实数集，集合M={x|0≤x≤2}，N={x|x2﹣3x﹣4＞0}，则下列结论正确的是( )
A．M⊆N B．（∁RM）⊆N C．M⊆（∁RN） D．（∁RM）⊆（∁RN）

考点：交、并、补集的混合运算．
专题：集合．
分析：化简集合N为{x|x＜﹣1，或x＞4}，分别写出∁RM，∁RN即可．
解答： 解：∵x2﹣3x﹣4=（x﹣4）（x+1）＞0
∴N={x|x＜﹣1或x＞4}，
则∁RM={x|x＜0或x＞2}，
∁RN={x|﹣1≤x≤4}，
又集合M={x|0≤x≤2}，
所以M⊆∁RN，
故选：C．
点评：本题考查集合的运算，解题时要认真审题，属基础题．

2．已知i是虚数单位，若复数z满足（z﹣i）（3﹣i）=10，则复数z所对应的点位于复平面的( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
解答： 解：∵复数z满足（z﹣i）（3﹣i）=10，
∴=i+=3+2i，
则复数z所对应的点（3，2）位于复平面的第一象限．
故选：A．
点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．

3．已知命题p：“若直线ax+y+1=0与直线ax﹣y+2=0垂直，则a=1”；命题q：“＜”是“a＜b”的充要条件，则( )
A．p真，q假 B．“p∧q”真 C．“p∨q”真 D．“p∨q”假

考点：命题的真假判断与应用．
专题：直线与圆；简易逻辑．
分析：首先判断命题p，q，运用两直线垂直的条件，可得a的值，再由充分必要条件的定义，即可判断q假，再由复合命题的真假，即可得到A，B，C均错，D正确．
解答： 解：命题p：若直线ax+y+1=0与直线ax﹣y+2=0垂直，则a2﹣1=0，解得a=±1，则p为假命题，
对于命题q：“＜”可得“a＜b”，反之，不能推出，
则“＜”是“a＜b”的充分不必要条件，则q为假命题．即有选项A错误；
“p∧q”为假，则选项B错误；“p∨q”为假，则有C错误，D正确．
故选：D．
点评：本题考查复合命题的真假的判断，同时考查两直线垂直的条件，以及充分必要条件的判断，属于基础题和易错题．

4．下列双曲线中，有一个焦点在抛物线y2=2x准线上的是( )
A．6y2﹣12x2=1 B．12x2﹣6y2=1 C．2x2﹣2y2=1 D．4x2﹣4y2=1

考点：抛物线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：抛物线y2=2x准线方程是x=﹣，求出12x2﹣6y2=1中的c，即可得出结论．
解答： 解：抛物线y2=2x准线方程是x=﹣，
显然，12x2﹣6y2=1中a2=，b2=，c2=a2+b2=，c=，有一个焦点在抛物线y2=2x准线上，
故选：B．
点评：本题考查抛物线的方程与性质，考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．

5．顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品．工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客．两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：
工序时间原料 粗加工 精加工
原料A 9 15
原料B 6 21
则最短交货期为( )个工作日．
A．36 B．42 C．45 D．51

考点：进行简单的合情推理．
专题：推理和证明．
分析：因为第一件进行粗加工时，工艺师什么都不能做，所以徒弟先完成原料B所用的总时间最短，累加后可得答案．
解答： 解：第一件进行粗加工时，工艺师什么都不能做，
∴徒弟先完成原料B所用的总时间最短，
此种情况徒弟开始工作的6小时后，师傅开始工作，
在师傅后面的36小时的精加工内，徒弟也同时完成了原料A的粗加工．
∴前后共计6+15+21=42小时．
故选：B
点评：本题考查的知识点是逻辑推理，统筹方法，分析出徒弟先完成原料B所用的总时间最短，是解答的关键．

6．如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )

A．8+2π B．16+2π C．8+π D．16+π

考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是一个长方体和两个半圆柱组成的组合体，结合图中数据求出它的体积．
解答： 解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是一个长方体和两个半圆柱组成的组合体，
且圆柱的体积为V1=π×12×2=2π，
长方体的体积为V2=1×4×2=8，
所以该几何体的体积为V=V1+V2=8+2π．
故选：A．
点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．

7．已知函数f（x）=2sinx（cosx﹣sinx）+1，若y=f（x﹣φ）为奇函数，则φ的一个值为( )
A． B． C． D．

考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式得f（x）=2sin（2x+），从而可得f（x﹣φ）=2sin（2x﹣2φ+），由f（x﹣φ）为奇函数，可得﹣2φ+=kπ，k∈Z，对比选项即可得解．
解答： 解：∵f（x）=2sinx（cosx﹣sinx）+1=sin2x﹣（1﹣cos2x）+1=2sin（2x+）．
∴f（x﹣φ）=2sin[2（x﹣φ）+]=2sin（2x﹣2φ+）．
∵y=f（x﹣φ）为奇函数，
∴﹣2φ+=kπ，k∈Z，可解得φ=﹣，k∈Z，
∴当k=0时，φ=．
故选：A．
点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．

8．若x，y满足且z=ax+2y仅在点（3，4）处取得最小值，则a的取值范围是( )
A．[﹣4，+∞） B．（﹣4，+∞） C．（﹣∞，﹣4] D．（﹣∞，﹣4）

考点：简单线性规划．
专题：作图题；不等式的解法及应用．
分析：由题意作出其平面区域，z=ax+2y可化为y=﹣x+，从而可得在点A（3，4）时，y=﹣x+的截距有最小值，结合图象可得﹣＞2，从而解得．
解答： 解：由题意作出其平面区域如下，

z=ax+2y可化为y=﹣x+，
故是y=﹣x+的截距，
故在点A（3，4）时，y=﹣x+的截距有最小值，
则由图象可知，﹣＞2，
解得a＜﹣4，
故选D．

点评：本题考查了线性规划的应用，注意几何意义的转化，属于中档题．

9．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣3x，则函数g（x）=f（x）+x﹣3的零点的集合为( )
A．{﹣1，3} B．{﹣2﹣，1}
C．{﹣2+，﹣1，3，﹣2﹣} D．{﹣2﹣，3}

考点：函数奇偶性的性质；函数零点的判定定理．
专题：函数的性质及应用．
分析：首先根据函数是偶函数求出函数的解析式，进一步利用函数的零点和方程的根的关系建立方程，解方程求出方程的根，最后确定结果．
解答： 解：①当x≥0时，f（x）=x2﹣3x，
②当x＜0时，﹣x＞0，
则：f（﹣x）=（﹣x）2﹣3（﹣x），y=f（x）是定义在R上的偶函数，
则：f（x）=x2+x，
所以：f（x）=
则：函数g（x）=f（x）+x﹣3的零点
即：f（x）+x﹣3=0的根
所以：③当x≥0时，x2﹣3x+x﹣3=0
解得：x=3或﹣1（负值舍去）
④当x＜0时，x2+3x+x﹣3=0
解得：x=（正值舍去）
故：函数g（x）=f（x）+x﹣3的零点的集合为{3，}
故选：D．
点评：本题考查的知识要点：分段函数解析式的求法，函数的奇偶性的应用，函数的零点和方程的根的关系，及相关的运算问题．

10．已知函数f（x）=ex﹣mx+1的图象为曲线C，若曲线C不存在与直线y=x垂直的切线，则实数m的取值范围是( )
A．m＞2 B．m＞﹣ C．m≤2 D．m≤﹣

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的概念及应用；直线与圆．
分析：求出函数的导数，设切点为（s，t），求得切线的斜率，若曲线C不存在与直线y=x垂直的切线，则关于s的方程es﹣m=﹣2无实数解，由指数函数的值域，即可得到m的范围．
解答： 解：函数f（x）=ex﹣mx+1的导数为f′（x）=ex﹣m，
设切点为（s，t），即有切线的斜率为es﹣m，
若曲线C不存在与直线y=x垂直的切线，
则关于s的方程es﹣m=﹣2无实数解，
由于es＞0，即有m﹣2≤0，
解得m≤2．
故选C．
点评：本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，同时考查两直线垂直的条件，运用指数函数的值域是解题的关键．

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在答题卡上相应位置.
11．已知平面向量=（2，﹣1），向量=（1，1），向量=（﹣5，1）．若（+k）∥，则实数k的值为．

考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．
专题：平面向量及应用．
分析：由向量的数乘及坐标加法运算求得，然后直接利用向量共线的坐标表示列式求解k的值．
解答： 解：∵，
∴，
又，
且（+k）∥，
∴1×（2+k）+5（﹣1+k）=0，解得：k=．
故答案为：．
点评：平行问题是一个重要的知识点，在2015届高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2=0，∥⇔a1b2﹣a2b1=0，是基础题．

12．若函数y=logax（a＞0，a≠1）的图象过点（2，﹣1），且函数y=f（x）的图象与函数y=logax（a＞0，a≠1）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=（）x．

考点：反函数．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：根据函数y=logax图象过点（2，﹣1），代入算出a=．由y=f（x）的图象与y=的图象关于直线y=x对称，
可得f（x）是函数y=的反函数，因此可得本题答案．
解答： 解：∵函数y=logax（a＞0，a≠1）的图象过点（2，﹣1），
∴﹣1=loga2，解得a=
∵函数y=f（x）的图象与函数y=的图象关于直线y=x对称，
∴函数y=f（x）是函数y=的反函数，可得f（x）=（）x，
故答案为：（）x
点评：本题给出对数函数图象经过点（2，﹣1），求与对数函数图象关于直线y=x对称的图象所对应的函数．着重考查了指对数函数的性质和反函数的性质等知识，属于基础题．

13．已知⊙P的半径是6，圆心是抛物线y2=8x的焦点，经过点M（1，﹣2）的直线l与⊙P相交于A、B两点，且M为线段AB的中点，则直线l的方程为x﹣2y﹣3=0．

考点：抛物线的简单性质．
专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：先求出抛物的焦点，即圆心坐标，根据M为线段AB的中点，得到PM⊥AB，利用斜率之积为﹣1求出直线l的斜率，用点斜式写出直线l的方程．
解答： 解：∵圆心是抛物线y2=8x的焦点，
∴圆心P的坐标为（2，0）
∵M为线段AB的中点，
∴PM⊥AB
∴kPM•kAB=﹣1，
∴kAB=﹣．
∴直线l的方程为y+2=（x﹣1），即x﹣2y﹣3=0．
故答案为：x﹣2y﹣3=0．
点评：本题考查了抛物线的性质及直线与圆的位置关系，角决这类题目的关键是把几何关系转化成代数关系（即坐标关系）．

14．设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最小值是﹣．

考点：基本不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：由题意易得（2x+y）2﹣3xy=1，令t=2x+y可得6x2﹣3tx+t2﹣1=0，由△≥0解关于t的不等式可得．
解答： 解：∵4x2+y2+xy=1，
∴（2x+y）2﹣3xy=1，
令t=2x+y，则y=t﹣2x，
代入上式可得t2﹣3（t﹣2x）x=1，
整理可得6x2﹣3tx+t2﹣1=0，
由△=9t2﹣24（t2﹣1）≥0可解得﹣≤t≤，
∴2x+y的最小值是﹣．
故答案为：﹣．
点评：本题考查不等式的解法，换元并转化为一元二次方程根的存在性是解决问题的关键，属中档题．

15．在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则∠BAC=60°．

考点：余弦定理的应用．
专题：计算题；压轴题．
分析：先根据三角形的面积公式利用△ADC的面积求得DC，进而根据三角形ABC的面积求得BD和BC，进而根据余弦定理求得AB．最后在三角形ABC中利用余弦定理求得cos∠BAC，求得∠BAC的值．
解答： 解：由△ADC的面积为可得

解得，则．
AB2=AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°=，
则=．
故∠BAC=60°．

点评：本题主要考查解三角形中的边角关系及其面积等基础知识与技能，分析问题解决问题的能力以及相应的运算能力．

三．解答题：本题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为：，直线l与曲线C分别交于M，N．

（1）写出曲线C和直线L的普通方程；
（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．

考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．
专题：直线与圆．
分析：（1）把极坐标方程两边同时乘以ρ后，代入极坐标与直角坐标的互化公式得答案；由直线的参数方程可得直线经过的定点和直线的倾斜角，求出斜率后直接写出直线的点斜式方程；
（2）把直线的参数方程代入抛物线方程，由|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，借助于直线方程的参数的几何意义列式求解a的值．
解答： 解：（1）由ρsin2θ=2acosθ，得ρ2sin2θ=2aρcosθ，
即y2=2ax；
由，可知直线过（﹣2，﹣4），且倾斜角为，
∴直线的斜率等于1，∴直线方程为y+4=x+2，即y=x﹣2；
（2）直线l的参数方程为（t为参数），
代入y2=2ax得到，
则有，
因为|MN|2=|PM|•|PN|，
所以，
即8（4+a）2=5×8（4+a）．
解得a=1．
点评：本题考查了直线的参数方程，考查了简单曲线的极坐标方程，训练了等比数列性质的应用，是中档题．

17．设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤．

考点：其他不等式的解法；交集及其运算．
专题：不等式的解法及应用．
分析：（Ⅰ）由所给的不等式可得 ①，或 ②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由g（x）≤4，求得N，可得M∩N=[0，]．当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，不等式的左边化为﹣，显然它小于或等于 ，要证的不等式得证．
解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=2|x﹣1|+x﹣1≤1 可得 ①，或 ②．
解①求得1≤x≤，解②求得 0≤x＜1．
综上，原不等式的解集为[0，]．
（Ⅱ）证明：
由g（x）=16x2﹣8x+1≤4，求得﹣≤x≤，
∴N=[﹣，]，
∴M∩N=[0，]．
∵当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，
∴x2f（x）+x[f（x）]2 =xf（x）[x+f（x）]=﹣≤，
故要证的不等式成立．
点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论、等价转化的数学思想，属于中档题．

18．已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），…，f（an）…是首项为4，公差为2的等差数列．
（I）设a为常数，求证：{an}成等比数列；
（II）设bn=anf（an），数列{bn}前n项和是Sn，当时，求Sn．

考点：数列与函数的综合；等差关系的确定；数列的求和．
专题：综合题；转化思想．
分析：（I）先利用条件求出f（an）的表达式，进而求出{an}的通项公式，再用定义来证{an}是等比数列即可；
（II）先求出数列{bn}的通项公式，再对数列{bn}利用错位相减法求和即可．
解答： 证明：（I）f（an）=4+（n﹣1）×2=2n+2，
即logaan=2n+2，可得an=a2n+2．
∴==为定值．
∴{an}为等比数列．
（II）解：bn=anf（an）=a2n+2logaa2n+2=（2n+2）a2n+2．
当时，．
Sn=2×23+3×24+4×25++（n+1）•2n+2 ①
2Sn=2×24+3×25+4×26++n•2n+2+（n+1）•2n+3 ②
①﹣②得﹣Sn=2×23+24+25++2n+2﹣（n+1）•2n+3
=﹣（n+1）•2n+3=16+2n+3﹣24﹣n•2n+3﹣2n+3．
∴Sn=n•2n+3．
点评：本题的第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．

19．地震、海啸、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险常识越来越引起人们的重视．某校为了了解学生对紧急避险常识的了解情况，从2014-2015学年高一年级和2014-2015学年高二年级各选取100名同学进行紧急避险常识知识竞赛．下图1和图2分别是对2014-2015学年高一年级和2014-2015学年高二年级参加竞赛的学生成绩按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，得到的频率分布直方图．

（Ⅰ）分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩；
（Ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”？
成绩小于60分人数 成绩不小于60分人数 合计
2014-2015学年高一年级 70 30 100
2014-2015学年高二年级 50 50 100
合计 120 80 200
附：．
临界值表：
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.010
k0 2.706 3.841 6.635

考点：独立性检验的应用．
分析：（I）根据频率分布直方图估算平均数，是将各组的组中值与频率的积进行累加
（II）根据（I）中的频率分布直方图求出各组的频数，进而可得列联表，代入公式后求出K2，与临界值比较后可得结论．
解答： 解：（Ⅰ）2014-2015学年七年级学生竞赛平均成绩（45×30+55×40+65×20+75×10）÷100=56（分），
2014-2015学年八年级学生竞赛平均成绩﹙45×15+55×35+65×35+75×15﹚÷100=60（分）．
…
（Ⅱ）
成绩小于6（0分）人数 成绩不小于6（0分）人数 合计
2014-2015学年七年级 70 30 100
2014-2015学年八年级 50 50 100
合计 120 80 200
…
∴，
∴有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”．
点评：本题考查的知识点是频率分布图，独立性质检验，是统计知识的应用，熟练掌握公式及类型解题步骤是解答的关键．

20．如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），依题意，可求得c=1，易求得|DF1|==，|DF2|=，从而可得2a=2，于是可求得椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由F1P1⊥F2P2，得x1=﹣或x1=0，分类讨论即可求得圆心及半径，从而可得圆的方程．
解答： 解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c2=a2﹣b2，
由=2，得|DF1|==c，
从而=|DF1||F1F2|=c2=，故c=1．
从而|DF1|=，由DF1⊥F1F2，得=+=，
因此|DF2|=，
所以2a=|DF1|+|DF2|=2，故a=，b2=a2﹣c2=1，
因此，所求椭圆的标准方程为+y2=1；
（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，

y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，
由（Ⅰ）知F1（﹣1，0），F2（1，0），所以=（x1+1，y1），=（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥F2P2，得﹣+=0，
由椭圆方程得1﹣=，即3+4x1=0，解得x1=﹣或x1=0．
当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在；
当x1=﹣时，过P1，P2，分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C，设C（0，y0）
由F1P1，F2P2是圆C的切线，知CP1⊥F1P1，得•=﹣1，而|y1|=|x1+1|=，
故y0=，
故圆C的半径|CP1|==．
综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x2+=．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用，考查综合分析与运算能力，属于难题．

21．已知P（x，y）为函数y=1+lnx图象上一点，O为坐标原点，记直线OP的斜率k=f（x）．
（Ⅰ）若函数f（x）在区间（m，m+）（m＞0）上存在极值，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）设g（x）=[xf（x）﹣1]，若对任意x∈（0，1）恒有g（x）＜﹣2，求实数a的取值范围．

考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题．
专题：综合题；导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）求导数，确定函数f（x）在x=1处取得极大值，根据函数在区间（m，m+）（m＞0）上存在极值点，可得，即可求实数a的取值范围；
（Ⅱ）分类讨论，构造函数h（x）=lnx+，则h′（x）=，设t（x）=x2+（2﹣4a）x+1，△=16a（a﹣1）．利用对任意x∈（0，1）恒有g（x）＜﹣2，即可求实数a的取值范围．
解答： 解：（Ⅰ）由题意k=，x＞0
所以f′（x）=﹣ …
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，
则f（x）在（0，1）上单增，在（1，+∞）上单减，
所以函数f（x）在x=1处取得极大值．
因为函数f（x）在区间（m，m+）（m＞0）上存在极值，
所以，得
即实数m的取值范围是（，1）． …
（Ⅱ）由题可知，a＞0，因为x∈（0，1），所以＜0．
当a＜0时，g（x）＞0，不合题意．
当a＞0时，由g（x）＜﹣2，可得lnx+＜0．…
设h（x）=lnx+，则h′（x）=
设t（x）=x2+（2﹣4a）x+1，△=16a（a﹣1）．…
（1）若0＜a≤1，则△≤0，h′（x）＞0，所以h（x）在（0，1）内单调递增，
又h（1）=0，所以h（x）＜h（1）=0．
所以0＜a≤1符合条件．…
（2）若a＞1，则△＞0，t（0）=1＞0，t（1）=4（1﹣a）＜0，
所以存在x0∈（0，1），使得t（x0）=0，h（x）在（x0，1）内单调递减，
又h（1）=0，所以当x∈（x0，1）时，h（x）＞0，不合要求．
综合（1）（2）可得0＜a≤1．…
点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与极值、最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．

20 / 20