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高二数学导数单元测试题(2)
　一．选择题（共12小题）
1．定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b）满足，，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．（） C．（，1） D．（，1）
2．曲线y=x3﹣x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是（　　）
A．[，+∞） B．（，+∞） C．（﹣，+∞） D．[﹣，+∞）
3．设f0（x）=cosx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），…，fn+1（x）=fn′（x）（n∈N），则f2016（x）=（　　）
A．sinx B．﹣sinx C．cosx D．﹣cosx
4．已知定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，则方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是（　　）
A．（0，） B．（1，2） C．（，1） D．（2，3）
5．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R满足f（x）+f′（x）＜0，则下列结论正确的是（　　）
A．2f（ln2）＞3f（ln3） B．2f（ln2）＜3f（ln3）
C．2f（ln2）≥3f（ln3） D．2f（ln2）≤3f（ln3）
6．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f′（x），若对任意实数x都有x2f′（x）＞2xf（﹣x），则不等式x2f（x）＜（3x﹣1）2f（1﹣3x）的解集是（　　）
A．（，+∞） B．（0，） C．（﹣∞，） D．（﹣∞，）∪（，+∞）
7．已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
8．函数y=x5﹣xex的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
9．已知函数f（x）=e|x|，函数g（x）=对任意的x∈[1，m]（m＞1），都有f（x﹣2）≤g（x），则m的取值范围是（　　）
A．（1，2+ln2] B．（1，+ln2] C．[ln2，2） D．（2，+ln2）
10．若函数f（x）=（x﹣1）（x+2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=0对称，则f（x）的最小值为（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
11．直线x=t（t＞0）与函数f（x）=x2+1，g（x）=lnx的图象分别交于A、B两点，当|AB|最小时，t值是（　　）
A．1 B． C． D．
12．已知函数f（x）=ln+，g（x）=ex﹣2，对∀m∈R，∃n∈（0，+∞）使得g（m）=f （n）成立，则n﹣m的最小值为（　　）
A．﹣ln 2 B．ln 2 C．2﹣3 D．e2﹣3
　二．填空题（共4小题）
13．已知f（x）=logax（a＞1）的导函数是f′（x），记A=f′（a），B=，C=f′（a+1），则由导数的几何意义和斜率公式可得A，B，C的大小关系是　　．
14．已知函数f（x）=x2+f′（2）（lnx﹣x），则f′（4）=　　．
15．对于函数f（x）给出定义：
设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．
某同学经过探究发现：任何一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面探究结果，计算
=　　．
16．已知函数f（x）=，无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上总是不单调，则a的取值范围是　　．
　三．解答题（共6小题）
17．设函数f（x）在x=3处可导，且f′（3）=﹣2，且f（3）=2，求的值．

18．（Ⅰ）已知y=，求y′．
（Ⅱ）已知y=x2sin（3x+π），求y′．

19．已知函数f（x）=x3+ax2﹣a2x﹣1，a＞0．
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若关于x的不等式f（x）≤0在[1，+∞）上有解，求实数a的取值范围．

20．已知函数，f（x）=x2+lnx﹣ax．
（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在（0，1）上有极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，设g（x）=1+x|x﹣a|（1≤x≤3），求函数g（x）的最大值．

21．已知函数f（x）=﹣x3+x2+b，g（x）=alnx．
（Ⅰ）若f（x）在x∈[﹣，1）上的最大值为，求实数b的值；
（Ⅱ）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围．

22．设函数f（x）=ax+lnx，g（x）=a2x2；
（1）当a=﹣1时，求函数y=f（x）图象上的点到直线x﹣y+3=0距离的最小值；
（2）是否存在正实数a，使得不等式f（x）≤g（x）对一切正实数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
高二数学导数单元测试题
参考答案与试题解析
　一．选择题（共12小题）
1．定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b）满足，，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．（） C．（，1） D．（，1）
【分析】根据题目给出的定义可得f′（x1）=f′（x2）==a2﹣a，即方程3x2﹣2x=a2﹣a在区间（0，a）有两个解，利用二次函数的性质可知实数a的取值范围．
【解答】解：由题意可知，∵f（x）=x3﹣x2+a，f′（x）=3x2﹣2x
在区间[0，a]存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），
满足f′（x1）=f′（x2）==a2﹣a，
∵f（x）=x3﹣x2+a，
∴f′（x）=3x2﹣2x，
∴方程3x2﹣2x=a2﹣a在区间（0，a）有两个不相等的解．
令g（x）=3x2﹣2x﹣a2+a，（0＜x＜a）
则，
解得；．
∴实数a的取值范围是（，1）
故选：C
【点评】本题主要考查了导数的几何意义，二次函数的性质与方程根的关系，属于中档题

2．曲线y=x3﹣x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是（　　）
A．[，+∞） B．（，+∞） C．（﹣，+∞） D．[﹣，+∞）
【分析】先求导函数，进而可确定导函数的范围，利用导数的几何意义，可求曲线y=x3﹣x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围
【解答】解：由题意，f（x）=x3﹣x+2，∴
∴曲线y=x3﹣x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是，
故选D．
【点评】本题以函数为载体，考查导数的几何意义，解题的关键是求导函数，并确定函数的值域
　3．设f0（x）=cosx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），…，fn+1（x）=fn′（x）（n∈N），则f2016（x）=（　　）
A．sinx B．﹣sinx C．cosx D．﹣cosx
【分析】求出f1（x）=f0′（x）=﹣sinx，f2（x）=f1′（x）=﹣cosx，f3（x）=f2′（x）=sinx，f4（x）=f3′（x）=cosx…从第五项开始，fn（x）的解析式重复出现，每4次一循环，由此能求出f2016（x）的值．
【解答】解：∵设f0（x）=cosx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），…，fn+1（x）=fn′（x）（n∈N），
∴∵f0（x）=cosx，
∴f1（x）=f0′（x）=﹣sinx，
f2（x）=f1′（x）=﹣cosx，
f3（x）=f2′（x）=sinx，
f4（x）=f3′（x）=cosx
…
从第五项开始，fn（x）的解析式重复出现，每4次一循环．
∴f2016（x）=f4×504（x）=f0（x）=cosx，
故选：C．
【点评】本题考查导数性质的应用，是中档题，解题时要认真审，注意三角函数性质的合理运用．
　4．已知定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，则方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是（　　）
A．（0，） B．（1，2） C．（，1） D．（2，3）
【分析】设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得t的值，可得f（x）的解析式，由二分法分析可得h（x）的零点所在的区间为（1，2），结合函数的零点与方程的根的关系，即可得答案．
【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，
又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
则f（x）﹣log2x为定值，
设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，
又由f（t）=3，即log2t+t=3，
解可得，t=2；
则f（x）=log2x+2，f′（x）=，
将f（x）=log2x+2，f′（x）=代入f（x）﹣f′（x）=2，
可得log2x+2﹣=2，
即log2x﹣=0，
令h（x）=log2x﹣，
分析易得h（1）=﹣＜0，h（2）=1﹣＞0，
则h（x）=log2x﹣的零点在（1，2）之间，
则方程log2x﹣=0，即f（x）﹣f′（x）=2的根在（1，2）上，
故选：B．
【点评】本题考查二分法求函数的零点与函数零点与方程根的关系的应用，关键点和难点是求出f（x）的解析式．
　5．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R满足f（x）+f′（x）＜0，则下列结论正确的是（　　）
A．2f（ln2）＞3f（ln3） B．2f（ln2）＜3f（ln3） C．2f（ln2）≥3f（ln3） D．2f（ln2）≤3f（ln3）
【分析】由题意设g（x）=exf（x），求出g′（x）后由条件判断出符号，由导数与函数单调性的关系判断出g（x）的单调性，由单调性和指数的运算即可得到答案．
【解答】解：由题意设g（x）=exf（x），
则g′（x）=exf（x）+exf′（x）=ex[f（x）+f′（x）]，
∵对任意x∈R满足f（x）+f′（x）＜0，ex＞0，
∴对任意x∈R满足g′（x）＜0，则函数g（x）在R上是减函数，
∵ln2＜ln3，∴g（ln2）＞g（ln3），即2f（ln2）＞3f（ln3），
故选：A．
【点评】本题考查导数与函数单调性的关系，函数单调性的应用，以及构造法的应用，属于基础题
　6．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f′（x），若对任意实数x都有x2f′（x）＞2xf（﹣x），则不等式x2f（x）＜（3x﹣1）2f（1﹣3x）的解集是（　　）
A．（，+∞） B．（0，） C．（﹣∞，） D．（﹣∞，）∪（，+∞）
【分析】f（x）是定义在R上的奇函数，可得：f（﹣x）=﹣f（x）．对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），可得：xf′（x）+2f（x）＞0，设g（x）=x2f（x），可得g′（x）＞0．可得函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．即可得出．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．
对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），
∴xf′（x）+2f（x）＞0，
设g（x）=x2f（x），
∴g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）＞0．
∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．
又g（0）=0，g（﹣x）=x2f（﹣x）=﹣g（x），
∴函数g（x）是R上的奇函数，
∴g（x）是R上的增函数．
∵不等式x2f（x）＜（3x﹣1）2f（1﹣3x）
∴g（x）＜g（1﹣3x），
∴x＜1﹣3x，
解得x＜．
∴不等式x2f（x）＜（3x﹣1）2f（1﹣3x）的解集为：（﹣∞，）．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
　7．已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【分析】由于f（x）=x2+cosx，得f′（x）=x﹣sinx，由奇函数的定义得函数f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x=代入f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合．
【解答】解：由于f（x）=x2+cosx，
∴f′（x）=x﹣sinx，
∴f′（﹣x）=﹣f′（x），故f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，
又当x=时，f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合，
故选：A．
【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，同时考查导数的计算，属于中档题．
　8．函数y=x5﹣xex的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用特殊值法，判断函数的图象即可．
【解答】解：当x=﹣1时，y=﹣1+＜0，排除A，C；
当x=2时，y=32﹣2e2＞32﹣18＞0，排除D，
故选：B．
【点评】本题考查函数的图象的判断与应用，特殊值法是判断函数的图象的有效方法之一．

9．已知函数f（x）=e|x|，函数g（x）=对任意的x∈[1，m]（m＞1），都有f（x﹣2）≤g（x），则m的取值范围是（　　）
A．（1，2+ln2] B．（1，+ln2] C．[ln2，2） D．（2，+ln2）
【分析】在同一坐标系中作出函数f（x）和函数g（x）的图象，数形结合可得满足条件的m的取值范围．
【解答】解：∵f（x）=e|x|，
∴f（x﹣2）=e|x﹣2|，
在同一坐标系中作出函数f（x）和函数g（x）的图象如下图所示：

由图可得：当x=1时，f（x﹣2）=g（x）=e，
当x=4时，f（x﹣2）=e2＜g（x）=4e，
当x＞4时，由f（x﹣2）=ex﹣2≤g（x）=4e5﹣x得：e2x﹣7≤4，
解得：x≤ln2+，
对任意的x∈[1，m]（m＞1），都有f（x﹣2）≤g（x），
则m∈（1，+ln2]，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象与性质，数形结合思想，难度中档，在同一坐标系中画出两个函数的图象是解答的关键．
　10．若函数f（x）=（x﹣1）（x+2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=0对称，则f（x）的最小值为（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】根据对称性求出a，b，利用导数研究函数的最值即可．
【解答】解：函数f（x）=（x﹣1）（x+2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=0对称，
∴f（﹣1）=f（1），f（﹣2）=f（2），
即﹣2（1﹣a+b）=0，0=4•（4+2a+b），求得b=﹣2，a=﹣1，
∴f（x）=（x﹣1）（x+2）（x2﹣x﹣2 ）=x4﹣5x2+4，
∴f′（x）=4x3﹣10x=2x（2x2﹣5）=2x（x﹣）•（x+）．
显然，在（﹣∞，﹣），（0，）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
在（，0），（，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
故当x=时，y=，x=时，y=，
函数y取得最小值为，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数最值的区间，根据对称性求出a，b的值，利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，综合性较强，难度较大．
　11．直线x=t（t＞0）与函数f（x）=x2+1，g（x）=lnx的图象分别交于A、B两点，当|AB|最小时，t值是（　　）
A．1 B． C． D．
【分析】将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．
【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx+1，求导数得
y′=2x﹣=
当0＜x＜时，y′＜0，函数在（0，）上为单调减函数，
当x＞时，y′＞0，函数在（，+∞）上为单调增函数
所以当x=时，所设函数的最小值为+ln2，
所求t的值为．
故选B．
【点评】可以结合两个函数的草图，发现在（0，+∞）上x2＞lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值．
　12．已知函数f（x）=ln+，g（x）=ex﹣2，对∀m∈R，∃n∈（0，+∞）使得g（m）=f （n）成立，则n﹣m的最小值为（　　）
A．﹣ln 2 B．ln 2 C．2﹣3 D．e2﹣3
【分析】由g（m）=f （n），求出m的表达式，从而得出n﹣m的表达式，设h（x）=，求得导数，求出单调区间和极小值，也为最小值，进而求出n﹣m的最小值．
【解答】解：根据题意，g（m）=f （n）
即em﹣2=ln+，
∴m=2+ln（ln+），
∴n﹣m=n﹣2﹣ln（ln+），
=lnen﹣2﹣ln（ln+），
=ln，
设h（x）=，
则h′（x）=，
令h′（x）=0，得ln+﹣=0，
由x＞0，可得ln+﹣递增，
当x=2时，h′（x）=0，
x＞2时，h′（x）＞0，h（x）递增；
0＜x＜2时，h′（x）＜0，h（x）递减．
可得x=2处取得极小值且为最小值h（2）=2，
则n﹣m的最小值为ln2．
故选：B．
【点评】本题考查了求函数最值的问题，解题的关键是建立目标函数，利用导数求目标函数的最值，是较难的题目．

二．填空题（共4小题）
13．已知f（x）=logax（a＞1）的导函数是f′（x），记A=f′（a），B=，C=f′（a+1），则由导数的几何意义和斜率公式可得A，B，C的大小关系是　A＞B＞C　．
【分析】设M坐标为（a，f（a）），N坐标为（a+1，f（a+1）），利用导数及直线斜率的求法得到A、B、C分别为对数函数在M处的斜率，直线MN的斜率及对数函数在N处的斜率，根据对数函数的图象可知大小，得到正确答案
【解答】解：记M（a，f（a）），N（a+1，f（a+1）），则由于，表示直线MN的斜率； A=f'（a）表示函数f（x）=logax在点M处的切线斜率； C=f'（a+1）表示函数f（x）=logax在点N处的切线斜率．
所以A＞B＞C．
故答案为：A＞B＞C．
【点评】此题考查学生会利用导数求过曲线上某点切线的斜率，掌握直线斜率的求法，是一道中档题．
　14．已知函数f（x）=x2+f′（2）（lnx﹣x），则f′（4）=　6　．
【分析】f′（2）是一个常数，对函数f（x）求导，能直接求出f′（2）的值，再求出f′（4）
【解答】解：∵f（x）=x2+f′（2）（lnx﹣x），
∴f′（x）=2x+f′（2）（﹣1），
∴f′（2）=4+f′（2）（﹣1），
解得f′（2）=，
∴f′（4）=8+（﹣1）=8﹣2=6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了求导法则，解题时应知f′（2）是一个常数，根据求导法则进行计算即可，是基础题．

15．对于函数f（x）给出定义：
设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．
某同学经过探究发现：任何一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面探究结果，计算
=　2016　．
【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（，1）对称，即f（x）+f（1﹣x）=2，即可得到结论．
【解答】解：由，
∴f′（x）=x2﹣x+3，
所以f″（x）=2x﹣1，由f″（x）=0，得x=．
∴f（x）的对称中心为（，1），
∴f（1﹣x）+f（x）=2，
故设f（）+f（）+f（）+…+f（）=m，
则f（）+f（）+…+f（）=m，
两式相加得2×2016=2m，
则m=2016，
故答案为：2016．
【点评】本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．求和的过程中使用了倒序相加法．
　16．已知函数f（x）=，无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上总是不单调，则a的取值范围是　（﹣∞，]　．
【分析】由f'（x）=6x2﹣6，x＞t，知x＞t时，f（x）=2x3﹣6x一定存在单调递增区间，从而要使无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调，必须有f（x）=（4a﹣3）x+2a﹣4不能为增函数，由此能求出a的取值范围．
【解答】解：对于函数f（x）=2x3﹣6x，
f'（x）=6x2﹣6，x＞t
当6x2﹣6＞0时，即x＞1或x＜﹣1，
此时f（x）=2x3﹣6x，为增函数
当6x2﹣6＜0时，﹣1＜x＜1，
∵x＞t，∴f（x）=2x3﹣6x一定存在单调递增区间
要使无论t取何值，
函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调
∴f（x）=（4a﹣3）x+2a﹣4不能为增函数
∴4a﹣3≤0，∴a≤．
故a的取值范围是（﹣∞，]．
故答案为：（﹣∞，]．
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查等价转化思想、数形结合思想，是中档题．

三．解答题（共6小题）
17．设函数f（x）在x=3处可导，且f′（3）=﹣2，且f（3）=2，求的值．
【分析】根据题意，属于“”型，根据根据洛必达法则即可求出结论．
【解答】解：当f（3）=2时，x→3时，2x﹣3f（x）→2×3﹣3×2=0，x﹣3→0，属于“”型，
根据洛必达法则，==[2﹣3f′（x）]=2﹣3×（﹣2）=8
【点评】本题考查了导数的定义和洛必达法则，属于基础题．

18．（Ⅰ）已知y=，求y′．
（Ⅱ）已知y=x2sin（3x+π），求y′．
【分析】（Ⅰ）根据导数的运算法则；
（Ⅱ）由复合函数的求导法则，y'=（x2）'sin（3x+π）+x2[sin（3x+π）]'，即可求得y′．
【解答】解：（Ⅰ）
（Ⅱ）y'=（x2）'sin（3x+π）+x2[sin（3x+π）]'，
=2xsin（3x+π）+x2cos（3x+π）•（3x+π）'，
=2xsin（3x+π）+3x2cos（3x+π），
=﹣2xsin3x﹣3x2cos3x．
【点评】本题考查导数的运算，考查复合函数求导法则，考查计算能力，属于基础题．

19．已知函数f（x）=x3+ax2﹣a2x﹣1，a＞0．
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若关于x的不等式f（x）≤0在[1，+∞）上有解，求实数a的取值范围．
【分析】（1）由当a=2时，f（x）=x3+2x2﹣4x﹣1，求导：f′（x）=3x2+4x2﹣4=（3x﹣2）（x+2），f′（x）=0，解得：x=，x=﹣2，令f′（x）＞0，求得函数的单调递增区间，令f′（x）＜0，求得函数的单调递减区间；
（2）由题意可知：f（x）在区间[1，+∞）上的最小值小于等于0，求导f′（x）=3x2+2ax2﹣22=（3x﹣a）（x+a），令f′（x）=0，解得：x1=＞0，x2=﹣a＜0，①当≤1，即a≤3时，由函数的单调性可知：当x=1时取最小值，即f（1）≤0，即可求得a的取值范围；当＞1，即a＞3时，则当x=时，取最小值，f（）=+﹣﹣1≤0，即可求得实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=2时，函数f（x）=x3+2x2﹣4x﹣1，
求导：f′（x）=3x2+4x2﹣4=（3x﹣2）（x+2），
令f′（x）=0，解得：x=，x=﹣2，
由f′（x）＞0，解得：x＞或x＜﹣2，
由f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜，
∴函数f（x）的单调递减区间为（﹣2，），单调递增区间（﹣∞，﹣2），（，+∞）；
（2）要使f（x）≤0在[1，+∞）上有解，只要f（x）在区间[1，+∞）上的最小值小于等于0，
由f′（x）=3x2+2ax2﹣22=（3x﹣a）（x+a），
令f′（x）=0，解得：x1=＞0，x2=﹣a＜0，
①当≤1，即a≤3时，f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，
∴f（x）在[1，+∞）上的最小值为f（1），
由f（1）≤0，即1+a﹣a2﹣1≤0，整理得：a2﹣a≥0，
解得：a≥1或a≤0，
∴1≤a≤3．
②当＞1，即a＞3时，f（x）在区间[1，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，
∴f（x）在[1，+∞）上最小值为f（），
由f（）=+﹣﹣1≤0，解得：a≥﹣，
∴a＞3．
综上可知，实数a的取值范围是[1，+∞）．
【点评】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及最值，考查导数与不等式的综合应用，考查分类讨论思想，属于中档题．

20．已知函数，f（x）=x2+lnx﹣ax．
（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在（0，1）上有极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，设g（x）=1+x|x﹣a|（1≤x≤3），求函数g（x）的最大值．
【分析】（Ⅰ）通过a=3，求出函数的导数，利用导函数的符号，判断函数的单调性，直接求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求出函数的导数，利用f（x）在（0，1）上有极值，结合判别式，即可求a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，对于a≥3，时，转化函数g（x）=1+x|x﹣a|（1≤x≤3），分别求解函数g（x）的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵a=3，∴，
∵x＞0，由，
由，
∴f（x）的增区间是，减区间是．
（Ⅱ）∵，由已知可得，方程2x2﹣ax+1=0在（0，1）内有解，且△≠0．
∴，∵函数在递减，递增，
所以，由△≠0，∴．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得．
1°当a≥3时，，∵，
若，即3≤a＜6时，．
若，即a≥6时，g（x）max=g（3）=3a﹣8．
2°当时，
∵，
当1≤x≤a时，．当a≤x≤3时，g（x）max=g（3）=3a﹣8，
∵，∴，
所以，当时，．
综上可得，．
【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及最值的求法，难度比较大，考查计算能力转化思想的应用．

21．已知函数f（x）=﹣x3+x2+b，g（x）=alnx．
（Ⅰ）若f（x）在x∈[﹣，1）上的最大值为，求实数b的值；
（Ⅱ）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）求解导数，利用导函数求极值点，单调区间，判断最值，求出b 的值
（2）g（x）≥﹣x2+（a+2）x转化为另一个函数的最值问题求解，用好分离参数的方法．
【解答】解：（1）函数f（x）=﹣x3+x2+b，函数f（x）=﹣3x2+2x，f（x）=0得x=0，x=，
f（x）＞0，0； f（x）＜0，x＜0或
可知：f（x）在x∈[﹣，1）有[﹣，0），（，1）是减区间，（0，）是增区间
f（﹣）=+b，f（）=+b，可以判断）+b=，b=0
所以实数b的值为0
（2）任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x，g（x）=alnx．
a≤，设T（x）=，x∈[1，e]
T′（X）=，x∈[1，e]，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣lnx＞0，
从而t′（x）≥0，t（x）在[1，e]上为增函数．
所以t（x）min=t（1）=﹣1，所以a≤﹣1
【点评】本题考查了导数在最值中的应用，用分离参数，构造函数，解决恒成立问题中参变量的范围问题．

22．设函数f（x）=ax+lnx，g（x）=a2x2；
（1）当a=﹣1时，求函数y=f（x）图象上的点到直线x﹣y+3=0距离的最小值；
（2）是否存在正实数a，使得不等式f（x）≤g（x）对一切正实数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）平移直线x﹣y+3=0当它与函数y=f（x）图象相切时，切点即为函数y=f（x）图象上到直线x﹣y+3=0距离最小的点，此时切线的斜率等于函数y=f（x）在切点处的导数，故求切点坐标可以根据导函数值等于1入手．
（2）若不等式f（x）≤g（x）对一切正实数x都成立，我们可以构造函数F（x）=f（x）﹣g（x）将其转化为函数恒成立问题，然后根据导函数求出F（x）的最大值，根据F（x）≤0恒成立⇔F（x）的最大值≤0进行求解．
【解答】解：（1）由f（x）=﹣x+lnx，得，令f'（x）=1，得
∴所求距离的最小值即为到直线x﹣y+3=0的距离

（2）假设存在正数a，令F（x）=f（x）﹣g（x）（x＞0），则F（x）max≤0
由得∵时，F′（x）＜0，
∴F（x）为减函数；
当时，F′（x）＞0，
∴F（x）为增函数
∴
∴即a≥1
所以a的取值范围是[1，+∞）
【点评】（1）用导数解应用题求最值的一般方法是：求导，令导数等于零；求y′=0的根，求出极值点；最后写出解答．（2）在有关极值应用的问题中，绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得f′（x）=0，且在两侧f′（x）的符号各异，一般称为单峰问题，此时该点就是极值点，也是最值点．

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