相似三角形基本知识点及典型例题.doc

相似三角形
一、知识点梳理
★知识点一：比例线段
1、比例：如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例，通常我们把四个实数成比例表示成：或者a：：d，期中b，c称为比例内项，a，d称为比例外项。
等式两边同乘以，可得，反过来等式同除以，可得
2、比例线段：在四条线段中，如果的比等于的比，即，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
3、比例中项：如果三个数a，b，c满足比例式，那么b叫做a、c的比例中项， 此时有。
4、黄金分割：如果点P把线段分成两条线段和，使，那么称线段被点P黄金分割，点P叫做线段的黄金分割点，比值叫做黄金比。≈0.618
5、比例式变形：或

例1、如果＝，那么＝＿＿＿＿＿。
例2、若 ，则的值是( )
A、 B、 C、 D、
例3、若45y,则x∶y＝ . 例4、若＝＝，则∶＝ .
例5、已知＝，则的值为 .例6、如果x∶y∶z＝1∶3∶5，那么＝
例7、如果，且，那么
例8、如果，那么
例9、已知＝x，求x
★知识点二：相似三角形
1、定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。如△与△相似，记作△ ∽△。
几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。
两个等腰直角三角形一定相似。
两个等边三角形一定相似。
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。
★知识点三：相似三角形的判定
1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．
2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角
形与原三角形相似．
3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两
个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．
4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹
角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这
两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．
相似三角形的几种基本图形：
（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）

(2) 如图：其中∠1=∠2，则△∽△称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、
“反A共角共边型”、 “蝶型”）

（3） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）

(4)如图：∠1=∠2，∠∠D，则△∽△，称为“旋转型”的相似三角形。

例1、如图，△∽△, 其中∥，写出对应边的比例式。

例2、如图，已知△∽△，50 ，30 ，70 ，∠45°，
∠40°，求：1）∠和∠的度数；2）的长。

例3、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△相似的是( )

例4、如图所示，已知中，E为延长线上的一点，3，与相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.

例5、已知：如图正方形中，P是上的点，且3，Q是的中点．
求证：△∽△．

例6、已知：如图，是△的高，E、F分别是、的中点．
求证：△∽△．
★知识点四：相似三角形的性质及其应用
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
(3)相似三角形周长的比等于相似比．
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
例1、△∽△，若△的边长分别为5、6、7，而4是△中一边的长度，你能求出△的另外两边的长度吗？试说明理由.

例2、△中，∥，M为中点，交于N，若，求.

例3、如图，已知∥∥,△的面积为18，求四边形的面积。

例4、如图，在△在边中，点分别在边上，∥∥.已知=，。

例5有一块三角形的余料，它的边长120，高80，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，问加工成的正方形零件的边长为多少？