资源描述
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§3.1分式
本节知识点:
① 理解分式的概念;
② 理解分式有意义的条件;
③ 理解分式的值为0的条件.
相关知识的回顾:
单项式:数与字母的积,单独的一个数和字母也是单项式.如，等.
整式
多项式:几个单项式的和.如.
[问题情景] 面对日益严重的土地沙化问题,某县决定分期分批固沙造林,一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷,实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷,结果提前4个月完成原计划任务.原计划每月固沙造林多少公顷?
分析:这一问题中有哪些等量关系?
实际每月固沙造林的面积=____________________________+_____________
____________________________-__________________________=4个月
解:设原计划每月固沙造林公顷,那么实际每月固沙造林________公顷.
原计划完成一期工程需要__________个月,实际完成一期工程用了___________个月.
根据题意,可得方程
_____________________________________.
[做一做]
(1) 正边形的每个内角为___________度.
(2) 文林书店库存一批图书,其中一种图书的愿价是每册元,现降价元销售,当这种图书的库存全部售出时,其销售额为元.降价销售开始时,文林书店这种图书的库存量是多少?____________.
知识点1:分式的概念
整式A除以整式B,可以表示成的形式.如果B中含有字母,那么称为分式,其中A称为分式的分子,B称为分式的分母,对于任意分式,分母都不能为0.
[笔记]①分式中,A、B是两个整式,它是两个整式相除的商,分数线有括号和除号两个作用;
②分式中B一定含有字母,而分子A中可以含有字母,也可以不含有字母;
③分式只有当B≠0时,分式才有意义.
*[例1]在下列式子中,哪些是整式?哪些是分式?(只填序号)
①, ②, ③, ④, ⑤, ⑥, ⑦, ⑧.
分析:区分整式与分式的唯一标准就是看分母,分母中不含字母的是整式,分母中含有字母的是分式.
解:整式有:______________________________________;
分式有:______________________________________.
知识点2:分式有意义和无意义的条件
分式有意义的条件是:分母B≠0.
分式无意义的条件是:分母B=0.
注意:本章中若无特别说明,所遇到的分式都是有意义的.
*[例2]当取何值时,下列分式有意义?
(1); (2); (3).
解:
知识点3:分式的值为0的条件
满足分式的值为0的两个条件:一是分子等于0,二是分母不等于0,两者必须同时满足.
**[例3]若分式的值为零,则=________.
提示：分式=0的条件是A=0且B≠0.
*[针对性练习1] 在下列式子中,哪些是整式?哪些是分式?
(1); (2); (3); (4).
*[针对性练习2] 当取何值时,下列分式有意义?
(1); (2); (3); (4).
**[针对性练习3] 若分式的值为零,则=________.
***分解因式：______________________
§3.1.2分式的基本性质
本节知识点:
① 掌握分式的基本性质;
② 根据分式的基本性质约分.
相关知识的回顾:
分数的基本性质:
分数的分子、分母都乘(或除以)同一个不等于0的数,分数的大小不变.
例如:
知识点1:分式的基本性质:
分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.
例如:
[注意]“不等于零”、“都”、“同”。
*[针对性练习1]下列等式的右边是怎样从左边得到的？
（1）；
（2）；
（3）
（4）
知识点2:约分和最简分式
约分是分式基本性质的具体应用，也是分式乘除法的基础。根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
约分的关键是正确找出分子与分母的公因式。
当分式的分子和分母没有公因式时,这样的分式称为最简分式.化简分式时,通常要使结果成为最简分式或整式.
*[例1]化简右边分式(约分): (1); (2).
解:
[笔记]①约分时,由于分子、分母都除以的整式是它们的公因式,所以由原分式有意义可知,分子与分母的公因式一定不为0,故运用分式的基本性质约去公因式时,不必强调指出公因式不为0,而是直接约去即可;
②约分的关键是找出分子与分母的公因式,当分子、分母是多项式时,要先把分式的分子与分母分解因式,然后约去分子与分母的公因式;
③找公因式的方法:先分解因式后,系数取最大公约数,字母(或公因式)取相同字母(或相同因式)的最低次幂;
④化简分式要彻底,即化简结果为最简分式或整式.
[针对性练习2]化简下列分式:
*(1); *(2);
*(3); *(4);
**(5); **(6).
[针对性练习2]先化简,再求值:
**(1);
**(2).
***已知x，y，z为三个互不相等的实数，且，求证：
§3.2分式的乘除法
本节知识点:
① 理解分式的乘除法运算法则,并能熟练地运用法则进行分式的乘除运算.
② 以分数的乘除法法则为基础,探索分式的乘除法法则,渗透类比的数学思想.
相关知识的回顾:
1. 计算:
2. 猜一猜:
知识点1:分式的乘法法则:
两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.
[注意]:①分式的乘法与分数的乘法类似,可类比于分数的乘法学习.
②分式与分式相乘时,若分子、分母都是单项式,可直接利用乘法法则运算后再约分;若分子、分母都是多项式,可先对分子、分母分解因式,经约分后,再进行乘法运算;若分式乘整式,可把整式看成分母为1的“分式”参与计算.
③运算的结果必须是最简分式或整式.
[例1]计算:
(1); (2); (3)
解:
(1) 原式=
(2) 原式=
(3) 原式=
[针对性练习1]计算:
(1); (2);
(3); (4)
知识点2:分式的除法法则:
两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
[注意]先把除法转化成乘法.
[例2]计算:
(1); (2)
解:
(1)原式=
(2)原式=
[针对性练习2]计算:
(1); (2);
(3); (4)
[针对性练习3]分式的乘除法混合运算:(注意从左到右运算)
(1); (2)
§3.3.1分式的加减法(1)
一、预习目标：
1.类比同分母分数的加减运算，能总结出同分母分式的加减法法则，会进行同分母分式的加减。
2.会把异分母分式的加减转化为同分母分式的加减。
3.理解分式的通分和确定最简公分母。
二、预习重点：
讨论分式的加减运算法则。难点是分式的通分和如何确定最简公分母。
三、预习提纲：
(一)忆一忆
同分母的分数如何加减？例如：_________; _________.
(二)猜一猜
_________,_________,
你能总结出同分母的分式加减法的法则吗?
____________________________________________________.
(三)做一做
[注意]最后运算的结果应该是最简分式或整式.
(四)忆一忆
异分母的分数如何加减?例如:
(五)猜一猜
总结:解决异分母分式的加减问题其关键是_________________________________________.
(六)议一议
小明认为,只要把异分母的分式化成同分母的分式,异分母分式的加减问题就变成了同分母分式的加减问题.小亮同意小明的这种看法,但他俩的具体做法不同.
小明:
小亮:
你能看出他们的区别在哪里吗?
(七)通分与最简公分母
通分:根据分式的基本性质,异分母的分式可以化为同分母的分式,这一过程称为分式的通分.
通分的难点是寻找最简公分母,确定最简公分母的一般方法:
(1) 把各分式分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数;
(2) 把相同字母(或因式分解后得到的相同因式)的最高次幂作为最简公分母的一个因式;
(3) 把只在一个分式的分母中出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式.
(八)试一试
(1)的最简公分母是_____________,通分为_________________________.
(2) 的最简公分母是_____________,通分为_________________________.
(3) 的最简公分母是_____________,通分为_________________________.
(九)练一练
(1) (2)
四、达标测评:
计算
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
§3.3.2分式的加减法(2)
一、预习目标：
1.进一步掌握通分的步骤,并且能熟练地进行通分.
2.总结归纳出异分母分式的加减法法则.
二、预习重点：
归纳异分母分式的加减法法则. 难点是分式的通分和如何确定最简公分母。
三、预习提纲：
(一)忆一忆
我们已经知道了通分和最简公分母,你能不能用所学过的知识解这两个题:
通分:
解: (1)∵最简公分母是______________,
∴
(2) ∵最简公分母是____________________,
∴
通分的步骤:
(1)将各分母因式分解(当分母已经是因式分解形态时,这步可以省略);
(2)寻找最简公分母;
(3)根据分式基本性质,把各分式的分子、分母乘同一整式,化异分母为最简公分母.
(二)试一试
(三)总一总
与异分母分数的加减法法则类似,异分母分式的加减法法则是:
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.
(四)试一试,学一学
计算: (1) (2)
解: (1)原式= (2)原式=
点评: 异分母的分式相加减,可以先通分,化为同分母的分式,然后再相加减.
(五)练一练
(1); (2); (3).
点评: (1)在把异分母化成同分母分式的过程中,必须使得化成的分式与原来的分式相等;
(2)分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式.
(六)能力提升:
用两种方法计算:
四、达标测评:
计算
(1) (2)
(3) (4)
§3.4.2列分式方程解应用题
一、预习目标：
1.能用分式表示现实情境中的数量关系，体会分式是表示现实世界中一类量的数学模型，进一步发展符号感。
2.能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用。
二、预习重点：
列分式方程解应用题. 难点是找等量关系。
三、预习提纲：
(一)忆一忆
(1)边形的内角和=____________________;边形的外角和=_____________;
(2)工作量=_______________________________;(工作量不明确时可以看做单位“1”)
(3)浓度=_________________________;
(4)路程=_________________________;
(5)顺流速度=_______________________;逆流速度=_______________________;
(6)利润率=____________________;
(二)做一做 (用分式来表示)
(1)正边形的每个内角为________________________;
(2)有两块棉田,第一块公顷,收棉花千克,第二块公顷,收棉花千克,这两块棉田平均每公顷的棉产量是________________________;
(3)一件商品售价元,利润率为,则这种商品每件的成本是________________元;
(4)一项工程,甲单独做小时完成,乙单独做小时完成,甲、乙两人一起完成这项工程需要______________小时.
(5)有一座山,山路全长米,某人上山的速度是米/秒,下山的速度是米/秒,请用式子表示此人上下山的平均速度______________________;
(6)轮船顺水航行速度为千米/小时,逆水航行速度为千米/小时,那么水流速度是____________;
(7)某学校有煤吨,原计划每天烧吨,现在每天节约煤吨,则可比原计划多烧的天数为______________;
(8)一项工程,甲、乙合作需天完成,甲单独做需天完成,则乙单独做需___________天完成.
(三)试一试：列分式方程解应用题，只列方程不求解。
(1) 小麦实验田问题
有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000kg和15000kg。已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg，分别求出这两块试验田每公顷的产量。
①你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
②如果设第一块实验田每公顷的产量为，那么第二块试验田每公顷的产量是___________kg.
③根据题意，可得方程：_____________________________________________
(2) 高速公路问题
从甲地到乙地有两条长路：一条是全长600的普通公路，另一条是全长480的高速公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间。
①这一问题中有哪些等量关系？
②如果设客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为 ，那么它由普通公路从甲地到乙地所需的时间为 _________________。
③根据题意，可得方程：______________________________________________
(3) 电脑网络培训问题
王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元。后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元，原定的人数是多少？
①这一问题中有哪些等量关系？
②如果设原定是人，那么每人平均分摊______________元。
③人数增加到原定人数的2倍后，每人平均分摊_________________元。
④根据题意，可得方程：___________________________________________
学生独立完成以下两题:
(4) 捐款问题
为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园。某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款恰好相等。如果设第一次捐款人数为人，那么满足怎样的方程？
(5) 管理问题
某商场有管理人员40人，销售人员80人，为了提高服务水平和销售量，商场决定从管理人员中抽调一部分人充实销售部分，使管理人员与销售人员的人数比为1：4，那么应抽调的管理人员数满足怎样的方程？
(四)学一学：列分式方程求解（必须检验）
某单位将沿街的一部分房屋出租．每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元.
(1) 你能找出这一情境中的等量关系吗?
(2) 根据这一情境你能提出哪些问题?
(3) 你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗?
（五）试一试
某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨，小丽家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元．已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5立方米，求该市今年居民用水的价格．
四、达标测评:利用分式方程解决下列问题
1．甲、乙两人做某种机器案件，已知甲每小时比乙多做6个，且甲做90个零件与乙做60个零件所用的时间相同，求甲、乙两人每小时各做多少个零件？
2.某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利25%。求这种服装的成本价。
3.小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书．科普书的价格比文学书高出一半，困此他们所买的科普书比所买的文学书少1本，这种科普书和这种文学书的价格各是多少？
4.甲种原料与乙种原料的单价比为2：3，将价值2000元的甲种原料与价值1000元的乙种原料混合后，单价为9元，求甲种原料的单价。
§第三章 分式的回顾与思考（预习学案）
一、预习目标：
1．让学生回顾分式的有关概念、分式的化简与运算；培养学生的代数表达能力。
2．让学生回顾分式方程的解法与解分式方程应用题的基本步骤，让学生能从具体的情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示，发展学生的符号感．
二、预习重难点：
1．提高学生的运算能力，发展学生的合情推理能力。
2．注重学生对分式的理解，提高学生分析问题的能力。
三、预习提纲：
第一环节 忆一忆（第一小组）
活动内容：
1、用语言回答分式的基本性质，并用数学的符号表示出来！
2、用语言回答分式的乘除法的法则，并用数学的符号表示出来！
3、用语言回答同分母的分式加减法的法则，并用数学的符号表示出来！
4、用语言回答异分母的分式加减法的法则，并用数学的符号表示出来！
5、解分式方程有哪些步骤？请简略表示出来！
6、解分式方程应用题有哪些步骤？请简略表示出来！
疑难：
第二环节 想一想（第二小组）
活动内容：填空题
1、某人打靶，有次均打中环，有次均打中环，则此人平均每次中靶的环数是___________．
2、当____________时，分式有意义．
3、当____________时，分式的值为0．
归纳小结：
第三环节 做一做（第三小组）
活动内容：化简下列各式
（1） （2）
（3）
疑难：
第四环节 做一做（第四小组）
活动内容：计算
（1） （2）
（3）
误区警示：
第五环节 试一试（第五小组）
活动内容：
1、先化简，后求值
，其中．
2、已知：，求、的值．
第六环节 想一想（第六小组）
活动内容：
1、已知：，求的值．
2、已知：，求的值．
疑难：
第七环节 做一做（第七小组）
活动内容：解下列分式方程
（1） （2）
误区警示：
第八环节 试一试（第八小组）
活动内容：
1、关于的分式方程有增根，求.
2、利用分式方程解应用题
甲、乙两地相距360千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地间行驶的长途客运车平均车速提高了50%，而从甲地到乙地的时间缩短了2小时。试确定原来的平均车速。
§第三章 分式的回顾与思考（预习学案）
一、预习目标：
1．让学生回顾分式的有关概念、分式的化简与运算；培养学生的代数表达能力。
2．让学生回顾分式方程的解法与解分式方程应用题的基本步骤，让学生能从具体的情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示，发展学生的符号感．
二、预习重难点：
1．提高学生的运算能力，发展学生的合情推理能力。
2．注重学生对分式的理解，提高学生分析问题的能力。
三、预习提纲：
第一环节 忆一忆（第一小组）
活动内容：
1、用语言回答分式的基本性质，并用数学的符号表示出来！
2、用语言回答分式的乘除法的法则，并用数学的符号表示出来！
3、用语言回答同分母的分式加减法的法则，并用数学的符号表示出来！
4、用语言回答异分母的分式加减法的法则，并用数学的符号表示出来！
5、解分式方程有哪些步骤？请简略表示出来！
6、解分式方程应用题有哪些步骤？请简略表示出来！
疑难：
第二环节 想一想（第二小组）
活动内容：填空题
1、某人打靶，有次均打中环，有次均打中环，则此人平均每次中靶的环数是___________．
2、当____________时，分式有意义．
3、当____________时，分式的值为0．
归纳小结：
第三环节 做一做（第三小组）
活动内容：化简下列各式
（1） （2） （3）
疑难：
第四环节 做一做（第四小组）
活动内容：计算：（1） （2）
（3）
误区警示：
第五环节 试一试（第五小组）
活动内容：
1、先化简，后求值
，其中．
2、已知：，求、的值．
第六环节 想一想（第六小组）
活动内容：
1、已知：，求的值．
2、已知：，求的值．
疑难：
第七环节 做一做（第七小组）
活动内容：解下列分式方程
（1） （2）
误区警示：
第八环节 试一试（第八小组）
活动内容：
1、关于的分式方程有增根，求.
2、利用分式方程解应用题
甲、乙两地相距360千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地间行驶的长途客运车平均车速提高了50%，而从甲地到乙地的时间缩短了2小时。试确定原来的平均车速。
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