整式乘除与因式分解讲义.doc

第八章 整式乘除与因式分解

【知识点1】幂的运算
1.同底数幂的乘法法则：（都是正整数）
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。
如：
同底数幂的乘法法则可以逆用：即 如：
可以根据已知条件，对原来的指数进行适当地“分解”。
2.幂的乘方法则：（都是正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：
幂的乘方法则可以逆用：即 如：
3.积的乘方法则：（是正整数）。积的乘方，等于各因数乘方的积。
如：（=
积的乘方法则可以逆用：即

4.同底数幂的除法法则：（都是正整数，且
同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：
同底数幂的除法法则可以逆用：即如：已知，则
5.零指数幂： ，即任何不等于零的数的零次方等于1。
6.负整指数幂：（是正整数）
7.科学计数法：
（1）绝对值大于1的数可记为，其中，是正整数，等于原数数位减1. 如记为
（2）绝对值小于1的数可记为，其中，是正整数，等于原数中第一个有效数字前面的零的个数（包括小数点前的0）. 如记为

考点1 同底数幂的乘法
【例1】下列各式中，正确的是（ ）
A． B.
C. D.
【例2】
【例3】若am＝2，an＝3，则am+n等于( )
A．5 B.6 C.8 D.9
【例4】已知n是大于1的自然数,则等于 ( )
A. B. C. D.

【练习】
1.102·107 ＝
2.
3.在等式a3·a2·( )＝a11中，括号里面人代数式应当是
4.,则m=
5.－t3·(－t)4·(－t)5
6.已知xm－n·x2n+1=x11，且ym－1·y4－n=y7，则m=____，n=____.

考点2 幂的乘方
【例1】（1） （2） （3）( )2＝a4b2
【例2】若则=
【练习】
1.=
2.=
3.计算的结果是 ( )
A. B. C. D.
4.
5.的结果是
6.=
考点3 积的乘方
【例1】下面各式中错误的是（ ）．
A．（24）3=212 B．（－3a）3=－27a3
C．（3xy2）4=81x4y8 D．（2a2b2）2=2a4b2
【例2】计算

【练习】
1. 面各式中正确的是（ ）
A．3x2·2x=6x2 B．（xy2）2=x2y4
C．（－2xy2）3=－2x3y6 D．（－x2）·（x3）=x5
2.当a=－1时，－（a2）3的结果是（ ）
A．－1 B．1 C．a6 D．以上答案都不对
3.与[（－3a2）3] 2的值相等的是（ ）
A．18a12 B．243a12 C．－243a12 D．以上结论都不对
4.下列计算正确的是（ ）
A． 　　 B．
C．　 　 D．
5.计算的结果是( )
A. B. C. 　 D.
6.计算（1） （2）（－a2x4）2－（2ax2）4

（3）－a3·a4·a+（a2）4+（－2a4）2 （4）2（x3）2·x3－（3x3）2+（5x）2·x7

（5）（－）2008·（）2008

7. 已知，求的值。

8. 若 ， 求的值。

考点4 同底数幂的除法
【例1】（1） （2）
【例2】
【练习】
1.
2.
3.下列4个算式
(1)
(2)
(3) (4)
4.其中,计算错误的有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

考点5 幂的混合运算
1.a5÷（－a2 ）·a＝
2.()＝
3.(－a3)2·(－a2)3
4.＝
5.（1） （2）(－3a)3－(－a)·(－3a)2

（3）

6.下列运算中与结果相同的是( )
A. B.
C. D.
7.32m×9m×27＝
8.化简求值a3·（－b3）2＋（－ab2）3 ，其中a＝，b＝4。

考点6 混合运算整体思想
【例1】(a＋b)2·(b＋a)3＝

【例2】

【练习】
1.(2m－n)3·(n－2m)2＝
2.（1）(p－q)4÷(q－p)3·(p－q)2 （2）

3. (m为偶数,)

4.++

考点7 科学计数法
【例1】一种细菌的半径是厘米，用科学计数法表示为 厘米
【例2】每立方厘米的空气质量为1.239×10-3g，用小数把它表示为
【练习】
1.最薄的金箔的厚度为0.000000091m，用科学记数法表示为
2.小数表示
3.有一句谚语说：“捡了芝麻，丢了西瓜。”意思是说有些人办事只抓一些无关紧要的小事，却忽略了具有重大意义的大事。据测算，5万粒芝麻才200克，你能换算出1粒芝麻有多少克吗？可别“占小便宜吃大亏”噢！（把你的结果用科学记数法表示）

4. 三峡一期工程结束后的当年发电量为5.5×109度，某市有10万户居民，若平均每户用电2.75×103度，那么三峡工程该年所发的电能供该市居民使用多少年？（结果用科学计数法表示）

【知识点2】整式乘法
1.单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。如： 。
2.单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，
即(都是单项式)。
如： 。
3.多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

【例1】已知，则 .
【例2】若，则 .
【例3】若，则=_____，＝_____，______．

【例4】若的积中不含有的一次项，则的值是
【例5】已知，，且的值与无关，求的值.

【练习】
1.若xy=2, x+y=3 ,则 (x+1)(y+1)=
2.若多项式(x+p)(x-3)的积中不含x的一次项,则p= .
3.已知(2x-a)(5x+2)=10x-6x+b,求a,b的值。

4.已知计算（x3＋mx＋n）（x2－5x＋3）的结果不含x3和x2项，求m，n值?

【知识点3】整式除法
1.单项式的除法法则：单项式相除，把系数.同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 如：
2.多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。即：

【练习】
1．计算：(1)y10÷(y4÷y2) (2)[(a2)3·(a3)4]÷(-a5)2

(3)(-x)3÷(-x) (4)(x-y)7÷(y-x)6+(-x-y)3÷(x+y)2

2． 已知7x-5y-3=0,求47x÷45y的值.

3．已知am=9,an=27,求a3m-2n的值.

4．已知a、b是互为相反数，c、d 是互为倒数，e是非零实数，求的值.

5．计算：(1)-8a2b3÷6a2b (2)(-0.3a2bc2)÷(-ac2)

(3)(6x2y3)2÷(3xy2)2 (4)(a-b)m(a-b)2·[2(b-a)]3·[(b-a)5]2÷(a-b)m

6.计算：(1)(a4b7-a2b6)÷(-ab3)2 (2)[(x+y)(x-y)-(x-y)2+2y(x-y)]÷4y

7．先化简，再求值．[2x(x2y-xy2)+xy(xy-x2)]÷x2y,其中x=2012,y=2011

8.已知，求的值

【知识点4】平方差公式、完全平方公式
1.平方差公式：注意平方差公式展开只有两项
公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。 如：
2.完全平方公式：
完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾2倍中间放，符号和前一个样。
公式的变形使用：
；
；

【例1】如果m-n=, m2+n2=,那么(mn)2005的值为

【例2】若，则=_____，＝_____，______．
【例3】如果,那么的值是
【例4】若多项式恰好是另一个多项式的平方，则______．
【例5】若的积中不含有的一次项，则的值是

【练习】
1.若4x2-Mxy+9y2是两数和的平方,则M的值是
2.要使式子成为一个完全平方式，则应加上
3.已知一个矩形的面积为4a2－2ab＋b2，其中一边长是4a－b，则该矩形的周长为＿________．

4.简便计算．

5.已知(a+b)2=7,(a-b)2=3,求: (1)a2+b2; (2)ab的值.

6.已知：，求的值．

7.已知（x+y）2=13,(x-y) 2=9，求x+y与xy的值.

【知识点5】因式分解
1.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.
因式分解与整式乘法是互逆关系.
2.因式分解与整式乘法的区别和联系:
(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;
(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.
因式分解的思路与解题步骤:
(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;
(2)再看能否使用公式法;
(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;
(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;
(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.
3.提公因式法
概念：如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.如:
概念内涵:
(1)因式分解的最后结果应当是“积”;
(2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;
(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即:
方法：
(1)找多项式中的公因式；公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；
(2)提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．
(3)注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．
易错点点评:
(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;
(2)公因式是否提“干净”;
(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.
2.公式法
运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：
①平方差公式：
（应是二项式或视作二项式的多项式;二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方;二项是异号.）
②完全平方公式：.
（应是三项式;其中两项同号,且各为一整式的平方; 还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍.）
3.十字相乘法
对于：二次三项式的分解:

规律内涵:
(1)理解:把分解因式时,如果常数项是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数的符号相同.
(2)如果常数项是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数.
易错点点评:
(1)十字相乘法在对系数分解时易出错;
(2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.
4.分组分解法
分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.
如:
概念内涵:分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.
注意: 分组时要注意符号的变化.
5.在数学学习过程中，学会利用整体思考问题的数学思想方法和实际运用意识。
如：对于任意自然数n，都能被动24整除。
考点1 提取公因式法
【例1】（1）= （2）=
（3） （4）=
【例2】分解因式
（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）

（7） （8）

【例3】
（1） （2）

考点2 平方差公式
【例1】（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）

【练习】
（1） （2）

（3） （4） （5）

【例2】计算
⑴ ⑵ ⑶

⑷

【例3】证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。
考点3 完全平方公式法
【例1】（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）

【练习】
（1） （2）

（3） （4）

（5）

【例2】已知

【练习】
1.

2.已知：
判断三角形的形状，并说明理由。

考点4 十字相乘法
【例1】把下列各式分解因式：
（1） （2） （3）

(4) （5）

（6） （7）

【例2】如果，那么p等于 (　 )
A．ab B．a＋b C．－ab D．－(a＋b)

【例3】如果，则b为( 　)
A．5 B．－6 C．－5 D．6

【例4】多项式可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为 ( 　)
A．10和－2 B．－10和2 C．10和2 D．－10和－2

【例5】已知有一个因式是，求a值和这个多项式的其他因式．

【练习】
1.把下列各式分解因式：
(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

2．不能用十字相乘法分解的是 ( 　)
A． B．
C． D．
3．分解结果等于(x＋y－4)(2x＋2y－5)的多项式是 (　 )
A． B．
C． D．
4．将下述多项式分解后，有相同因式x－1的多项式有 ( )
①； ②； ③；
④； ⑤； ⑥
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．(m＋a)(m＋b)． a＝__________，b＝__________．
6．(x－3)(__________)．
7．____(x－y)(__________)．
8．．
9．当k＝______时，多项式有一个因式为(__________)．
10．若x－y＝6，，则代数式的值为__________．