八年级数学下册-平面几何综合复习-人教新课标版.doc

平面几何综合复习

【典型例题】：
例3、已知：如图在DABC中，AB=AC。延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连结CD和CE
求证：CD=2CE
分析：（1）要证长线段CD是某小量的2倍，可在长线段上截取一半，这种方法，叫“截取法”或（折半法），要证CD=2CE，可考虑在CD上截取一半，再证明CE等于CD的一半即可。

证明：
过B点作BF//AC交CD于F，AB=BD
且

在中

即CE=2EC

分析：（2）这类题目还可以将短线延长，或说加倍法，证它等于长线段的方法，也称“拼加法”。
提示：
将CE延长到G，使EG=CE，
连结AG，BG，可证明ACGBDC，从而得到CG=CD，因而有CD=2CE。

例4、已知：如图，在ABC中，D、E分别在AB、AC上，BD=CE，BE、CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于点P、Q
求证：AP=AQ

分析：这是一道已知中点求证线段相等的问题，往往可以通过中位线，将条件、结论分别转移到可以建立直接联系的图形上，此题要证AP=AQ，就要证分别是BE、CD中点，且BD=CE，又BC是BDC和BCE的公共边，∴取BC的中点F，再连MF、NF，就可以通过三角形中位线定理将已知条件以及要证明的等量代换到FMN中，从而可证得AP=AQ。
证明：
取BC的中点F，连结FM，FN
∵M，N分别是 的中点

并且MF//CE，FN//BD，∵CE=BD，∴FM=FN
∠FMQ=FNP
FMQ=AQM（两直线平行，内错角相等）
FNP=APN，APN=AQM
AP=AQ

例5、已知：D ABC中，AB=AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，BD=CE，DE交BC于F
求证：DE=EF
分析：DF和EF分别在DBF和ECF中，但这两个三角形并不全等，如何构造全等形呢？只需作DG//AC交BC于G点，易证DGF ECF，所以DF=EF，这种添加辅助线的方法属于中心对称型。

例6、已知RtACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB，BE平分
∠ABC，交CD于E，EF//AB交AC于F

求证：CE=AF
分析：要证线段CE=AF，我们可以将它们转化到两个三角形中，过E点作EG⊥BC于G，所以EG=DE，这种填加辅助线的方法属于转对称型，再作FH⊥AB于H，利用平行线间距离相等，可易证得HAF GCE，从而证得CE=AF，另解还可以过E点作KM//AC交AB于K，交BC于M，证MCE DKE即可

例7、已知：ABC中，ACB=90°，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，CE的延长线交AB于F，FG/AC交AD于G

求证：FB=2CG
分析：要证FB=2CG，只要证CG=BF，由于CG和BF分别在两个三角形中没有直接的关系，所以寻求另解一条线段作为中介量，建立起CG和FB之间的联系，分析题目条件可知CEGAEF，所以AF=CG，只要证AF=FB即可
证明：
作DH//CF交AB于H，RtADC中，ACD=90°，
E是斜边AD中点，CE=AE，1=2
∵AC//FG，1=3，2=4，3=4
EG=EF
在AEF中和CEG中，有

AEF CEG中，AF=CG
DH//CF，E为AD中点，AF=FH
DH//CF，D为BC中点，FH=HB
AF=FH=HB，AF=FB
CG=AF，CG=FB，即FB=2CG

例8、设ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E，F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5，求：线段EF的长？
分析：这是一道几何中的计算题要求EF的长，首先发现它在Rt 它在RtDEAF中，这时利用勾股定理可求出，连结AD后可证ADECDF
解；
连结AD，则在ADE和CDF中，

AD=CD，
又AF+FC=AC=AB=AE+BE=5+12=17

即EF的长为13

例9、已知：如图，过正方形ABCD的顶点A作直线交BD于E，交CD于F，交BC的延长线于G，若H是FG的中点
求证：EC⊥CH
分析：这道题主要是利用正方形的性质，证明两条线段互相垂直，只要能证明∠ECH是90°即可，此题可先间接证出∠4+∠5=90°，从而推出=90°，通过D∠ABECBE，及RtFCG的斜边中线CH可证得
证明：
简述：在正方形ABCD中，
∵AB=BC，BE=BE∴DABE CBE
∴∠3=∠4，又H是RtFCG斜边上的中点

例10、已知：如图在平行四边形ABCD中，AE=CF，BM=DN

求证：四边形EMFN是平行四边形
分析：本题主要是考查平行四边形的判定方法，下面简述两种证法。
证法一：
ABCD是平行四边形
AD//BC，AD=BC

DE=BF,DM=BN

ME//NF
EMFN是平行四边形
证法二：
证（同证法一）
ME=NF 同理可证
EN=FM
EMFN是平行四边形。

例11、如图：等腰梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC和BD相交于E，已知，∠ABD=60°，BD=12，且BE∶ED=5∶1，S梯形ABCD=，求这个梯形的周长？
分析：由BD=12，且BE∶ED=5∶1，可得BE=10，ED=2，易证，故为等边三角，AD=DE=2，同理BC=10，作AFBC于F，DGBC于G，则四边形AFGD是矩形，由梯形面积公式可求出=，再由勾股定理求出AB=CD =
故梯形周长为12+4
解：

梯形ABCD为等腰梯形，
AD=AD
为等边三角形

同理可求：
BC=10
作AFBC于F，DGBC于G，
则四边形AFGD为矩形

∴

同理：DC=
梯形周长=AD+BC+AB+CD=2+10++=12+
此题综合性较强，涉及到的知识点很多，但证明的关键是证出是等边三角形，从而求出上、下两底的长度，并且要正确添加辅助线。

【综合练习】：

一、填空题：
（1）中，AB=AC，DE是AB的中垂线，的周长为14厘米，BC=5厘米，那么AB的长为 厘米。

（2）若的三个外角的度数之比为3∶4∶5，则最大边AB与最小边BC关系是 ；
而三条边之间的关系是 ；

（3）等腰三角形的周长为，腰长为1，则底角等 度。

（4）如图在Rt中， BD平分交AC于D，DE是斜边AB的垂直平分线，且DE=1厘米，则AC= 厘米。

（5）把长为8cm的长方形纸片对折，按图中的虚线剪出一个梯形并打开，则找开后的梯形中位线长为 cm。

（6）若等腰三角形的底角为15°，腰长为2，则腰上的高为 。

（7）若等腰梯形的周长80cm，中位线与腰长相等，则它的中位线等于 cm。

（8）已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，如果DAOB的面积是3，那么平行四边形ABCD的面积是 。

（9）已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，那么它的边长是 。

（10）菱形中有一个内角是60°，菱形的边长为6，则菱形两条对角线的长为 。

三、选择题：
（1）如果等边三角形的边长为3，那么连结各边中点所成的三角形的周长为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．
（2）在ABC中，已知b=4，c=5, A=30°,则ABC的面积是（ ）
A．10 B． C．5 D．

（3）如果一个多边形的内角和等于720°，那么这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形

（4）下列多边形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．正方形 C．等边三角形 D．直角梯形

（5）已知：平行四边形ABCD的周长为24，AB∶AD=1∶2，那么AB的长是（ ） A．4 B．6 C．8 D．16

（6）设F为正方形ABCD的边AC上一点，CECF交AB的延长线于E，若正方形ABCD的面积为64， CEF面积为50，则CBE的面积为（ ）
A．20 B．24 C．25 D．26

（7）在 ABC中，若，AB=, AC=3，则SABCD=（ ）
A．9 B． C． D．

（8）如图在四边形ABCD中，AD=BC，E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，若DAC=20°，ACB=66°，则FEG=（ ）
A．47° B．46° C． 41° D．23°
（9）已知一个等腰梯形的高是2m，它的中位线长是5m,一个底角为45°，这个梯形的周长是（ ）
A．14 B．
C． D．

（10）已知正方形的面积为8cm2,则正方形的对角线长为（ ）
A． B． C．4cm D．2cm
【答案】：一、
（1）9 （2）AB=2BC， （3）30° （4）3 （5）5
（6）1 （7）20 （8）12 （9）5 （10）6，
二、
（1）D （2）C （3）C （4）C （5）A
（6）B （7）B （8）D （9）D （10）C

【综合练习二】：
证明与计算：
1、已知：等腰三角形ABC的顶角A为120°，底边长为20cm，求：腰长

2、已知；如图，中，AB=AC，D，E，F分别为AB、BC、CA上的点，且BD=CE，

求证：是等腰三角形

3、已知：如图，四边形ABCD为矩形四边形ABDE为等腰梯形，AE//BD，
求证：

4、如图：平行四边形ABCD中，BECD，BFAD，垂足分别为E、F，CE=2，DF=1，
，求平行四边形ABCD的面积。

5、已知：四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB，CD，AC，BD 的中点，并且E，F，G，H不在同一直线上，
求证：EF和GH互相平分

6、如图，已知：在等边三角形ABC中，延长BC到M，使CM=BC，ADBC于点D，
E是AM的中点，EF//MC交AC于点F

求证：四边形DCEF是菱形

7、已知：梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，在ABDC上各取一F，G，使BF=CG，E是AD的中点
求证：

8、已知：在平行四边形ABCD中，AE=CF，M，N分别是DE，BF的中点
求证：四边形ENFM是平行四边形

9、已知：如图，在三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AD的中点为M，CM的延长线交AB于K，
求证：AK∶AB的值

10、已知：如图，周长为40cm的等腰梯形ABCD中，AD//BC，梯形中位线EF=AB，梯形的高AH=6cm,
求：梯形ABCD的面积

11、已知：如图，正方形ABCD，点E，F分别在BC，DC上，且
求证：BE+DF=EF

12、已知：如图，正方形ABCD中，AC，BD交于O点，的平分线交AC于E，交DC于F，
求证：OE=

13、已知：在平行四边形ABCD中，EF//AC交AB于E，BC于F，

求证：

【答案】：
1、；

2、利用三角形外角定理证明：再证 即可；

3、利用矩形，等腰梯形的性质可以得到证两个三角形全等的条件；

4、可以利用分别延长CD和BF相交后构成Rt，求出一个 角，再通过 和 求出CD=4，BC=6，就可以利用平行四边形面积公式得到其结果为

5、提示：连结EG、GF、FH、HE，通三角形中位线定理再根据平行四边形的判定定理证出四边形EGFH是平行四边形，即可

6、提示：可根据三角形中位线定理，证出：CE//AB，EF//MC可得四边形，DCEF是平行四边形，再证出DF=DC，可证出四边形DCEF是菱形

7、提示：很容易通过等腰梯形同一底上的两个底角相等证出，从而证得

8、可利用三角形全等证出FN=ME，再通过证明FB//DE，得到FN//ME即可证得

9、解：

10、提示：2EF=AD+BC
2EF=AB+DC
而AB+BC+CD+DA=40
4EF=40，得EF=10，又AH=6
梯形ABCD的面积S=EF，AH=10×6=60（cm）2

11、分析提示：证明线段的各差倍分问题，要将具体问题具体分析创造出它们之间的有机联系，使之为一个整体，该题BE与DF分别在正方形的两个不同的边上，因此想办法把它们放在一起，再与EF进行比较。
证：延长CB到G，使BG=DF，连结AG，通过证，得到，再证，得到

12、分析：观察图形，在中，DF是底边，O是BD中点，若E也是BF中点，那么可得但显然E不是BF中点，所以我们作出这个三角形的中位线，再证明OE就等于中位线长，作OG//DF，那么OG=DF，只需证OG=OE，看和，因为，，但，所以由可推出，这样就得到了OG=OE，从而证明。
证明：过点O作OG//DC，交BF于G，
在正方形ABCD中，

13、提示：连结AF、CE平行在四边形ABCD中，