人教版八年级数学全等三角形解题能力提升.docx

八年级数学全等三角形解题能力提升
1．判定全等三角形的方法
三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来。
全等三角形的性质
（1）全等三角形中，对应边相等，对应角相等。
（2）全等三角形的对应线段（对应边上的中线，对应边上的高，对应角的平分线）相等。
（3）全等三角形的周长相等，面积相等。
全等三角形的五种判定公理：
（1）三边对应相等的两个三角形全等，“边边边”（SSS）；
（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，“边角边”（SAS）；
（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，“角边角”（ASA）；
（4）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，“角角边”（AAS）；
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，“斜边，直角边”（HL）。

SSS（边边边） SAS（边角边） ASA（角边角） AAS（角角边） HL(斜边，直角边)
注意几点：
（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；
（2）以下情况两个三角形不一定全等:
①三个角对应相等的两个三角形不一定全等 （AAA）。
AAA
SSA
②两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等（SSA）。
如图AAA，△ABC和△ADE中，∠A=∠A，∠1=∠3，∠2=∠4，即三个角对应相等，但它们只是形状相同而大小并不相等，故它们不全等；又如图SSA，△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，即两边及其中一边的对角对应相等，但它们并不全等。
AAA
寻找对应元素的规律
寻找对应边和对应角，常用到以下方法：
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．
(3)有公共边的，公共边是对应边．
(4)有公共角的，公共角是对应角．
(5)有对顶角的，对顶角是对应角．
(6)如右图中，两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．
通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。
通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。
旋转

平移

翻折

【提示】 一个三角形经过平移、旋转、翻折后所得到的三角形与原三角形全等。
判定全等三角形的思路

判定全等三角形的方法：
一、挖掘“隐含条件”判全等
【提示】：公共边，公共角，对顶角这些都是隐含的边，角相等的条件
1.如图（1），AB=CD，AC=BD，则△ABC≌△DCB吗?说说理由

2.如图（2），点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD=AE,AB=AC.若∠B=20°,CD=5cm，则∠C= 20° ,BE=5cm .说说理由.

3.如图（3），AC与BD相交于O,若OB=OD，∠A=∠C，若AB=3cm，则CD= 3cm . 说说理由.

二、添条件判全等
【提示】：添加条件的题目.首先要找到已具备的条件,这些条件有些是题目已知条件 ,有些是图中隐含条件.
4、如图，已知AD平分∠BAC，
要使△ABD≌△ACD，
根据“SAS”需要添加条件 AB=AC ；
根据“ASA”需要添加条件 ∠BDA=∠CDA ；
根据“AAS”需要添加条件 ∠B=∠C ；

5、已知：∠B＝∠DEF，BC＝EF，现要证明△ABC≌△DEF，
若要以“SAS”为依据，还缺条件 AB=DE；
若要以“ASA”为依据，还缺条件 ∠ACB=∠F；
若要以“AAS”为依据，还缺条件 一∠A=∠D，
并说明理由。

三、熟练转化“间接条件”判全等
6.如图（4）AE=CF，∠AFD=∠CEB，DF=BE，△AFD与△ CEB全等吗？为什么？
解：∵AE=CF(已知）
∴AE－FE=CF－EF(等量减等量，差相等)
即AF=CE
在△AFD和△CEB中，
∴△AFD≌△CEB(SAS)
7. 如图（5）∠CAE=∠BAD，∠B=∠D，AC=AE，△ABC与△ADE全等吗？为什么？
解：∵ ∠CAE=∠BAD(已知)
∴ ∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE
(等量减等量，差相等)
即∠BAC=∠DAE
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌ △ADE(AAS)
8.“三月三，放风筝”如图（6）是小东同学自己做的风筝，他根据AB=AD,BC=DC，不用度量，就知道∠ABC=∠ADC。请用所学的知识给予说明。
解: 连接AC
在△ABC和△ADC中，

∴△ADC≌△ABC(SSS)
∴ ∠ABC=∠ADC
(全等三角形的对应角相等)
四、条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线
如图3，AB=AC，∠1=∠2．
求证：AO平分∠BAC．
分析：要证AO平分∠BAC，即证∠BAO=∠BCO，
要证∠BAO=∠BCO，只需证∠BAO和∠BCO所在的两
个三角形全等．而由已知条件知，只需再证明BO=CO即可．
证明：连结BC．
因为AB=AC，所以∠ABC＝∠ACB．
因为∠1=∠2，所以∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2．
即∠3=∠4，所以BO=CO．
因为AB=AC，BO=CO，AO=AO，
所以△ABO≌△ACO．
所以∠BAO=∠CAO，即AO平分∠BAC．
五、条件中没有现成的全等三角形时，通过构造全等三角形来判定
例4 已知：如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC，D为BC的中点，CE⊥AD于E，交AB于F，连接DF．
求证：∠ADC=∠BDF．
证明：过B作BG⊥BC交CF延长线于G，
所以BG∥AC．所以∠G=∠ACE．因为AC⊥BC，
CE⊥AD，所以∠ACE=∠ADC．所以∠G=∠ADC．
因为AC=BC，∠ACD＝∠CBG=90º，所以
△ACD≌△CBG．所以BG=CD=BD．因为∠CBF=∠GBF=45º，BF=BF，所以△GBF≌△DBF．所以∠G=∠BDF．所以∠ADC＝∠BDF．所以∠ADC＝∠BDF．

2 构造全等三角形的主要方法
常见的构造三角形全等的方法有以下三种：
①涉及三角形的中线问题时，采用延长中线一倍来构造一对全等三角形；
②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线来构造一对全等三角形；
③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法来构造一对全等三角形；
（1）利用中点（中线）构造全等
若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。
例1：如图，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ΔABC是等腰三角形。
 思路分析：
1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。
2）解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了AD又是BC边上的中线这一条件，而且要求证AB=AC，可倍长AD得全等三角形，从而问题得证。
解答过程：
 证明：延长AD到E，使DE=AD，连接BE。
又因为AD是BC边上的中线，∴BD=DC
又∠BDE=∠CDA
ΔBED≌ΔCAD，
故EB=AC，∠E=∠2，
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠E，
∴AB=EB，从而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。
【提示】：题目中如果出现了三角形的中线，常加倍延长此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。
（2）利用角平分线构造全等
遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。
例2：已知，如图，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。求证：∠B+∠ADC=180°。
思路分析：
1）题意分析：本题考查角平分线定理的应用。
2）解题思路：因为AC是∠BAD的平分线，所以可过点C作∠BAD的两边的垂线，构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题。
解答过程：
证明：作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F。
∵AC平分∠BAD，
∴CE=CF。
在Rt△CBE和Rt△CDF中，
∵CE=CF，CB=CD，
∴Rt△CBE≌Rt△CDF，∴∠B=∠CDF，
∵∠CDF+∠ADC=180°，
∴∠B+∠ADC=180°。
（3）用“截长补短”法构造全等
证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形。具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
例3：如图甲，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。
求证：CD=AD+BC。
思路分析：
1）题意分析： 本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。
2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。解答过程：
证明：在CD上截取CF=BC，如图乙

∴△FCE≌△BCE（SAS）， ∴∠2=∠1。
又∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠BCD=180° ∴∠DCE+∠CDE=90°，
∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°， ∴∠3=∠4。
在△FDE与△ADE中，
∴△FDE≌△ADE（ASA）， ∴DF=DA，
∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC。
【提示】：遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补短法：
截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；
补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
1）对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法将其放在一个三角形中证明。
2）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。

3全等三角形的应用
运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．
在证题过程中涉及到的有关基础知识：
（1） 证明两线段相等
　1.两全等三角形中对应边相等。
　2.同一三角形中等角对等边。
　3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
　4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
　5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
　6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
　7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
　8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
　9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。
12.两圆的内（外）公切线的长相等。
13.等于同一线段的两条线段相等。
（2）证明两角相等
1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
　 7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
　 8.相似三角形的对应角相等。
　 9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
10.等于同一角的两个角相等
（3）证明直线平行或垂直
在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。
3.1全等三角形知识的应用
（1）证明线段（或角）相等
例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC
分析：由已知条件可证出ΔACD≌ΔABE，而BF和FC分别位于ΔDBF和ΔEFC中，因此先证明ΔACD≌ΔABE，再证明ΔDBF≌ΔECF，既可以得到BF=FC.
证明：在ΔACD和ΔABE中，
∴ ΔACD≌ΔABE (SAS)
∴ ∠B=∠C（全等三角形对应角相等）
又 ∵ AD=AE,AB=AC.
∴ AB－AD=AC－AE
即 BD=CE
在ΔDBF和ΔECF中
∴ ΔDBF≌ΔECF （AAS）
∴ BF=FC （全等三角形对应边相等）
（2）证明线段平行
例2：已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：AB∥CD
分析：要证AB∥CD，需证∠C＝∠A，而要证∠C＝∠A，又需证ΔABF≌ΔCDE.由已知BF⊥AC，DE⊥AC，知∠DEC＝∠BFA=90°，且已知DE=BF，AF=CE.显然证明ΔABF≌ΔCDE条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证∠C＝∠A,进一步证明AB∥CD.
证明：∵ DE⊥AC，BF⊥AC （已知）
∴ ∠DEC＝∠BFA=90° （垂直的定义）
在ΔABF与ΔCDE中，

∴ ΔABF≌ΔCDE（SAS）
∴ ∠C＝∠A (全等三角形对应角相等)
∴ AB∥CD （内错角相等，两直线平行）
（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等
例3：如图，在△ ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE
证：CD=2CE
分析：
(ⅰ)折半法：取CD中点F，连接BF，再证ΔCEB≌ΔCFB.这里注意利用BF是ΔACD中位线这个条件。
证明：取CD中点F，连接BF
∴ BF=AC,且BF∥AC （三角形中位线定理）
∴ ∠ACB＝∠2 (两直线平行内错角相等)
又∵ AB=AC
∴ ∠ACB＝∠3 （等边对等角）
∴ ∠3＝∠2
在ΔCEB与ΔCFB中，

∴ ΔCEB≌ΔCFB (SAS)
∴ CE=CF=CD （全等三角形对应边相等）
即CD=2CE
（ⅱ）加倍法
证明：延长CE到F，使EF=CE，连BF.

在ΔAEC与ΔBEF中，

∴ΔAEC≌ΔBEF (SAS)
∴ AC=BF, ∠4＝∠3 (全等三角形对应边、对应角相等)
∴ BF∥AC (内错角相等两直线平行)
∵ ∠ACB+∠CBF=180o,
∠ABC+∠CBD=180o,
又AB=AC ∴∠ACB=∠ABC
∴∠CBF=∠CBD （等角的补角相等）
在ΔCFB与ΔCDB中，

∴ ΔCFB≌ΔCDB (SAS)
∴ CF=CD
即CD=2CE
说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。例如上面折道理题也可这样处理，取AC中点F，连BF(如图)（B为AD中点是利用这个办法的重要前提），然后证CE=BF.
(4)证明线段相互垂直

例4：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，ΔADC、ΔBDO为等腰三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。
分析：本题没有直接给出待证的结论，而是让同学们先根据已知条件推断出结论，然后再证明所得出的结论正确。通过观察，可以猜测：AO=BC，AO⊥BC.
证明：延长AO交BC于E,在ΔADO和ΔCDB中

∴ ΔADO≌ΔCDB (SAS)
∴ AO=BC, ∠OAD=∠BCD（全等三角形对应边、对应角相等）
∵ ∠AOD＝∠COE （对顶角相等）
∴ ∠COE+∠OCE=90o
∴ AO⊥BC
3.2应用三角形全等解决实际问题
【思想方法】：把实际问题转化为数学问题，抽象概括出基本的几何图形，并充分利用所学知识构造全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题.
【例1】 在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望．为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离．在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，如何测得距离？
一位战士的测量方法是:面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离.
D
A
B

F
E
B
C

将实际问题转换成数学问题为：
已知：在△ABC与△DEF中，AB=DE，∠B= ∠E，∠A= ∠D
求证：BC=EF
证明：在△ABC与△DEF中
∠A=∠D（已知）
AB=DE（已知）
∠B=∠E（已知）
∴△ABC≌△DEF (ASA)
∴BC=EF (全等三角形对应边相等)
【例2】 课间，小明和小聪在操场上突然争论起来。他们都说自己比对方长得高，这时数学老师走过来，笑着对他们说：“你们不用争了，其实你们一样高，瞧瞧地上，你俩的影子一样长！”（如图），你知道数学老师为什么能从他们的影长相等就断定它们的身高相同？你能运用全等三角形的有关知识说明一下其中的道理吗？（假定太阳光线是平行的）

D
A

F
E
C
B

将实际问题转换成数学问题为：
已知：在△ABC和△DEF中，∠C= ∠F，∠B= ∠E，BC=EF
求证：AB=DE
【例3】如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，你有办法测量A，B两点的距离吗？
有人这样测量：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A，B间的距离。
还有其它测量方法
吗？

F

A
【例4】 如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB 的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长．判定△EDC≌△ABC的理由是 ( B )
F
D
C
B
A、SSS B、ASA C、AAS D、SAS

DDDDD
A
D
A
【例5】如图所示小明设计了一种测零件内径AB的卡钳，问：在卡钳的设计中， 要使DC=AB，AO、BO、CO、DO 应满足下列的哪个条件？（ D ）
　 A、AO=CO
O
B、BO=DO
O
C、AC=BD
C
C
D、AO=CO且BO=DO
B
B

●
B
【例6】如图是挂在墙上的一面大镜子，上面有两点A、B。小丽想知道A、B两点之间的距离，但镜子挂得太高，无法直接测量，旁边又没有梯子，只有一根长度比圆的直径稍长点的竹竿和一把卷尺。小丽做了如下操作：在她够的着的圆上找到一点C ，接下去小丽却忘了应该怎么做？你能帮助她完成吗？

【例7】如图，要计算这个花瓶的容积，需要测量其内直径. 由于瓶颈较小，无法直接测量，你能想出一种测量方案吗？
C
A
B
●

E
DD
O

D
C
●
D

【例8】某城市搞亮化工程，如图，在甲楼底部、乙楼顶部分别安装一盏射灯.已知A灯恰好照到B灯，B灯恰好照到甲楼的顶部，如果两盏灯的光线与水平线的夹角相等，那么能否说甲楼的高度是乙楼的2倍？说说你的看法.
把线段AB延长到C使BC=AB，这个C点如何确定？如果用直尺和圆规画图是很容易找到C点的.现在小亮手中只有圆规，没有直尺，并且也不准用其它东西代替直尺，怎样在AB延长线方向上找一点C，使BC=AB？小亮忙了半天也没有解决，你能帮他想一想，该怎么作？
4全等三角形难度提升
4．1巧添辅助线证全等
（1）由角平分线想到的辅助线
口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；
②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线
1）截取构全等
如图1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
如图1-2，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。
分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。
简证：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自已试一试。
已知：如图1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求证DC⊥AC
分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方还是截取线段相等。其它问题自已证明。
已知：如图1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求证：AB-AC=CD
分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？
练习
①已知在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：AB+BD=AC
②已知：在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=2AC，求证：AE=2CE
③已知：在△ABC中，AB>AC,AD为∠BAC的平分线，M为AD上任一点。求证：BM-CM>AB-AC
④已知：D是△ABC的∠BAC的外角的平分线AD上的任一点，连接DB、DC。求证：BD+CD>AB+AC。

2）角分线上点向角两边作垂线构全等
过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
【例1】如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。
求证：∠ADC+∠B=180 
分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。
【例2】如图2-2，在△ABC中，∠A=90 ，AB=AC，∠ABD=∠CBD。
求证：BC=AB+AD
分析：过D作DE⊥BC于E，则AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。
【例3】已知如图2-3，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：∠BAC的平分线也经过点P。
分析：连接AP，证AP平分∠BAC即可，也就是证P到AB、AC的距离相等。

练习：
1．如图2-4∠AOP=∠BOP=15 ，PC//OA，PD⊥OA，
如果PC=4，则PD=（ ）
A 4 B 3 C 2 D 1
2．已知在△ABC中，∠C=90 ，AD平分∠CAB，CD=1.5,DB=2.5.求AC。
3．已知：如图2-5, ∠BAC=∠CAD,AB>AD，CE⊥AB，
AE=2（AB+AD）.求证：∠D+∠B=180 。
4.已知：如图2-6,在正方形ABCD中，E为CD 的中点，F为BC
上的点，∠FAE=∠DAE。求证：AF=AD+CF。
已知：如图2-7，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ,CD⊥AB，垂足为D，AE平分∠CAB交CD于F，过F作FH//AB交BC于H。求证CF=BH。
3）作角平分线的垂线构造等腰三角形
从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。
【例1】已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中点。求证：DH=2（AB-AC）
分析：延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。问题可证。
【例2】已知：如图3-2，AB=AC，∠BAC=90 ，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。
分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。

【例3】已知：如图3-3在△ABC中，AD、AE分别∠BAC的内、外角平分线，过顶点B作BFAD，交AD的延长线于F，连结FC并延长交AE于M。
求证：AM=ME。
分析：由AD、AE是∠BAC内外角平分线，可得EA⊥AF，从而有BF//AE，所以想到利用比例线段证相等。
【例4】已知：如图3-4，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交AD延长线于M。求证：AM=2（AB+AC）
分析：题设中给出了角平分线AD，自然想到以AD为轴作对称变换，作△ABD关于AD的对称△AED，然后只需证DM=1/2EC，另外由求证的结果AM=1/2（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可尝试作△ACM关于CM的对称△FCM，然后只需证DF=CF即可。
练习：
已知：在△ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中点，AE是∠BAC的平分线，且CE⊥AE于E，连接DE，求DE。
已知BE、BF分别是△ABC的∠ABC的内角与外角的平分线，AF⊥BF于F，AE⊥BE于E，连接EF分别交AB、AC于M、N，求证MN=1/2BC

4）以角分线上一点做角的另一边的平行线
有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。
如图4-1和图4-2所示。
【例1】如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD。
【例2】 如图，BC>BA，BD平分∠ABC，且AD=CD，求证：∠A+∠C=180。
【例3】 如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE，求证：AD=AB+CD。

（2）由线段和差想到的辅助线
口诀：线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。
遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：
①截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；
②补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，想办法放在一个三角形中证明。
1）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：
【例1】已知如图1-1：D、E为△ABC内两点,求证:AB+AC>BD+DE+CE.
方法1 ： 将DE两边延长分别交AB、AC于M、N，
在△AMN中，AM+AN>MD+DE+NE;（1）
在△BDM中，MB+MD>BD；（2）
在△CEN中，CN+NE>CE；（3）
由（1）+（2）+（3）得：
AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE
∴AB+AC>BD+DE+EC
方法2 ：（图1-2）延长BD交AC于F，廷长CE交BF于G，在△ABF和△GFC和△GDE中有：
AB+AF>BD+DG+GF（三角形两边之和大于第三边）…（1）
GF+FC>GE+CE（同上）（2）
DG+GE>DE（同上）（3）
由（1）+（2）+（3）得：
AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE
∴AB+AC>BD+DE+EC。
2）在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：
例如：如图2-1：已知D为△ABC内的任一点，求证：∠BDC>∠BAC。
分析：因为∠BDC与∠BAC不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC处于在外角的位置，∠BAC处于在内角的位置；
证法一：延长BD交AC于点E，这时∠BDC是△EDC的外角，
∴∠BDC>∠DEC，同理∠DEC>∠BAC，∴∠BDC>∠BAC
证法二：连接AD，并廷长交BC于F，这时∠BDF是△ABD的
外角，∴∠BDF>∠BAD，同理，∠CDF>∠CAD，∴∠BDF+
∠CDF>∠BAD+∠CAD，即：∠BDC>∠BAC。
注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。
3）有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：
例如：如图3-1：已知AD为△ABC的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4,求证：BE+CF>EF。
分析：要证BE+CF>EF，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1=∠2，
∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。
证明：在DN上截取DN=DB，连接NE，NF，则DN=DC，
在△DBE和△NDE中：
DN=DB（辅助线作法）
∠1=∠2（已知）
ED=ED（公共边）
∴△DBE≌△NDE（SAS）
∴BE=NE（全等三角形对应边相等）
同理可得：CF=NF
在△EFN中EN+FN>EF（三角形两边之和大于第三边）
∴BE+CF>EF。
注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。
（3）截长补短法作辅助线。
例如：已知如图6-1：在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任一点
求证：AB-AC>PB-PC。
分析：要证：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三边关系，定理证之，因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再连接PN，则PC=PN，又在△PNB中，PB-PN<BN，
即：AB-AC>PB-PC。
证明：（截长法）
在AB上截取AN=AC连接PN,在△APN和△APC中
AN=AC（辅助线作法）
∠1=∠2（已知）
AP=AP（公共边）
∴△APN≌△APC（SAS）,∴PC=PN（全等三角形对应边相等）
∵在△BPN中，有PB-PN<BN（三角形两边之差小于第三边）
∴BP-PC<AB-AC
证明：（补短法）
延长AC至M，使AM=AB，连接PM，
在△ABP和△AMP中
AB=AM（辅助线作法）
∠1=∠2（已知）
AP=AP（公共边）
∴△ABP≌△AMP（SAS）
∴PB=PM（全等三角形对应边相等）
又∵在△PCM中有：CM>PM-PC(三角形两边之差小于第三边)
∴AB-AC>PB-PC。
【例1】如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE。

【例2】如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，
求证：∠ADC+∠B=180º

【例3】已知：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108°，BD平分ABC。
求证：BC=AB+DC。

【例4】如图，已知Rt△ABC中， ∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB于M，且AM=MB。求证：CD= DB。

（3）由中点想到的辅助线
口诀：三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，加倍延长中线。
在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。
1）中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形
如图1，AD是ΔABC的中线，则SΔABD=SΔACD=SΔABC（因为ΔABD与ΔACD是等底同高的）。
【例1】如图2，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。
解：因为AD是ΔABC的中线，所以SΔAD= ΔABC = ×2=1，又因CD是ΔACE的中线，故SΔCDE=SΔACD=1，
因DF是ΔCDE的中线，所以SΔCDF=SΔCD