离散数学考试模拟试题及详细参考答案共四套.doc

离散模拟答案1
1命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）
1. 用命题逻辑把下列命题符号化
a) 假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
b) 我今天进城，除非下雨。
c) 仅当你走，我将留下。
2. 用谓词逻辑把下列命题符号化
a) 有些实数不是有理数
b) 对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。
c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b.
一、 简答题（共6道题，共32分）
1. 求命题公式(P→(Q→R))«(R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。（5分）
2. 设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分）
a) "x$y(x+y=4)
b) $y"x (x+y=4)
3. 求"x(F(x)→G(x))→($xF(x)→$xG(x))的前束范式。（4分）
4. 判断下面命题的真假，并说明原因。（每小题2分，共4分）
a) （AÈB）－C=(A-B) È(A-C)
b) 若f是从集合A到集合B的入射函数，则|A|≤|B|
5. 设A是有穷集，|A|=5，问（每小题2分，共4分）
a) A上有多少种不同的等价关系？
b) 从A到A的不同双射函数有多少个？
6. 设有偏序集<A,≤>，其哈斯图如图1，求子集B={b,d,e}的最小元，最大元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界，(5分)
f g

d e

b c
a

图1
7. 已知有限集S={a1,a2,…,an},N为自然数集合，R为实数集合，求下列集合的基数S;P(S);N,Nn;P(N);R,R×R,{o,1}N（写出即可）(6分)
二、 证明题（共3小题，共计40分）
1. 使用构造性证明，证明下面推理的有效性。（每小题5分，共10分）
a) A→(B∧C),(E→ØF)→ØC, B→(A∧ØS)ÞB→E
b) "x(P(x)→ØQ(x)), "x(Q(x)∨R(x))，$xØR(x) Þ$xØP(x)
2. 设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A≠Æ且B≠Æ，关系R满足：<<x1,y1>,<x2,y2>>∈R，当且仅当< x1, x2>∈R1且<y1,y2>∈R2。试证明：R是A×B上的等价关系。（10分）
3. 用伯恩斯坦定理证明（0,1]和(a,b)等势。（10分）
4. 设R是集合A上的等价关系，A的元素个数为n，R作为集合有s个元素，若A关于R的商集A/R有r个元素，证明：rs≥n2。（10分）
三、 应用题（10分）
在一个道路上连接有8个城市，分别标记为a,b,c,d,e,f,g,h。城市之间的直接连接的道路是单向的，有a→b, a→c, b→g, g→b, c→f, f→e, b→d, d→f.对每一个城市求出从它出发所能够到达的所有其他城市。

离散数学 考试题答案
一、 命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）
1. 用命题逻辑把下列命题符号化
a) 设P表示命题“上午下雨”，Q表示命题“我去看电影”，R表示命题“在家里读书”，S表示命题“在家看报”，命题符号化为：（ØP⇄Q）Ù(P⇄RÚS)
b) 设P表示命题“我今天进城”，Q表示命题“天下雨”，命题符号化为：ØQ→P或ØP→Q
c) 设P表示命题“你走”，Q表示命题“我留下”，命题符号化为： Q→P
2. 用谓词逻辑把下列命题符号化
a) 设R(x)表示“x是实数”，Q(x)表示“x是有理数”，命题符号化为：
$x(R(x) ÙØQ(x)) 或 Ø"x(R(x) →Q(x))
b) 设R(x)表示“x是实数”，E(x,y)表示“x=y”,f(x,y)=xy, 命题符号化为：
"x(R(x) ÙØE(x,0) →$y(R(y) ÙE(f(x,y),1))))

c) 设F(f)表示“f是从A到B的函数”, A(x)表示“x∈A”, B(x)表示“x∈B”,E(x,y)表示“x=y”, 命题符号化为：
F(f)⇄"a(A(a)→$b(B(b) Ù E(f(a),b) Ù "c(S(c) Ù E(f(a),c) →E(a,b))))
二、 简答题（共6道题，共32分）
1. (P→(Q→R))«(R→(Q→P))Û（ØPÚØQÚR）«(PÚØQÚØR)
Û(（ØPÚØQÚR）→(PÚØQÚØR)) Ù ((PÚØQÚØR) →（ØPÚØQÚR）).
Û(（PÙQÙØR）Ú (PÚØQÚØR)) Ù ((ØPÙQÙR) Ú（ØPÚØQÚR）)
Û(PÚØQÚØR) Ù(ØPÚØQÚR) 这是主合取范式
公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为
（ØPÙØQÙØR)Ú（ØPÙØQÙR)Ú（ØPÙQÙØR)Ú（PÙØQÙØR)Ú（PÙØQÙR)Ú（PÙQÙR)
2. a) T b) F
3. "x(F(x)→G(x))→($xF(x)→$xG(x)) Û"x(F(x)→G(x))→($yF(y)→$zG(z))
Û"x(F(x)→G(x))→"y$z(F(y)→G(z)) Û$x"y$z((F(x)→G(x))→ (F(y)→G(z)))
4. a) 真命题。因为（AÈB）－C=（AÈB）Ç~C=（AÇ~C）È（BÇ~C）=（A-C）È（B-C）
b) 真命题。因为如果f是从集合A到集合B的入射函数，则|ranf|=|A|，且ranfÍB,故命题成立。
5. a) 52 b) 5!=120
6. B的最小元是b，无最大元、极大元是d和e、极小元是b、上界集合是{g}、下界集合是{a,b}、上确界是g、下确界是b.
7. K[S]=n; K[P(S)]=; K[N]=À0,K[Nn]=À0, K[P(N)]=À; K[R]=À, K=[R×R]= À,K[{0,1}N]= À
三、 证明题（共3小题，共计40分）
1. a) 证 （1）B P(附加条件)
（2）B→(A∧ØS) P
(3) A∧ØS T(1)(2) I
(4) A T(3) I
(5) A→(B∧C) P
(6) B∧C T(4)(5) I
(7) C T(6) I
(8) (E→ØF)→ØC P
(9) Ø(E→ØF) T(7)(8) I
(10) E∧F T(9) E
(11) E T(10) I
(12) B→E CP
b) 证 (1) $xØR(x) P
(2) ØR(c) ES(1)
(3) "x(Q(x)∨R(x)) P
(4) Q(c)∨R(c) US(3)
(5) Q(c) T(2)(4) I
(6) "x(P(x)→ØQ(x)) P
(7) P(c)→ØQ(c) US(6)
(8) ØP(c) T(5)(7) I
(9) $xØP(x) EG(8)
2. 证 任取<x,y>,
<x,y>∈A×BÞx∈AÙ y∈BÞ<x,x>∈R1Ù<y,y>∈R2Þ<<x,y>,<x,y>>∈R，故R是自反的
任取<<x,y>,<u,v>>,
<<x,y>,<u,v>>∈RÞ<x,u>∈R1Ù<y,v>∈R2Þ<u,x>∈R1Ù<v,y>∈R2Þ<<u,v>,<x,y>>∈R.故R是对称的。
任取<<x,y>,<u,v>>,<<u,v>,<s,t>>∈R
<<x,y>,<u,v>>,<<u,v>,<s,t>>∈RÞ<x,u>∈R1Ù<y,v>∈R2Ù<u,s>∈R1Ù<v,t>∈R2Þ(<x,u>∈R1Ù<u,s>∈R1)Ù(<y,v>∈R2Ù<v,t>∈R2)Þ<x,s> R1Ù<y,t>∈R2Þ<<x,y>,<s,t>>∈R, 故R是传递的。
综上所述R是A×B上的等价关系。
3. 证 构造函数f：（0,1]→(a,b)，f(x)=,显然f是入射函数
构造函数g: (a,b)→（0,1]，,显然g是入射函数，
故（0,1]和(a,b)等势。
由于，所以
4. 证 设商集A/R的r个等价类的元素个数分别为m1,m2,…,mr，由于一个划分对应一个等价关系，m1+m2+…+mr=n，
由于（r个数的平方的平均值大于等于这r个数的平均值的平方），所以，即
四、 应用题（10分）
解 把8个城市作为集合A的元素，即A={a,b,c,d,e,,f,g,h}，在A上定义二元关系R，<x,y>∈R当且仅当从x到y有直接连接的道路，即
R={<a,b>,<a,c>,<b,g>,<g,b>,<c,f>,<f,e>,<b,d>,<d,f>}
那么该问题即变为求R的传递闭包。
利用Warshal算法，求得t(R)=
那么从城市x出发能到达的城市为，
故有

离散考试模拟试题及答案2
一、填空题
1 设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; r(A) - r(B)＝ __________________________ .
2. 设有限集合A, |A| = n, 则 |r(A×A)| = __________________________.
3. 设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________.
4. 已知命题公式G＝Ø(P®Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________
__________________________________________________________.
5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________.
6 设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从AÇB＝_________________________; AÈB＝_________________________;A－B＝ _____________________ .
7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________.
8. 设命题公式G＝Ø(P®(QÙR))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________.
9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1·R2 = ________________________,R2·R1 =____________________________, R12 =________________________.
10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |r(A´B)| = _____________________________.
11 设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, xÎR}, B = {x | 0≤x < 2, xÎR},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ ,
A∩B = __________________________ , .
13. 设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________.
14. 设一阶逻辑公式G = "xP(x)®$xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____.
15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
16. 设谓词的定义域为{a, b},将表达式"xR(x)→$xS(x)中量词消除，写成与之对应的命题公式是__________________________________________________________________________.
17. 设集合A＝{1, 2, 3, 4}，A上的二元关系R＝{(1,1),(1,2),(2,3)}, S＝{(1,3),(2,3),(3,2)}。则R×S＝_____________________________________________________,
R2＝______________________________________________________.
二、选择题
1 设集合A={2,{a},3,4}，B = {{a},3,4,1}，E为全集，则下列命题正确的是( )。
(A){2}ÎA (B){a}ÍA (C)ÆÍ{{a}}ÍBÍE (D){{a},1,3,4}ÌB.
2 设集合A={1,2,3},A上的关系R＝{(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}，则R不具备( ).
(A)自反性 (B)传递性 (C)对称性 (D)反对称性
1
2
3
4
5
6
3 设半序集(A,≤)关系≤的哈斯图如下所示，若A的子集B = {2,3,4,5},则元素6为B的( )。
(A)下界 (B)上界 (C)最小上界 (D)以上答案都不对
4 下列语句中，( )是命题。
(A)请把门关上 (B)地球外的星球上也有人
(C)x + 5 > 6 (D)下午有会吗？
5 设I是如下一个解释：D＝{a,b},
则在解释I下取真值为1的公式是( ).
(A)$x"yP(x,y) (B)"x"yP(x,y) (C)"xP(x,x) (D)"x$yP(x,y).
6. 若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是( ).
(A)(1,2,2,3,4,5) (B)(1,2,3,4,5,5) (C)(1,1,1,2,3) (D)(2,3,3,4,5,6).
7. 设G、H是一阶逻辑公式，P是一个谓词，G＝$xP(x), H＝"xP(x),则一阶逻辑公式G®H是( ).
(A)恒真的 (B)恒假的 (C)可满足的 (D)前束范式.
8 设命题公式G＝Ø(P®Q)，H＝P®(Q®ØP)，则G与H的关系是( )。
(A)GÞH (B)HÞG (C)G＝H (D)以上都不是.
9 设A, B为集合，当( )时A－B＝B.
(A)A＝B (B)AÍB (C)BÍA (D)A＝B＝Æ.
10 设集合A = {1,2,3,4}, A上的关系R＝{(1,1),(2,3),(2,4),(3,4)}, 则R具有( )。
(A)自反性 (B)传递性 (C)对称性 (D)以上答案都不对
11 下列关于集合的表示中正确的为( )。
(A){a}Î{a,b,c} (B){a}Í{a,b,c} (C)ÆÎ{a,b,c} (D){a,b}Î{a,b,c}
12 命题"xG(x)取真值1的充分必要条件是( ).
(A) 对任意x，G(x)都取真值1. (B)有一个x0，使G(x0)取真值1.
(C)有某些x，使G(x0)取真值1. (D)以上答案都不对.
13. 设G是连通平面图，有5个顶点，6个面，则G的边数是( ).
(A) 9条 (B) 5条 (C) 6条 (D) 11条.
14. 设G是5个顶点的完全图，则从G中删去( )条边可以得到树.
(A)6 (B)5 (C)10 (D)4.
15. 设图G的相邻矩阵为，则G的顶点数与边数分别为( ).
(A)4, 5 (B)5, 6 (C)4, 10 (D)5, 8.
三、计算证明题
1.设集合A＝{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12}，R为整除关系。
(1) 画出半序集(A,R)的哈斯图；
(2) 写出A的子集B = {3,6,9,12}的上界，下界，最小上界，最大下界；
(3) 写出A的最大元，最小元，极大元，极小元。
2. 设集合A＝{1, 2, 3, 4}，A上的关系R＝{(x,y) | x, yÎA 且 x ³ y}, 求
(1) 画出R的关系图；
(2) 写出R的关系矩阵.
3. 设R是实数集合，s,t,j是R上的三个映射，s(x) = x+3, t(x) = 2x, j(x) ＝ x/4,试求复合映射s•t，s•s, s•j, j•t，s•j•t.
4. 设I是如下一个解释：D = {2, 3},
a
b
f (2)
f (3)
P(2, 2)
P(2, 3)
P(3, 2)
P(3, 3)
3
2
3
2
0
0
1
1
试求 (1) P(a, f (a))∧P(b, f (b));
(2) "x$y P (y, x).
5. 设集合A＝{1, 2, 4, 6, 8, 12}，R为A上整除关系。
(1) 画出半序集(A,R)的哈斯图；
(2) 写出A的最大元，最小元，极大元，极小元；
(3) 写出A的子集B = {4, 6, 8, 12}的上界，下界，最小上界，最大下界.
6. 设命题公式G = Ø(P→Q)∨(Q∧(ØP→R)), 求G的主析取范式。
7. (9分)设一阶逻辑公式：G = ("xP(x)∨$yQ(y))→"xR(x)，把G化成前束范式.
9. 设R是集合A = {a, b, c, d}. R是A上的二元关系, R = {(a,b), (b,a), (b,c), (c,d)},
(1) 求出r(R), s(R), t(R)；
(2) 画出r(R), s(R), t(R)的关系图.
11. 通过求主析取范式判断下列命题公式是否等价：
(1) G = (P∧Q)∨(ØP∧Q∧R)
(2) H = (P∨(Q∧R))∧(Q∨(ØP∧R))
13. 设R和S是集合A＝{a, b, c, d}上的关系，其中R＝{(a, a),(a, c),(b, c),(c, d)}, S＝{(a, b),(b, c),(b, d),(d, d)}.
(1) 试写出R和S的关系矩阵；
(2) 计算R•S, R∪S, R－1, S－1•R－1.
四、证明题
1. 利用形式演绎法证明：{P→Q, R→S, P∨R}蕴涵Q∨S。
2. 设A,B为任意集合，证明：(A-B)-C = A-(B∪C).
3. (本题10分)利用形式演绎法证明：{ØA∨B, ØC→ØB, C→D}蕴涵A→D。
4. (本题10分)A, B为两个任意集合，求证：
A－(A∩B) = (A∪B)－B .
参考答案
一、填空题
1. {3}; {{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.
2. .
3. a1= {(a,1), (b,1)}, a2= {(a,2), (b,2)},a3= {(a,1), (b,2)}, a4= {(a,2), (b,1)}; a3, a4.
4. (P∧ØQ∧R).
5. 12, 3.
6. {4}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2}.
7. 自反性；对称性；传递性.
8. (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0).
9. {(1,3),(2,2),(3,1)}; {(2,4),(3,3),(4,2)}; {(2,2),(3,3)}.
10. 2m´n.
11. {x | -1≤x < 0, xÎR}; {x | 1 < x < 2, xÎR}; {x | 0≤x≤1, xÎR}.
12. 12; 6.
13. {(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)}.
14. $x(ØP(x)∨Q(x)).
15. 21.
16. (R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b)).
17. {(1, 3),(2, 2)}; {(1, 1),(1, 2),(1, 3)}.
二、选择题
1. C. 2. D. 3. B. 4. B.
5. D. 6. C. 7. C.
8. A. 9. D. 10. B. 11. B.
13. A. 14. A. 15. D
三、计算证明题

1.
(1)

(2) B无上界，也无最小上界。下界1, 3; 最大下界是3.
(3) A无最大元，最小元是1，极大元8, 12, 90+; 极小元是1.
2.R = {(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.

(1)

(2)
3. (1)s•t＝s(t(x))＝t(x)+3＝2x+3＝2x+3.
(2)s•s＝s(s(x))＝s(x)+3＝(x+3)+3＝x+6,
(3)s•j＝s(j(x))＝j(x)+3＝x/4+3,
(4)j•t＝j(t(x))＝t(x)/4＝2x/4 = x/2,
(5)s•j•t＝s•(j•t)＝j•t+3＝2x/4+3＝x/2+3.
4. (1) P(a, f (a))∧P(b, f (b)) = P(3, f (3))∧P(2, f (2))
= P(3, 2)∧P(2, 3)
= 1∧0
= 0.
(2) "x$y P (y, x) = "x (P (2, x)∨P (3, x))
= (P (2, 2)∨P (3, 2))∧(P (2, 3)∨P (3, 3))
= (0∨1)∧(0∨1)
= 1∧1
= 1.
5. (1)

(2) 无最大元，最小元1，极大元8, 12; 极小元是1.
(3) B无上界，无最小上界。下界1, 2; 最大下界2.
6. G = Ø(P→Q)∨(Q∧(ØP→R))
= Ø(ØP∨Q)∨(Q∧(P∨R))
= (P∧ØQ)∨(Q∧(P∨R))
= (P∧ØQ)∨(Q∧P)∨(Q∧R)
= (P∧ØQ∧R)∨(P∧ØQ∧ØR)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧ØR)∨(P∧Q∧R)∨(ØP∧Q∧R)
= (P∧ØQ∧R)∨(P∧ØQ∧ØR)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧ØR)∨(ØP∧Q∧R)
= m3∨m4∨m5∨m6∨m7 = S(3, 4, 5, 6, 7).
7. G = ("xP(x)∨$yQ(y))→"xR(x)
= Ø("xP(x)∨$yQ(y))∨"xR(x)
= (Ø"xP(x)∧Ø$yQ(y))∨"xR(x)
= ($xØP(x)∧"yØQ(y))∨"zR(z)
= $x"y"z((ØP(x)∧ØQ(y))∨R(z))
9. (1) r(R)＝R∪IA＝{(a,b), (b,a), (b,c), (c,d), (a,a), (b,b), (c,c), (d,d)},
s(R)＝R∪R－1＝{(a,b), (b,a), (b,c), (c,b) (c,d), (d,c)},
t(R)＝R∪R2∪R3∪R4＝{(a,a), (a,b), (a,c), (a,d), (b,a), (b,b), (b,c), (b,d), (c,d)}；
(2)关系图:

11. G＝(P∧Q)∨(ØP∧Q∧R)
＝(P∧Q∧ØR)∨(P∧Q∧R)∨(ØP∧Q∧R)
＝m6∨m7∨m3
＝å (3, 6, 7)
H = (P∨(Q∧R))∧(Q∨(ØP∧R))
＝(P∧Q)∨(Q∧R))∨(ØP∧Q∧R)
＝(P∧Q∧ØR)∨(P∧Q∧R)∨(ØP∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(ØP∧Q∧R)
＝(P∧Q∧ØR)∨(ØP∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)
＝m6∨m3∨m7
＝å (3, 6, 7)
G,H的主析取范式相同，所以G = H.
13. (1)
(2)R•S＝{(a, b),(c, d)},
R∪S＝{(a, a),(a, b),(a, c),(b, c),(b, d),(c, d),(d, d)},
R－1＝{(a, a),(c, a),(c, b),(d, c)},
S－1•R－1＝{(b, a),(d, c)}.
四 证明题
1. 证明：{P→Q, R→S, P∨R}蕴涵Q∨S
(1) P∨R P
(2) ØR→P Q(1)
(3) P→Q P
(4) ØR→Q Q(2)(3)
(5) ØQ→R Q(4)
(6) R→S P
(7) ØQ→S Q(5)(6)
(8) Q∨S Q(7)
2. 证明：(A-B)-C = (A∩~B)∩~C
= A∩(~B∩~C)
= A∩~(B∪C)
= A-(B∪C)
3. 证明：{ØA∨B, ØC→ØB, C→D}蕴涵A→D
(1) A D(附加)
(2) ØA∨B P
(3) B Q(1)(2)
(4) ØC→ØB P
(5) B→C Q(4)
(6) C Q(3)(5)
(7) C→D P
(8) D Q(6)(7)
(9) A→D D(1)(8)
所以 {ØA∨B, ØC→ØB, C→D}蕴涵A→D.
4. 证明：A－(A∩B)
= A∩~(A∩B)
＝A∩(~A∪~B)
＝(A∩~A)∪(A∩~B)
＝Æ∪(A∩~B)
＝(A∩~B)
＝A－B
而 (A∪B)－B
= (A∪B)∩~B
= (A∩~B)∪(B∩~B)
= (A∩~B)∪Æ
= A－B
所以：A－(A∩B) = (A∪B)－B.

离散考试模拟试题及答案3
一、填空题：）
1．设，，请在下列每对集合中填入适当的符号：。
（1） , (2) 。
2．设，N为自然数集， 若，则是
射的，若，则是 射的。
3．设图G = < V ，E >中有7个结点，各结点的次数分别为2，4，4，6，5，5，2，
则G中有 条边，根据 。
4．两个重言式的析取是 ，一个重言式和一个矛盾式的合取是 。
5．设个体域为自然数集，命题“不存在最大自然数”符号化为 。
6．设S为非空有限集，代数系统中幺元为 ，零元为 。
7．设P、Q为两个命题，其De-Morden律可表示为 。
8．当时，群只能有 阶非平凡子群，不能有 阶子群，平凡子群为 。
二、单项选择题：（每小题1分，本大题共15分）
1．设，下面哪个命题为假（ ）。
A、 ； B、 ；
C、 ； D、。
2．设，则B－A是（ ）。
A、 ； B、 ； C、 ； D、。
3．下图描述的偏序集中，子集的上界为 （ ）。
A、 ； B、 ；
C、 ； D、。

4．设和都是X上的双射函数，则为（ ）。
A、 ； B、 ； C、 ； D、。
5．下面集合（ ）关于减法运算是封闭的。
A、N ； B、 ； C、 ； D、。
6．具有如下定义的代数系统，（ ）不构成群。
A、，*是模11乘 ； B、，*是模11乘 ；
C、（有理数集），*是普通加法 ； D、（有理数集），*是普通乘法。
7．设，*为普通乘法。则代数系统的幺元为（ ）。
A、不存在 ； B、 ； C、 ； D、。
8．下面集合（ ）关于整除关系构成格。
A、{2，3，6，12，24，36} ； B、{1，2，3，4，6，8，12} ；
C、{1，2，3，5，6，15，30} ； D、{3，6，9，12}。
9．设，
，则有向图
是（ ）。
A、强连通的 ； B、单侧连通的 ； C、弱连通的 ； D、不连通的。
10．下面那一个图可一笔画出（ ）。

11．在任何图中必定有偶数个（ ）。
A、度数为偶数的结点 ； B、入度为奇数的结点 ；
C、度数为奇数的结点 ； D、出度为奇数的结点 。
12．含有3个命题变元的具有不同真值的命题公式的个数为（ ）。

A、 ； B、 ； C、 ； D、 。
13．下列集合中哪个是最小联结词集（ ）。
A、 ； B、 ； C、 ； D、 。
14．下面哪个命题公式是重言式（ ）。
A、 ； B、 ；
C、 ； D、 。
15．在谓词演算中，下列各式哪个是正确的（ ）。
A、 ； B、 ；
C、 ； D、 。
三、判断改正题：（每小题2分，本大题共20分）
1．设，，则 。（其中为P（A）） ( )
2．设，，则
。 （ ）
3．集合A上的恒等关系是一个双射函数。 （ ）
4．设Q为有理数集，Q上运算 * 定义为，则是半群。（ ）
5．阶数为偶数的有限群中，周期为2的元素的个数一定为偶数。 （ ）
6．在完全二元树中，若有片叶子，则边的总数 。 （ ）
7．能一笔画出的图不一定是欧拉图。 （ ）
8．设P，Q是两个命题，当且仅当P，Q的真值均为T时，的值为T。（ ）
9．命题公式是重言式。 （ ）
10．设 命题“所有的研究生都读过大学”符号化为：。 （ ）
四、简答题：（25分）
1．设，A上的关系 ，求出
。

2．集合上的偏序关系‚为整除关系。设，，试画出‚的哈斯图，并求A，B，C的最大元素、极大元素、下界、上确界。

3．图给出的赋权图表示五个城市
及对应两城镇间公路的长度。试给出一个最优化的设计
方案使得各城市间能够有公路连通。

4．已知，为模7乘法。试说明是否构成群？是否为循环群？若是，生成元是什么？

5．给定命题公式，试给出相应的二元树。

五、证明题：（25分）
1．如果集合A上的关系R和S是反自反的、对称的和传递的，证明：是A上的等价关系。

2．用推理规则证明是
的有效结论。

3．若有n个人，每个人都恰有三个朋友，则n必为偶数。

4．设G是（11，m）图，证明G或其补图是非平面图。

离散考试模拟试题及答案4

一、填空题
1．（1） ， （2）。 2．双射 ， 满射。 3．14 ， 。
4．重言式 ，矛盾式 。 5． ， 6． ，S 。
7．；
。
8．2，4； 3，5，6，7；。

二、单项选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
答案
A
C
B
C
B
D
B
C
C
A
C
C
A
B
A

三、判断改正题
1．× 。
2．×

3．√ 。4．√ 。 5．× 阶数为偶数的有限群中周期为2 的元素个数一定为奇数。
6．× 完全二叉树中，边数。 7．√ 。
8．× 当且仅当P，Q的真值相同时，的真值为T。 9．√ 。
10．× 。

四、简答案题
1．解，
，
，
，
。
2．解：‚的哈斯图为

集合
最大元
极大元
下界
上确界
A
无
24，36
无
无
B
12
12
6，2，3
12
C
6
6
无
6

3．解此问题的最优设计方案即要求该图的最小生成树，
由破圈法或避圈法得最小生成树为：
其权数为1+1+3+4 = 9 。

4．解：既构成群，又构成循环群，其生成元为3，5。因为：的运算表为：

1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
2
2
4
6
1
3
5
3
3
6
2
5
1
4
4
4
1
5
2
6
3
5
5
3